Estatística: Aplicação ao Sensoriamento Remoto
SER 202 - ANO 2015
Teorema do Limite Central
Camilo Daleles Rennó
[email protected]
http://www.dpi.inpe.br/~camilo/estatistica/
Distribuição da Soma de Variáveis Aleatórias
X 1 ~ N ( 1 ,  12 )
X 2 ~ N ( 2 ,  22 )
3 v.a. independentes com distribuições normal
X 3 ~ N ( 3 ,  32 )
Y  X1  X 2  X 3
Qual a distribuição de Y ?
Y ~ N (?,?)
(1  2  3,12   22   32 )
E (Y )  E
? ( X1  X 2  X 3 )  E( X1 )  E( X 2 )  E( X 3 )  1  2  3
Var(Y )  ?12   22   32
2
Distribuição da Soma de Variáveis Aleatórias
X 1 ~ ?( 1 ,  12 )
X 2 ~ ?( 2 ,  22 )
n v.a. independentes com distribuições desconhecidas
X n ~ ?( n ,  n2 )
Y  X1  X 2 
n
 Xn   Xi
i 1
Qual a distribuição de Y ?
se n for grande:
n
 n

Y ~ N   i ,  i2 
i 1
 i 1

Teorema do Limite Central
(ver TLC.xls)
3
Aproximação da Binomial à Normal
Se Y tem uma distribuição binomial com parâmetros n e p:
n
Y   X i onde cada Xi tem distribuição Bernoulli (0 ou 1) e P(Xi = 1) = p
i 1
Então, se n for grande, pelo TLC:
Y ~ N (?,?)
0,25
0,6
0,09
E (Y )  ?np
0,08
0,5
0,2
0,07
Var(Y )  ?npq
Y ~ N (np, npq)
n  100
15
3
p  0,4
0,2
0,4
0,06
0,15
0,05
0,3
0,04
0,1
0,2
0,03
0,02
0,05
0,1
0,01
0
00
00 0
1 0 2 203
4
5 140
6 7
8 60
9 210 11 12
80
100
60
80 13 314 15
100
4
Aproximação da Binomial à Normal
Considere o experimento: retiram-se 100 bolas da urna (com reposição).
Define-se uma v.a. X cujos valores representam o número total de bolas
vermelhas dentre as 100 escolhidas.
Calcule: P(30  X  51)
0,09
n  100
p
2
 0, 4
5
0,08
0,07
0,06
n  x nx 100 x
100
f ( x)    p 0,4
q 0,6
x
x
  
0,05
0,04
0,03
0,02
100  x 100 x
P(30  X  51)   
 0,4 0,6
x
x 30 

51
0,01
0
0
20
40
60
80
100
Aproximando-se à Normal...
5
Aproximação da Binomial à Normal
Considere o experimento: retiram-se 100 bolas da urna (com reposição).
Define-se uma v.a. X cujos valores representam o número total de bolas
vermelhas dentre as 100 escolhidas.
Calcule: P(30  X  51)
0,09
2
 0, 4
5
E ( X )  np  100 * 0, 4  40
Var ( X )  npq  100 * 0, 4 * 0,6  24
n  100
p
0,08
0,07
0,06
0,05
0,04
0,03
0,02
X ~ N (40,24)
0,01
0
00
P(29,5
(30  X X 
51)
 ?  ? (correção de continuidade)
51,5)
20
40
30
60
60
80
80
100
100
51,5  40 
 29,5  40
P
Z
  0,9745 (valor exato para Binomial  0,9752)
24
24 

6