EXATAS
Questão 1
Dada a expressão A =
(5 − ix)
, em que x ∈ R
(5x − i9)
e i é a unidade imaginária, quais são os valores de x que tornam A real? Para esses valores de x, quais são os resultados de A?
Resposta
Temos A =
⇔A =
Questão 3
Para quais valores de k ∈ R o sistema linear
homogêneo:
⎛kx + 2y − z = 0
⎜
⎜2x − y + 2z = 0
⎜3x + y + kz = 0
⎝
será possível e determinado, será possível e
indeterminado, será impossível?
5 − xi 5x + 9i
⋅
⇔
5x − 9i 5x + 9i
2
34x + i(45 − 5x )
25x
2
Assim A ∈ R ⇔
x = −3 .
+ 81
45 − 5x 2
.
25x 2 + 81
= 0 ⇔ x = 3 ou
5 − 3i
1
.
=
5 ⋅ 3 − 9i
3
5 − ( −3)i
1
Para x = −3, A =
=− .
5( −3) − 9i
3
Para x = 3, A =
Questão 2
Sejam duas funções reais e contínuas f (x) e
g (x) dadas pela figura. Obtenha o resultado
da expressão, f o g (4) + g o f (−1).
Resposta
A matriz dos coeficientes do
é dada por
⎛k 2
⎜
A = ⎜ 2 −1
⎜
⎝3 1
sistema apresentado
−1⎞
⎟
2⎟
⎟
k ⎠
e det(A) = −k 2 + 12 − 2 − 3 − 2k − 4k ⇔
⇔ det(A) = −(k − 1)(k + 7) .
• O sistema é possível e determinado se, e somente se, det(A) ≠ 0 ⇔ k ≠ 1 e k ≠ −7 .
• O sistema é possível e indeterminado se, e somente se, det(A) = 0 ⇔ k = 1 ou k = −7 .
Como o sistema é homogêneo, o terno (0; 0; 0)
sempre é solução, para todo k ∈ R . Portanto não
existem valores para k que tornem o sistema impossível.
Questão 4
Três tubos de ensaio são retirados aleatoriamente, um de cada vez, de um lote de 15 tubos de ensaio, dentre os quais 5 são defeituosos. Encontre a probabilidade de que pelo
menos um seja defeituoso.
Resposta
Resposta
Do gráfico, f( −2) = f(0) = 0, g(4) = 0 e podemos
supor que g(x) = 3 para x ≤ 0.
Assim, f o g(4) + g o f( −1) = f(g(4)) + g(f( −1)) =
= f(0) + g(f( −1)) = 0 + 3 = 3, pois f( −1) < 0.
O número de maneiras de retirarmos 3 tubos não
⎛10 ⎞
defeituosos é ⎜ ⎟ , enquanto que o número de
⎝3 ⎠
⎛15 ⎞
maneiras de retirarmos 3 tubos quaisquer é ⎜ ⎟ .
⎝3 ⎠
matemática 2
Portanto, a probabilidade de retirarmos pelo
⎛10 ⎞
⎜ ⎟
⎝3 ⎠
menos um tubo defeituoso é igual a 1 −
=
⎛15 ⎞
⎜ ⎟
⎝3 ⎠
10 ⋅ 9 ⋅ 8
67
.
= 1 − 3 ⋅ 2 ⋅1
=
15 ⋅ 14 ⋅ 13
91
3 ⋅ 2 ⋅1
Questão 5
Em algumas situações, é conveniente representar de maneira aproximada a função
sen (π x), com x ∈ [0, 1], pela função quadrática f (x) = 4x − 4x2 , a qual fornece os valores
corretos apenas em x = 0, x = 0,5 e x = 1. Isto
é, sen (π x) ≈ 4x − 4x2 .
Use essa aproximação para obter o valor de
π
sen ⎛⎜ ⎞⎟ e estime a diferença, em módulo, en⎝4⎠
π
tre esse valor e o valor conhecido de sen ⎛⎜ ⎞⎟ ,
⎝4⎠
considerando 2 ≈ 1,41.
Resposta
Utilizando a aproximação dada sen(πx) ≈ 4x − 4x 2 ,
1⎞
1
⎛
⎛1 ⎞
sen ⎜ π ⋅ ⎟ ≈ 4 ⋅
−4⋅⎜ ⎟
⎝
⎝4⎠
4⎠
4
2
=
3
= 0,75 .
4
2
1,41
π
Como sen
=
≈
= 0,705 , o módulo da
4
2
2
π
e sua aproximadiferença entre o valor de sen
4
ção é |0,75 − 0,705| = 0,045.
Quais são os valores que se obtêm para N 3 e
R 3 ? Após n repetições desse processo, qual
será o comprimento R n dos segmentos de reta
e quantos segmentos de reta N n existirão?
Resposta
Como cada segmento gera 4 segmentos de compri1
do segmento original, a seqüência
mento igual a
3
(N1 , N 2 , ...) da quantidade de segmentos é uma
progressão geométrica de razão 4 e a seqüência
(R1 , R 2 , ...) dos comprimentos dos segmentos de
1
reta é uma progressão geométrica de razão .
3
1
Assim, N 3 = N 2 ⋅ 4 = 16 ⋅ 4 = 64, R 3 = R 2 ⋅
=
3
1 1
1
, Nn = N0 ⋅ 4 n = 4 n ,
=
⋅
=
9 3
27
n
n
⎛1 ⎞
⎛1 ⎞
Rn = R0 ⋅ ⎜ ⎟ = ⎜ ⎟ .
⎝3 ⎠
⎝3 ⎠
Questão 7
Dada
a
expressão
trigonométrica
π⎞
⎛
cos (5x) − cos ⎜ x + ⎟ = 0, resolva-a em R
⎝
2⎠
π⎤
⎡
para x ∈ 0,
.
⎢⎣ 2 ⎥⎦
Resposta
Questão 6
Considera-se um segmento de reta, N0 , de tamanho R0 = 1. Ele é dividido em três partes
iguais, e a parte do meio é substituída por
dois segmentos de tamanho R1 = 1/3, na forma de um triângulo eqüilátero, resultando
em N1 = 4 segmentos de reta. Repetindo-se
este procedimento para todos os segmentos
de reta, obtêm-se N2 = 16 e R2 = 1/9, tal
como apresentado nas figuras.
π⎞
⎛
cos(5x) − cos ⎜ x + ⎟ = 0 ⇔
⎝
2⎠
π⎞
π
⎛
⇔ cos(5x) = cos ⎜ x + ⎟ ⇔ x +
= 5x + 2kπ
⎝
2⎠
2
π
π
kπ
ou x +
ou
= −5x + 2kπ, k ∈ Z ⇔ x =
−
2
8
2
kπ
π
x =−
+
, k ∈ Z ( ∗).
12
3
π
⎡ π⎤
Como x ∈ ⎢0; ⎥ , ( ∗) ⇔ x =
ou
8
⎣ 2⎦
π
π
π
x =−
+
=
.
12
3
4
matemática 3
Questão 8
Questão 9
Considere uma circunferência de diâmetro L
e centro C, conforme figura.
Determine a equação da reta que é paralela à
reta 3x + 2y + 6 = 0 e que passa pelos pontos
(x1 , y1 ) = (0 , b) e (x2 , y2 ) = (−2 , 4b) com
b ∈ R.
Resposta
Calcule a razão entre a área do círculo e a
área da região sombreada.
Resposta
πL2
L
Sendo o raio do círculo, sua área é
.
4
2
Como o triângulo retângulo ABC é isósceles, a
L
e, portanto, a
base e a altura são iguais a
2
2
1 L L
L
.
áreaΔABC =
⋅
⋅
=
2 2 2
8
1
da
Assim, como a área destacada é igual a
4
área do círculo menos a área do ΔABC, a razão
pedida é:
πL2
π 2
L
4π
4
4
= 2
=
2
2
π −2
1 πL
L
L
1⎞
⎛π
⋅
−
⋅⎜
− ⎟
4
4
8
4 ⎝4
2⎠
Seja r a reta que passa pelos pontos (0; b) e
(−2; 4b), b ∈ R . Já que r é paralela à reta de equa−3
ção 3x + 2y + 6 = 0 ⇔ y =
x − 3 , cujo coefi2
3
4b − b
ciente angular é igual a − , temos que
=
2
−2 − 0
3
=−
⇔ b = 1.
2
3
Portanto, uma equação de r é y − b = − (x − 0) ⇔
2
3x
⇔ y −1 = −
⇔ 3x + 2y − 2 = 0.
2
Questão 10
Um cubo inscrito em uma esfera de raio R
2R
tem o seu lado dado por L =
. Considere
3
R = 2 cm e calcule o volume da região interior
à esfera e que é exterior ao cubo.
Resposta
O volume pedido é a diferença entre o volume da
esfera de raio R = 2 e o volume do cubo de ares3
⎛ 4 ⎞
4
2 ⋅2
4
ta
, ou seja, ⋅ π ⋅ 2 3 − ⎜
=
⎟ =
⎝ 3 ⎠
3
3
3
=
32 ⎛
2 3 ⎞
⎟ cm 3 .
⎜π −
3 ⎝
3 ⎠
matemática 4
Matemática – enunciados mais diretos
Os exames da VUNESP de meio e de final de ano mantêm-se com características distintas: enquanto a prova de final de ano é permeada por questões contextualizadas,
nesta prova, nenhum problema, com exceção do 4, apresenta alguma aplicação da Matemática a situações do dia-a-dia. As questões são clássicas e seus enunciados são
claros e diretos.
No mais, uma prova com boa variação de assuntos e abrangente.