Prova Tipo de Avaliação de Capacidade/
Prova Tipo de Acesso
aos CTeSP das escolas:
ESTBarreiro e ESTSetúbal
INSTRUÇÕES
· A prova tem a duração de 2h;
· Leia atentamente a prova antes de começar;
· A prova é constituida por 2 Grupos, I (Escolha múltipla) e II (Questões de resposta aberta);
· A prova inclui um Formulário;
· Não é permitido o uso de corretor. Em caso de engano, deve riscar, de forma evidente,
aquilo que pretende que não seja classificado.
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GRUPO I
INSTRUÇÕES
· Este grupo inclui cinco questões de escolha múltipla;
· Em cada uma delas são apresentadas quatro alternativas de resposta, das quais só uma
está correcta. Assinale-a com um X na folha de respostas;
· Não apresente cálculos nem justificações;
· Cada resposta errada, não respondida ou anulada será cotada com 0 valores.
(1.5 val.)
Questão 1
Considere a seguinte expressão ln (a + b)3 − 2 ln (a + b), onde ln representa o logaritmo
de base e, sendo a e b dois números reais tais que a > −b. Apenas uma das seguintes
expressões é uma simplificação da expressão dada. Indique qual.
(A) ln (a + b)
(B) 0
(C) 1
(D) 3 ln (a + b)
(1.5 val.)
Questão 2
√
2 x−1
Seja f : D ⊂ R → R definida por f (x) =
. Assinale qual o domı́nio, D, de f .
x(x − 3)
(A) D = R \ {0, 1, 3}
(B) D = R \ {0, 3}
(C) D = [1, +∞[
(D) D = [1, +∞[\ {3}
2
(1.5 val.)
Questão 3
x2 − 3x + 2
x→2
x−2
Indique qual o valor do seguinte limite: lim
(A) 0
(B) 1
(C) +∞
(D) 2
(1.5 val.)
Questão 4
4x4 + x
x→+∞ x4 − x2 + 1
Indique qual o valor do seguinte limite: lim
(A) 2
(B) +∞
(C) 4
(D) −1
(1.5 val.)
Questão 5
Seja θ ∈ [0, 2π[ a amplitude de um determinado ângulo. Qual das seguintes expressões
corresponde a uma simplificação de (sen2 θ − 1)(tg2 θ)?
(A) 0
(B) −sen2 θ
(C) sen4 θ
(D) − cos2 θ
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GRUPO II
INSTRUÇÕES
· Este grupo inclui quatro questões de resposta aberta, duas das quais subdivididas em
alı́neas;
· Cada questão tem a sua própria folha de resposta. Deverá apresentar a sua resolução na
folha de resposta adequada.
(3 val.)
Questão 1
Uma pessoa encontra-se num ponto A situado na base de um prédio conforme mostra a
figura seguinte. Se a pessoa caminhar em linha reta chegará a um ponto B, onde poderá
ver o topo do prédio sob um ângulo de 60◦ .
Determine o valor de x, por forma a que a pessoa possa ver o topo do prédio sob um ângulo
de 30◦ .
Nota: Sempre que proceder a arredondamentos, use, pelo menos, duas casas decimais
e apresente o resultado final arredondado às décimas.
4
Questão 2
Considere a função f : R → R definida por

2
1 − e−2x




x2
f (x) =

2


x + x + 2
x2 + 1
se x < 0
se x ≥ 0.
(2.5 val.)
a) Sem recorrer à calculadora, mostre que a função f é contı́nua em x = 0;
(2.0 val.)
b) Calcule
lim f (x) e lim f (x).
x→−∞
x→+∞
Questão 3
Seja f a função definida por f (x) =
(2.0 val.)
x−2
.
x+2
a) Determine, utilizando a definição de derivada, f 0 (0);
(1.0 val.)
b) Mostre que y = x − 1 é uma equação da reta tangente ao gráfico de f no ponto de
abcissa 0.
(2.0 val.)
Questão 4
√
Seja g uma função definida por g(x) = 2x x + 1. Determine a derivada da função, apresentando o resultado na forma mais simplificada possı́vel.
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FORMULÁRIO
Regras de Derivação:
(u + v)0 = u0 + v 0
(u v)0 = u0 v + uv 0
u 0 u0 v − uv 0
=
v
v2
(un )0 = nun−1 u0 (n ∈ R)
(sen u)0 = u0 cos u
(cos u)0 = −u0 senu
u0
cos2 u
u 0
(e ) = u0 eu
(tg u)0 =
(au )0 = u0 au ln a (a ∈ R+ \ {1})
(ln u)0 =
u0
u
(loga u)0 =
u0
u ln a
Ângulos 0
π/6
(a ∈ R+ \ {1})
Trigonometria:
sin α
0
cos α
1
π/4
√
2/2
√
2/2
1/2
√
3/2
π/3
√
3/2
π/2
1/2
0
1
Limites Notáveis:
x→+∞
ex
= +∞ (p ∈ R)
x→+∞ xp
ln (x + 1)
=1
x→0
x
lim
lim
k
1+
x
x
sin x
lim
=1
x→0 x
lim
6
= ek
ex − 1
=1
x→0
x
lim
ln (x)
= 0 (p > 0)
x→+∞ xp
lim