UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO DE JANEIRO
Instituto de Matemática
SEGUNDA PROVA DE CÁLCULO II
Professor: Hugo D. Fernández Sare.
Turma: IQA-NTA / 2012-1.
GABARITO
Questão 1.(2,5 pontos)
Determine, justificando, os pontos de continuidade e descontinuidade da função

x2 y 3

 sen
,
(x, y) 6= (0, 0)
2x2 + y 2
f (x, y) =


1
,
(x, y) = (0, 0).
Solução.
Primeiro, para (x, y) 6= (0, 0), a função f (x, y) é a composição da função seno (que é
x2 y 3
contı́nua) com a função racional 2
onde o denominador nunca se anula (logo é contı́nuo).
2x + y 2
Assim, f (x, y) é contı́nua em todo ponto (x, y) 6= (0, 0).
Vejamos o caso (x, y) = (0, 0). Como a função seno é contı́nua, devemos estudar o limite
seguinte
x2 y 3
.
lim
(x,y)→(0,0) 2x2 + y 2
Vejamos, note que x2 ≤ 2x2 + y 2 , logo 0 ≤
x2 y 3 2x2 + y 2 x2
≤ 1. Assim
2x2 + y 2
=⇒
−y 3 ≤
x2 y 3
≤ y3.
2x2 + y 2
Logo, usando o Teorema do Confronto, teremos que
x2 y 3
x2 y 3
=0
=⇒
lim
sen
= sen (0) = 0 6= 1 = f (0, 0).
lim
2x2 + y 2
(x,y)→(0,0) 2x2 + y 2
(x,y)→(0,0)
Portanto f (x, y) não é contı́nua em (0, 0).
Questão 2.(2,5 pontos)
Seja S a superfı́cie definida pela equação
z + 1 = xey cos(z).
1. Calcule a equação do plano tangente à superficie S no ponto (1, 0, 0).
2. Calcule a equação da reta normal à superfı́cie S no ponto (−π − 1, 0, π).
Solução.
A superfı́cie S está definida pela equação
F (x, y, z) = xey cos(z) − z − 1.
Logo, teremos que
∇F (x, y, z) = (ey cos(z), xey cos(z), −xey sen (z) − 1) , ∀(x, y, z) ∈ IR3 .
1. Note que ∇F (1, 0, 0) = h1, 1, −1i. Então a equação do plano tangente será dada pela
equação
(hx, y, zi − h1, 0, 0i).h1, 1, −1i = 0 isto é x + y − z = 1.
2. Note que ∇F (−π − 1, 0, π) = h−1, π + 1, −1i. Então a equação da reta normal será dada
pela equação


x = −π − 1 − t


y = (π + 1)t
(t ∈ IR),
hx, y, zi = h−π − 1, 0, πi + th−1, π + 1, −1i isto é


 z = π−t
ou, na sua forma simétrica
x + (π + 1)
y
z−π
=
=
.
−1
π+1
−1
Questão 3.(2,5 pontos)
A temperatura em um ponto (x, y, z) é dada por
T (x, y, z) = 200e−x
2 −3y 2 −9z 2
onde T é medido em ◦ C e x, y, z em metros.
1. Determine a taxa de variação da temperatura no ponto P (2, −1, 2) em direção ao ponto
(3, −3, 3).
2. Qual é a direção de maior crescimento da temperatura em P ?
3. Encontre a taxa máxima de crescimento em P .
Solução.
1. Vejamos o vetor direção no ponto P na direção do ponto Q(3, −3, 3):
√
√
v = Q − P = (1, −2, 1) , logo ||v|| = 1 + 4 + 1 = 6.
Além disso,
∇T = −400e−x
2 −3y 2 −9z 2
(x, 3y, 9z).
Portanto a taxa de variação no ponto P será dada por Du T (2, −1, 2), isto é
400
10400
Du T (2, −1, 2) = − √ e−43 (2, −3, 18).(1, −2, 1) = − √ e−43 .
6
6
2. A taxa de maior crescimento ocorre na direção do vetor gradiente de T , isto é, na direção
∇T (2, −1, 2) = −400e−43 (2, −3, 18),
ou, simplificando as constantes positivas, na direção do vetor u = (−2, 3, −18).
3. A taxa de máximo crescimento é dada por
p
√
||∇T || = 400e−43 22 + (−3)2 + 182 = 400e−43 337.
Questão 4.(2,5 pontos)
Seja f (x, y, z) = 2x + 6y + 10z definida no disco D = { (x, y, z) ∈ IR3 : x2 + y 2 + z 2 ≤ 35 }.
1. Determine os pontos crı́ticos de f (x, y, z) no interior de D.
2. Usando o método de Multiplicadores de Lagrange, determine os pontos de máximo e
mı́nimo de f (x, y, z) na fronteira de D.
3. Determine os máximos e mı́nimos absolutos de f (x, y, z) no disco D.
Solução.
1. O interior do disco está dado pelo conjunto
int(D) = { (x, y, z) ∈ IR3 : x2 + y 2 + z 2 < 35 }.
Alem disso, como a função é contı́nua, os pontos crı́ticos estão determinados pela equação
∇f = (0, 0, 0). Mas ∇f = (2, 6, 10) 6= (0, 0, 0) para qualquer ponto (x, y, z) ∈ int(D).
Logo f não possui pontos crı́ticos no interior de D.
2. Note que a fronteira de D é dada pelo conjunto
∂(D) = { (x, y, z) ∈ IR3 : x2 + y 2 + z 2 = 35 }.
Definimos então a função g(x, y, z) = x2 + y 2 + z 2 − 35. Logo, pelo Metodo de Multiplicadores de Lagrange, devemos ter ∇f = λ∇g, isto é
2 = 2λx
6 = 2λy
10 = 2λz
x2 + y 2 + z 2 − 35 = 0
Resolvendo o sistema teremos os pontos (x, y, z) = (1, 3, 5) (para λ = 1), e (x, y, z) =
(−1, −3, −5) (para λ = −1). Avaliando a funçõa f nesses pontos, teremos
f (1, 3, 5) = 70
f (−1, −3, −5) = −70.
Assim (1, 3, 5) é um ponto de máximo e (−1, −3, −5) é um ponto de mı́nimo na fronteira
de D.
3. Como f não tem máximos e mı́nimos locais no interior de D, então (−1, −3, −5) e (1, 3, 5)
são pontos de mı́nimo e máximo absolutos de f em D, respectivamente.