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Lista 1 – Mecânica Estatı́stica Não Extensiva – 2012/01 – CBPF
Disciplina: Mecânica Estatı́stica Não Extensiva – CBPF (PES0021)
Professor: Constantino Tsallis
Monitores: Leonardo J. L. Cirto (304B) & Max J. Jáuregui (307B)
Perı́odo: 2012/01
Lista de Exercı́cios 1 versão 2
Data para entregar: livre
Questão 1
Considere a entropia de Boltzmann-Gibbs na forma escrita por Shannon:
SBG = −k
W
X
pi ln pi
i=1
Maximize esta expressão utilizando como vı́nculo a normalização da probabilidade
SBG = k ln W
PW
i=1
pi = 1 e mostre que:
(1)
Verifique que para dois sistemas probabilı́sticos independentes A, B a entropia SBG é aditiva, ou seja:
SBG (A + B) = SBG (A) + SBG (B)
Questão 2
A entropia Sq é definida como:
P
q
1− W
i = 1 pi
Sq = k
q −1
(2)
Faça o mesmo procedimento da questão anterior mas agora utilizando a estropia Sq e mostre que neste caso
o resultado é:
W 1−q − 1
Sq = k
1−q
(3)
Verifique que para dois sistemas probabilı́sticos independentes A, B a entropia Sq é não aditiva para q 6= 1,
ou seja:
Sq (A + B) = Sq (A) + Sq (B) +
1−q
Sq (A) Sq (B)
k
(4)
Mostre que no limite q → 1 a entropia Sq recai em SBG :
lim Sq = S1 = SBG
q→1
Questão 3 – q-Exponencial e q-Logaritmo I
A função q-exponencial é definida como:
y (x) =
eqx = [ 1 + (1 − q) x ] 1/(1−q)
(5)
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Para restringir
eqx aos reais positivos vamos reescrevê-la da seguinte maneira:
eqx = [ 1 + (1 − q) x ]+1/(1−q)
onde [u]+ = max {0, u}, explicitamente:
eqx =

[ 1 + (1 − q) x ] 1/(1−q) se 1 + (1 − q) x > 0
0

se 1 + (1 − q) x ≤ 0
Verifique os seguintes limites:
lim
q→a
e
x
q


 1
se a = ±∞
=
e
se a = 1


1 + x se a = 0
x
Inverta a expressão (5) e obtenha:
x 1−q − 1
lnq x =
1−q
(x > 0)
(6)
este último resultado define o q-logaritmo. Verifique os seguintes limites:
lim lnq x =
q→a
(
ln x se a = 1
x − 1 se a = 0
Verifique a propriedade
lnq (x y) = lnq x + lnq y + (1 − q) lnq x lnq y
Mostre, utilizando o q-logaritmo, que as equações (2) e (3) podem ser reescritas como:
Sq = k
W
X
i=1
pi lnq
1
pi
Sq = k lnq W
Comentário: rigorosamente a equação (6) não é a inversa de (5). Veja uma discussão um pouco mais
aprofundada sobre este tema nas questões 5 e 6 a seguir
Questão 4 – q-Soma e q-Produto
Verifique as expressões a seguir:
lnq (x ⊗q y) = lnq x + lnq y
eqx ⊕q y = eqx eqy
lnq (x y) = lnq x ⊕q lnq y
onde a q-soma ⊕q e o q-produto ⊗q são definidos como:
x ⊕q y = x + y + (1 − q) xy
1/(1−q)
x ⊗q y = x1−q + y 1−q − 1
Mostre que utilizando a definição da q-soma a equação (4) pode ser reescrita como:
Sq (A + B)
Sq (B)
Sq (A)
=
⊕q
k
k
k
eqx + y = eqx ⊗q eqy
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Verifique os seguintes limites:
lim x ⊕q y = x + y
lim x ⊗q y = x × y
q→1
q→1
e as seguintes propriedades:
x ⊗q 1 = x ∀ q
x ⊗q 0 = 0 ∀ q ≥ 1
Questão 5 – q-Exponencial II
(a) Considere a seguinte equação diferencial:
f ′ (x) = [f (x)] q
com
q∈R
e
f (0) = 1
Mostre que a solução desta equação diferencial é

[1 + (1 − q)x]1/(1−q)
f (x) = expq (x) =
exp(x)
q 6= 1
q = 1.
(b) Considerando a q-exponencial como uma função real positiva, mostre que seu domı́nio é dado por

1


q > 1
−∞,



q − 1

1
dom expq =
, +∞
q < 1


q−1



(−∞, +∞)
q = 1.
(c) Seja o conjunto Rq = {x ∈ R : 1 + (1 − q)x > 0}. Mostre que dom expq = Rq e conclua que expq é uma
bijeção entre Rq e R+ .
(d) Mostre que a q-exponencial é uma função crescente para qualquer q ∈ R.
(e) Construa o gráfico da q-exponencial em escalas linear-linear, log-linear, log-log e q-log-linear.
(f ) Verifique que há convergência não uniforme nos limites a seguir:
lim
lim
eqx = ∞ 6= xlim
lim eqx = 1
→ ∞ q → −∞
lim
lim
eqx = 0 6= x →
lim lim eqx = 1
−∞ q → ∞
q → −∞ x → ∞
q → ∞ x → −∞
Questão 6 – q-Logaritmo II
(a) Do item (c) da questão anterior, conclua que a q-exponencial possui uma função inversa, a qual será
chamada, naturalmente, de q-logaritmo.
(b) Verifique que o q-logaritmo pode ser escrito da seguinte forma:
lnq x =
Z
x
1
1
dt .
tq
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(c) Mostre que o q-logaritmo é uma função crescente para qualquer q ∈ R.
(d) Dado q ≥ 0 e x ∈ R+ , mostre que
lnq x ≤ x − 1 .
(e) Construa o gráfico do q-logaritmo.
(f ) Mostre que
1
= −xq−1 lnq x = − ln2−q x .
lnq
x
(g) Dado q ≤ 1, verifique o limite:
lim x lnq x = 0 .
x → 0+
Questão 7 – Normalização da q-Gaussiana
Considere a seguinte distribuição gaussiana:
Gβ (x) = A e−β x
2
Impondo que esta distribuição seja normalizada, concluiremos que a constante A é dada por:
Z
∞
Gβ (x) dx = 1 ⇒ A =
−∞
r
β
π
Define-se a q-gaussiana como sendo uma função Gq,β : X ⊂ R → R, tal que
Gq,β (x) =
√
β
expq (−βx2 ) ,
Cq
onde β > 0 e Cq , análogo ao caso gaussiano, é uma constante tal que
Z
Gq,β (x) dx = 1 .
X
(a) Mostre que


(−∞, +∞)
se
X =
1
1

se
, √
 −√
1−q
1−q
q ≥ 1
q < 1.
(b) Verifique que a constante de normalização Cq é dada por:

−1
√
2 π
1
3−q


√
Γ
Γ



1−q
2(1 − q)
 (3 − q) 1 − q
√
Cq =
π

−1
√



π
3−q
1

√
Γ
Γ
2(q − 1)
q−1
q−1
se
q < 1
se
q = 1
se
1 < q < 3.
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(c) Construa o gráfico da q-gaussiana em escalas linear-linear, log-linear, log-log e q-log-(linear)2 .
Questão 8 – q-Exponencial Complexa
A q-exponencial pode ser estendida a um subconjunto do corpo dos números complexos. Neste caso, ela é
definida como sendo una função expq : X ⊂ C → C, tal que

v. p.[1 + (1 − q)z]1/(1−q)
expq (z) =
exp(z)
q 6= 1
q = 1,
onde v. p. indica que deve ser considerado só o valor principal da expressão que lhe segue.
(a) Mostre que X = C se q ≤ 1 e X = C − {1/(q − 1)} se q > 1.
(b) Mostre que [expq (ix)]⋆ = expq (−ix).
(c) Dados q 6= 1 e x ∈ R, mostre que
2
2 1/[2(1−q)]
expq (ix) = [1 + (1 − q) x ]
1
arctan((1 − q)x) .
exp i
1−q
(d) Dado q ∈ (1, 3), mostre que
Z
+∞
−∞
| expq (ix)| 2 dx < +∞ .
Questão 9 – Funções trigonométricas generalizadas
Sejam o q-seno e q-cosseno definidos como sendo funções senq , cosq : R → R tais que
senq x = Im(expq (ix))
e
cosq x = Re(expq (ix))
Definidos o q-seno e q-cosseno, pode-se definir a q-tangente como sendo uma função tanq : R → R tal que
tanq x =
senq x
.
cosq x
(a) Dado q 6= 1, mostre que
tanq x = tan
1
arctan((1 − q)x)
1−q
.
(b) Generalize a identidade trigonométrica sen2 x + cos2 x = 1 e obtenha:
sen2q x + cos2q x =
eqix eq−ix = expq (1 − q)x 2
(c) Verifique que se tem
lim senq x =
x → ±∞
lim cosq x = 0
x → ±∞
quando
q > 1.
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(d) Dado q 6= 1, mostre que
lim tanq x = ± tan
x → ±∞
π
2(q − 1)
.
(e) Construa os gráficos do q-seno, q-cosseno e q-tangente.
(f ) Verifique que
senq x
tanq x
= lim
= 1.
x→0
x→0
x
x
lim
Questão 10 – Derivada de Jackson
A derivada de Jackson é definida como:
f (qx) − f (x)
qx − x
Dq (x) =
A expressão anterior recai na derivada convencional no limite q → 1, isto é:
df (x)
dx
lim Dq (x) =
q→1
Mostre que a entropia Sq se relaciona com a derivada de Jackson por meio de:
Sq = −Dq
W
X
i=1
pxi x=1
Compare esta relação com a relação semelhante existente entre SBG e a derivada convencional:
SBG
W
d X x p = −
dx i = 1 i x=1
Questão 11 – Concavidade e Entropia de Renyi
Sejam {pi } e {p′i } dois conjuntos de probabilidades arbitrários e distintos associados a um único sistema
com W estados. Um conjunto intermediário pode ser definido como:
p′′i = λ pi + (1 − λ) p′i
(∀ i; 0 < λ < 1)
Um funcional H ({pi }) é côncavo se e somente se ele satisfaz:
H ({p′′i }) > λH ({pi }) + (1 − λ) H ({p′i })
Mostre que tanto SBG ({pi }) quanto Sq ({pi }) para q > 0 são funcionais côncavos. Verifique que SqR não é
côncava para q > 1, onde SqR é a entropia de Renyi definida como:
SqR = −k
ln
hP
W
i=1
q −1
piq
i
Prove que SqR é monótona crescente de Sq ∀ q.
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Questão 12 – Entropia Sδ
A entropia Sδ é definida como:
W
X
δ
1
Sδ = +k
pi ln
pi
i=1
(δ > 0)
(a) Mostre que para o caso de equiprobabilidade a expressão anterior resulta em:
δ
Sδ = k ln W
1
∀i
pi =
W
(7)
(b) Mostre que Sδ é côncava no intervalo 0 < δ < 1 + ln W .
(c) Considere um sistema no qual a entropia de Boltzmann-Gibbs seja proporcional à área A, quer dizer, não
extensiva. Determine, para este sistema, o valor do parâmetro δ de tal forma que tenhamos Sδ proporcional
ao volume V . Sugestão: trabalhe com as expressões equiprovaveis (3) e (7).
Questão 13
Considere um sistema constituı́do por N = 3 partı́culas em contato com um reservatório térmico à temperatura T . Cada partı́cula pode se encontrar nos nı́veis energéticos ǫ1 = ∆, ǫ2 = 2∆ e ǫ3 = ∆, sendo a
degenerescência de cada nı́vel igual a g1 = 1, g2 = 2 e g3 = 2.
Nesta questão deverão ser respondidos 5 itens para 3 situações distintas.
Os 5 itens são:
(i) Calcule a multiplicidade g ({Ni }) de uma configuração caracterizada por N1 = 1 partı́cula no nı́vel
energético ǫ1 , N2 = 2 partı́culas no nı́vel ǫ2 e nenhuma no nı́vel ǫ3 .
(ii) Calcule a função de partição (ensemble canônico) em função de ∆ e T (ou β = 1/k T ).
(iii) Calcule a energia média em função de ∆ e T , e determine o seu valor para T = 0 e para T → ∞.
(iv) Qual é a probabilidade da energia do sistema ser 2∆ ? E de ser 3∆ ?
(v) Calcule a entropia em função de ∆ e T , e determine o seu valor para T → 0 e para T → ∞.
As 3 situações distintas são:
(a) Trate as partı́culas como partı́culas clássicas discernı́veis.
(b) Trate as partı́culas como bósons sem spin (indiscernı́veis).
(c) Trate as partı́culas como pseudo férmions (indiscernı́veis, respeitando o princı́pio da exclusão mas sem
spin). Para saber mais sobre o conceito de pseudo férmions faça uma busca por transição de fase spin-Peierls.
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Sugestões de Referências:
[1] - Constantino Tsallis. Introduction to Nonextensive Statistical Mechanics: Approaching a Complex World.
Springer (New York, 2009).