UNIFEI - UNIVERSIDADE FEDERAL DE ITAJUBÁ
PROVA DE CÁLCULO 1
PROVA DE TRANSFERÊNCIA INTERNA, EXTERNA E PARA
PORTADOR DE DIPLOMA DE CURSO SUPERIOR - 28/06/2015
CANDIDATO:
CURSO PRETENDIDO:
OBSERVAÇÕES:
1.
2.
3.
4.
Prova SEM consulta;
A prova PODE ser feita a lápis;
PROIBIDO o uso de calculadoras e similares;
Duração: 2 HORAS.
x
e
Seja a função f(x) = 1+2e
x , qual a função inversa de f(x)?
x
x
c)
ln
d)
ln
e) @ inversa
b) ln x+2
x
1+2x
1−2x
Questão 1 (10 pontos).
a) log2 (x − 2)
Resposta: d)
Considere:
y=
ex
1 + 2ex
ex =
y
1 − 2y
Isolando ex obtemos,
Logo, a função inversa é
−1
f (x) = ln
Questão 2 (10 pontos).
x→5
b) -e5 /6
.
Avalie:
lim+
a) e5 /6
x
1 − 2x
c) +∞
ex
(x − 5)3
d) −∞
e) @
Resposta: c)
O numerador tem limite e5 , pois é uma função contı́nua. O denominador vai para zero,
por valores positivos, logo o limite tende a +∞.
Questão 3 (10 pontos). Encontre o coeficiente angular da reta tangente à curva
x3 + y3 − 6xy = 0, no ponto (3, 3).
a) -1
b) 0
c) 1
d) -6
e) @
Resposta: a)
Caculando a derivada implicita obtemos,
6y − 3x2
y = 2
3y − 6x
0
Avaliando em (3, 3), temos:
y0 =
18 − 27
= −1.
27 − 18
Questão 4 (10 pontos). Encontre os valores de máximo e mı́nimo absolutos da função
f(x) = x3 − 3x + 1, para x ∈ [0, 3].
a) {0; 1}
b) {3; 0}
c) {19; −1}
d) {1; −1}
e) {2; 1}
Resposta: c)
Encontrando os pontos crı́ticos da função, isto é, f 0 (x) = 0, pois a função é polinomial e
a derivada sempre existe. Resolvendo, dentro do conjunto pedido, temos
f 0 (x) = 3x2 − 3 = 0 ↔ x = 1
Avaliando a função nos pontos crı́ticos e nos extremos do intervalo, temos
f(0) = 1,
f(1) = −1,
f(3) = 19.
Assim, o valor de máximo é 19 e o valor de mı́nimo é −1.
Questão 5 (10 pontos).
Qual o valor de
Z1
0
a)
4−π
4
b)
π
4
c) ln(2)
d)
1
2
ln(2)
x
dx ?
x2 + 1
e) 1
Resposta: d)
Usando a substiutição x2 + 1 = ln (t), temos
Z1
Z
x
1 21
1
dx =
dt = ln (2) .
2
2 1 t
2
0 x +1
2
Questão 6 (10 pontos).
contı́nua em R.
Encontre os valores de a e b para que a função abaixo seja
 2
x −1

 x−1 , x < 1
f(x) = ax2 − bx + 2, 1 ≤ x < 2


ax − 2b, 2 ≤ x
Resposta:
Se x 6= 1 e x 6= 2, f(x) é uma função racional, logo é contı́nua para x 6= 1 e x 6= 2. Assim,
precisamos estudar apenas nestes pontos. Calculando os limites laterais temos
A = lim− f(x) = 2
x→1
B = lim+ f(x) = a − b + 2
x→1
C = lim− f(x) = 4a − 2b + 2
x→2
D = lim+ f(x) = 2a − 2b
x→2
Para que a função seja contı́nua devemos ter A = B e C = D, donde a = b = −1.
Questão 7 (10 pontos).
Considere a função:
x2 sen x1 , x 6= 0
f(x) =
0,
x=0
Calcule f 0 (0).
Resposta:
Da definição de derivada temos
f(x) − f(0)
,
x→0
x−0
f 0 (0) = lim
desde que o limite exista.
Calculando o limite obtemos f 0 (0) = 0.
Questão 8 (10 pontos).
Calcule:
Z
I=
sen(x)
p
1 + cos(x)
3
dx
Resposta:
I = −2
p
1 + cos(x) + C.
Questão 9 (10 pontos). Um fazendeiro deseja construir uma cerca num terreno
retangular com três fios de arrame, com alturas de 30cm, 60cm e 90cm, respectivamente.
Se ele possui 36m de arrame, encontre as dimensões do retângulo que terá maior área.
Resposta:
Como a cerca possui três fios ele conseguirá cobrir um perı́metro de 12m. Se as dimensões
do retângulo são x e y, temos
2x + 2y = 12
e a área
A = xy = x(6 − x)
o valor que procuramos é um ponto de máximo de A(x). Assim,
A 0 (x) = 6 − 2x = 0 =⇒ x = 3.
Logo, as dimensões procuradas são x = y = 3.
Questão 10 (10 pontos).
√
g(x) = x, para x ∈ [0, 4].
Determine a área delimitada pelas curvas f(x) = x2 e
Resposta: A área é dada por
Z1
Z4
√
2 √ 50
2
x − x dx +
x − x dx =
3
0
1
4
UNIVERSIDADE FEDERAL DE ITAJUBÁ
Pró-Reitoria de Graduação - PRG
Coordenação de Processos Seletivos – COPS
PROVA DE TRANSFERÊNCIA INTERNA, EXTERNA E PARA
PORTADOR DE DIPLOMA DE CURSO SUPERIOR – 28/06/2015 - @
Química
CANDIDATO: __________________________________________________________
CURSO PRETENDIDO: ____________________________________________________
OBSERVAÇÕES:
01 – Prova sem consulta.
02 – A prova pode ser feita a lápis.
03 – Duração: 2 HORAS.
1a Questão (10 pontos): Considerando as espécies químicas A, E, G e X com os seus respectivos números
109
13
12
atômicos e de massa representadas por: 107
47 A, 47 E , 6 G, 6 X , é correto afirmar, exceto:
A) A e E assim como G e X são isótopos.
B) A e E assim como G e X possuem mesmo número de nêutrons.
C) A e E representam núcleos do mesmo elemento químico.
D) X; G; A; E estão organizados em ordem crescente de número de massa.
2a Questão (10 pontos): O hexafluoreto de enxofre (SF6) é um gás extremamente inerte, que apresenta
constante dielétrica cerca de 2,5 vezes maior que o ar, e, devido a essa propriedade, é amplamente
empregado em disjuntores e transformadores de energia elétrica blindados, dadas suas propriedades
isolantes. No entanto, sua utilização requer extremo cuidado e controle contra vazamentos, já que o efeito
estufa provocado por esse gás é 32.000 vezes maior que CO2. A síntese desse gás é geralmente realizada
pela queima de enxofre em atmosfera de gás Flúor. Considerando que o gás flúor, assim como o
hexafluoreto de enxofre, se comporte como gás perfeito, calcule o volume de hexafluoreto de enxofre
produzido quando 64g de enxofre reagem com 100 L de gás flúor, a 0oC, 1 atm. O rendimento dessa reação
é de 80%. Dados: Pesos atômicos: S= 32,0 g.mol-1 e F=19,0 g.mol-1.
Inicialmente escrevemos a reação química balanceada que representa a síntese do SF6:
S(s) + 3F2(g)  SF6(g)
32g 67,2L 22,4L
64g 134,4L 44,8L
V = 44,8L*0,80 = 35,8L
3a Questão (10 pontos): Considere as seguintes reações químicas:
(I) AgNO3(aq) + KCl(aq)  AgCl(s) + KNO3(aq)
(II) 2NaOH(aq) + H3PO4(aq)  Na2HPO4(aq) + H2O(l)
(III) H2SO4(aq) + 2H2CO(aq)  H2S(aq) + 2CO2(g) + 2H2O(l)
A alternativa correta é:
A) A reação I é de precipitação enquanto as reações II e III são do tipo ácido-base.
B) A reação I é de troca iônica enquanto as reações II e III são de óxido-redução.
C) As reações I e III são de óxido-redução e a reação II é do tipo ácido-base.
D) A reação I é de precipitação, a reação II é do tipo ácido-base e a reação III é de óxido-redução.
4a Questão (10 pontos): Para a molécula de amônia (NH3), faça a representação de Lewis. Empregando
a teoria de ligação de valência (TLV), preveja o tipo de hibridização que ocorre nessa molécula e faça uma
representação de sua geometria condizente com a TLV.
A representação de Lewis para a molécula de amônia é:
..
H:N:H
..
H
Pela representação de Lewis existem 3 pares de elétrons compartilhados entre N-H além do par de elétrons
isolado. Pela repulsão deste par eletrônico isolado com os pares de elétrons compartilhados é possível
prever uma geometria piramidal trigonal para a molécula. Com esta previsão, e analisando a configuração
eletrônica da camada de valência do H (1 orbital s semipreenchido com 1e-) e N (1 orbital s totalmente
preenchido e um orbital p semipreenchido com 3 e-), temos que pela TLV, prevemos a hibridização sp3,
com geometria tetraédrica, conforme ilustração:
5a Questão (10 pontos): Um aluno fez o seguinte experimento: Adicionou uma pequena quantidade de um
sólido branco a um certo volume de água contido num balão volumétrico, aqueceu o conteúdo do balão
agitando-o até que não se observou mais a presença do sólido branco. A seguir, adicionou gotas de
fenolftaleína a essa solução e obteve uma cor rosada. Pegou o conteúdo do balão e verteu-o num beque.
Com o auxílio de um canudo de plástico, assoprou ar, fazendo com que ar fosse borbulhado na solução,
até que a cor rosa esmaeceu e a solução tornou a ficar incolor.
Indique a sequência correta dos eventos que aconteceram nesse experimento:
A) Primeiramente houve a dissolução de algum sal pouco solúvel em água e, em seguida, com ar sendo
borbulhado na solução, diminuiu-se a temperatura da solução, havendo a precipitação desse sal em
água, e, com isso, o líquido resultante voltou a ser incolor.
B) Houve no início a dissolução de um composto ácido em água que reagiu com a fenolftaleína tornando a
solução rosada. O borbulhamento de gases nessa solução, devido ao gás carbônico, aumentou o pH
da solução para uma faixa em que a fenolftaleína não apresenta coloração rosa.
C) Primeiramente o aluno dissolveu uma base em água e, posteriormente, ao borbulhar ar contendo gás
carbônico, houve uma reação ácido-base, neutralizando a solução.
D) Primeiramente ocorreu a dissolução de um composto o qual reage com a fenolftaleína apresentando
coloração rosa. Esse composto foi oxidado pelo oxigênio borbulhado na água e, então, a solução perdeu
a coloração rosa.
6a Questão (10 pontos): Calcule a densidade expressa em g.L-1 do gás CO2 nas seguintes condições:
pressão de 1,00atm, temperatura 585K. Considere que, nessas condições, esse gás se comporta como
um gás perfeito. Dados: R=0,082 L.atm.K-1.mol-1; massas atômicas: C=12,0g.mol-1 e O=16,0g.mol-1.
Resolução
Empregando a relação massa/volume: d=m/v obtemos a densidade do gás. A massa do gás está relacionado
com as variáveis termodinâmicas P, V, T pela equação de estado:
PV=nRT  PV=(m/M)*RT  m = PVM/(RT), logo substituindo a massa do gás na relação que fornece a
densidade temos:
d=PM/(RT)=1,00atm.48,0g.mol-1/(0,082 L.atm.K-1.mol-1.585K)=1,0g.L-1
7a Questão (10 pontos): O composto diborano (B2H6) é um gás em condições ambientes que apresenta
alta reatividade, sendo extremamente versátil na síntese de organoboranos. Determine a entalpia molar de
formação do B2H6(g), nas condições padrão, a partir das variações de entalpia das reações informadas:
4B(s) + 3O2(g)  2B2O3(s) Horeação= -2.543,8kJ
H2(g) + ½O2(g)  H2O(g) Horeação= -241,8kJ
B2H6 (g) + 3O2(g)  B2O3(s) + 3H2O(g) Horeação= -2.032,9kJ
Resolução
Rearranjando as reações dadas de forma que a somatória destas reações represente a reação de formação
do diborano gasoso, conforme segue:
2B(s) + 3/2O2(g)  B2O3(s) Horeação= -1.271,9kJ
B2O3(s) + 3H2O(g)  B2H6 (g) + 3O2(g) Horeação= 2.032,9kJ
3H2(g) + 3/2O2(g)  3H2O(g) Horeação= -725,4kJ
2B(s) + 3H2(g)  B2H6 (g) Hoformação= 35,6kJ.mol-1
8a Questão (10 pontos): A reação entre flúor gasoso e dióxido de cloro gasoso produziu os dados cinéticos
tabelados abaixo. Indique a lei de velocidade correta dessa reação:
[F2] mol/L
[ClO2] mol/L
Velocidade Inicial da reação (M/s)
0,10
0,010
1,2x10-3
0,10
0,040
4,8x10-3
0,20
0,010
2,4x10-3
A) velocidade = k[F2][ClO2]
B) velocidade = k[F2]/[ClO2]
C) velocidade = k[ClO2]/[F2]
D) velocidade = [F2][ClO2
9a Questão (10 pontos): A bateria de automóveis é chamada de bateria de chumbo/óxido de chumbo, ou
bateria de chumbo-ácido. Essa bateria é formada por placas de chumbo intercaladas com placas de
chumbo recobertas por dióxido de chumbo. Ambas estão mergulhadas em uma solução aquosa de ácido
sulfúrico (H2SO4) com 40% em massa, que funciona como o eletrólito (solução condutora de íons). As
semirreações que ocorrem nessa pilha são:
I - Pb(s) + HSO4-(aq) + H2O(l)  PbSO4 + H3O+(aq) + 2eII - PbO2(s) + HSO4-(aq) + H3O+(aq) + 2e-  PbSO4 + 5H2O
Sobre a bateria de chumbo-ácido, é correto afirmar que:
A) o cátodo é o polo negativo, representado pela semirreação I, enquanto o ânodo é o polo positivo,
representado pela reação II.
B) o cátodo é o polo positivo, representado pela semirreação II, enquanto o ânodo é o polo negativo,
representado pela reação I
C) o chumbo atua como agente oxidante.
D) o dióxido de chumbo é oxidado durante o processo.
10a Questão (10 pontos): Empregando equações químicas, forneça rotas de síntese a partir de
compostos em solução aquosa para obtenção de cloreto de sódio aquoso e de gás carbônico a partir de
carbonato de cálcio sólido.
Para obtenção de cloreto de sódio aquoso, é necessário reagir ácido clorídrico em solução de hidróxido de
sódio, conforme segue:
NaOH(aq) + HCl(aq)  NaCl(aq) + H2O(l)
Para obtenção de gás carbônico a partir de carbonato de cálcio sólido é necessário reagir o mesmo com um
ácido forte, como segue:
CaCO3 + 2HCl  CO2(g) + CaCl2(aq) + H2O