Ensino Superior
Cálculo 1
3- Derivada das Funções Inversas
Amintas Paiva Afonso
Cálculo 1 - Derivadas
Uma função é inversível se seu gráfico é interceptado
por qualquer reta horizontal somente em um ponto.
Assim f(x) = x3 é inversível, mas f(x) = x2 não é.
Cálculo 1 - Derivadas
Simetria das funções inversas
Os gráficos de f e f –1 são simétricos em relação à
bissetriz dos quadrantes ímpares (reta y = x).
Cálculo 1 - Derivadas
Cálculo 1 - Derivadas
Se f é inversível, para cada y do conjunto Imagem de f existe
somente um número x no Domínio de f tal que f(x) = y. Assim,
se f é inversível, existe uma nova função chamada a inversa
de f tal que (x) = y se f(y) = x.
Cálculo 1 - Derivadas
Cálculo 1 - Derivadas
Cálculo 1 - Derivadas
Interpretação geométrica das raízes de uma função
raiz
raiz
Seja f uma função de A em B. Denominamos
raiz (ou zero) da função f todo elemento de A
para o qual temos f(x) = 0.
Cálculo 1 - Derivadas
Cálculo 1 - Derivadas
Cálculo 1 - Derivadas
Cálculo 1 - Derivadas
Teste da reta vertical
Para que uma curva num plano cartesiano seja gráfico
de uma função y = f(x), nenhuma reta vertical deve
interceptá-la mais de uma vez.
Cálculo 1 - Derivadas
4.1. Derivada da função inversa f-1(x)
A inversa da função y(x) é a função x(y):
Seja f inversível e sua inversa dada por f-1.
Se f tem uma tangente de inclinação m  0 em
(y, x), então a inclinação de f-1 em (x, y) é m-1.
Como m = f´(y) e y = f-1(x), então m = f´(f-1(x)).
Daí m’ = D f-1(x)
= 1 / f’(f-1(x)).
Cálculo 1 - Derivadas
4.1. Derivada da função inversa f-1(x)
Exemplo: f(x) = y = x + 1  m = 1  y’ = 1
m = f´(y) = 1 e y = f-1(x) = x - 1
m’ = D f-1(x) = 1 / f’(f-1(x)) = 1
Cálculo 1 - Derivadas
• Derivada da função inversa
– Se uma função derivável f tem inversa g, então g é também
derivável e vale a seguinte igualdade:
• Exemplo
1
g ' ( f ( x)) 
f ' ( x)
– Considere a função f(x)=3x2 + x –1 na vizinhança do ponto x = 2.
Calcule a derivada da função inversa de f no ponto b = f(2) = 13.
– Derivando f(x), temos:
f ' ( x)  6 x  1
Cálculo 1 - Derivadas
• Se g indica a função inversa de f, então, pela regra da derivada da
inversa, temos:
1
g ' ( f ( x)) 
f ' ( x)
• A derivada de g no ponto f(2)=13 é:
1
g ' ( f ( x)) 
6x 1
1
1
g ' (13) 

6.2  1 13
Cálculo 1 - Derivadas
• Derivada de ordem superior
– No estudo de máximos e mínimos, vamos precisar não apenas da
derivada de uma função, mas de suas demais derivadas(das
derivadas das derivadas).
– A derivada de uma função f é às vezes chamada de primeira
derivada de f e é denotada por f ’. A derivada de f ‘ é chamada de
segunda derivada de f e é denotada por f ’’. A derivada de f ‘ ‘ é
chamada da terceira derivada de f, e é denotada por f ’’’; e assim
sucessivamente.
Cálculo 1 - Derivadas
• Notação de Leibniz
– Leibniz denotava a derivada da função f por
dy
.
dx
– Se a função f é inversível, num dado intervalo, utilizamos a
notação
– Assim:
dy para designar a derivada da função inversa.
dx
dx 1

dy dy
dx
Cálculo 1 - Derivadas
• Exemplo
– Calcule a derivada da função inversa de f(x) = x3 + 4x2 – x no
ponto f(1)=4.
– Seja y=
x3
+
4x2
dy
 3x 2  8 x  1
– x , então,
dx
– Logo, a inversa de y é:
– Como f(1)=4, então:
dx 1
1

 2
dy
dy
3x  8 x  1
dx
dx
1
1
1
(4) 
 2

dy
dy
(1) 3.1  8.1  1 10
dx
Cálculo 1 - Derivadas
Gottfried Wilhelm Leibiniz
DERIVADAS
DIFERENCIAIS
NOTAÇÃO
DE LAGRANGE
=0
dk = 0
(k)´= 0
d(ku) = 0
(ku)´= 0
d(u+v) = du+dv
(u+v)´= u´+ v´
d(u.v) = vdu + udv
(uv)´= u´v+v´u
(u + v) =
+
d(u/v) = (vdu –udv)/v2
(u/v)´= (u’v – v’u)/v2
n-1.du
d(un) = n.u
+
(un)´= n.un-1.u´
d(eu) = eu.du
(eu)´= eu.u´
DERIVADAS
DIFERENCIAIS
NOTAÇÃO
DE LAGRANGE
d(au) = au.lna.du
(au)’ = au.lna.u’
d(senu) = cosu.du
(senu)’ = cosu.u’
d(cosu) = - senu.du
(cosu)’ = -senu.u’
d(lnu) = (1/u).du
(lnu)´= (1/u).u’
d(arctgu) =
du/(1+u2)
(arctgu)’ = u’/(1+u2)