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TRIÂNGULO RETÂNGULO
TEXTO PARA A PRÓXIMA QUESTÃO:
Qualquer livro intitulado Como a mente funciona deveria começar com uma nota de
humildade; começarei com duas. Primeiro, não entendemos como a mente funciona – nem de
longe tão bem quanto compreendemos como funciona o corpo, e certamente não o suficiente
para projetar utopias ou curar a infelicidade. Então, por que esse título audacioso? O linguista
Noam Chomsky declarou certa vez que nossa ignorância pode ser dividida em problemas e
mistérios. Quando estamos diante de um problema, podemos não saber a solução, mas temos
insights, acumulamos um conhecimento crescente sobre ele e temos uma vaga ideia do que
buscamos. Porém, quando defrontamos um mistério, ficamos entre maravilhados e perplexos,
sem ao menos uma ideia de como seria a explicação. Escrevi este livro porque dezenas de
mistérios da mente, das imagens mentais ao amor romântico, foram recentemente promovidos
a problemas (embora ainda haja também alguns mistérios!). Cada ideia deste livro pode
revelar-se errônea, mas isso seria um progresso, pois nossas velhas ideias eram muito sem
graça para estar erradas.
Em segundo lugar, eu não descobri o que de fato sabemos sobre o funcionamento da
mente. Poucas das ideias apresentadas nas páginas seguintes são minhas. Selecionei, de
muitas disciplinas, teorias que me parecem oferecer um insight especial a respeito dos nossos
pensamentos e sentimentos, que se ajustam aos fatos, predizem fatos novos e são coerentes
em seu conteúdo e estilo explicativo. Meu objetivo foi tecer essas ideias em um quadro coeso,
usando duas ideias ainda maiores que não são minhas: a teoria computacional da mente e a
teoria da seleção natural dos replicadores.
(PINKER, Steven. Como a Mente Funciona. São Paulo: Companhia das Letras, 1998, p. 9.)
1. Num projeto hidráulico, um cano com diâmetro externo de 6 cm será encaixado no vão
triangular de uma superfície, como ilustra a figura abaixo. Que porção x da altura do cano
permanecerá acima da superfície?
1
cm
2
b) 1 cm
a)
c)
3
cm
2
cm
2
e) 2 cm
d)
ˆ
2. Considere um triângulo ABC retângulo em C e
o ângulo BAC.
Sendo AC 1 e
1
sen( )
, quanto vale a medida da hipotenusa desse triângulo?
3
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a) 3
b)
2 2
3
c)
10
3 2
4
3
e)
2
d)
3. Para determinar a distância de um barco até a praia, um navegante utilizou o seguinte
procedimento: a partir de um ponto A, mediu o ângulo visual a fazendo mira em um ponto fixo
P da praia. Mantendo o barco no mesmo sentido, ele seguiu até um ponto B de modo que
fosse possível ver o mesmo ponto P da praia, no entanto sob um ângulo visual 2 . A figura
ilustra essa situação:
30º e, ao chegar ao ponto B, verificou
Suponha que o navegante tenha medido o ângulo
que o barco havia percorrido a distância AB 2000 m . Com base nesses dados e mantendo a
mesma trajetória, a menor distância do barco até o ponto fixo P será
a) 1000 m .
b) 1000 3 m .
3
m.
3
d) 2000 m .
c) 2000
e) 2000 3 m .
4. Um indivíduo em férias na praia observa, a partir da posição P1 , um barco ancorado no
horizonte norte na posição B. Nesta posição P1 , o ângulo de visão do barco, em relação à
praia, é de 90°, como mostrado na figura a seguir.
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Ele corre aproximadamente 1000 metros na direção oeste e observa novamente o barco a
partir da posição P2 . Neste novo ponto de observação P2 , o ângulo de visão do barco, em
relação à praia, é de 45°.
Qual a distância P2B aproximadamente?
a) 1000 metros
b) 1014 metros
c) 1414 metros
d) 1714 metros
e) 2414 metros
5. Um foguete é lançado de uma rampa situada no solo sob um ângulo de 60º , conforme a
figura.
Dados: sen 60º
3
; cos 60º
2
1
; tg 60º
2
3.
A altura em que se encontra o foguete, após ter percorrido 12km , é
a) 600 dam
b) 12.000 m
c) 6.000 3 dm
d) 600.000 3 cm
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6. A trigonometria estuda as relações entre os lados e os ângulos de um triângulo. Em um
cat. oposto
cat. adjacente
triângulo retângulo, sabemos que senθ
, cos θ
e
hipotenusa
hipotenusa
cat. oposto
tgθ
. Considere o triângulo abaixo e as proposições I, II e III.
cat.adjacente
I. o ΔABC é retângulo em B.
II. cos Â
III. sen Â
0,8
tg Â
32
15
Assinale a alternativa correta.
a) Apenas a proposição I é verdadeira.
b) Apenas as proposições II e III são verdadeiras.
c) Apenas as proposições I e III são verdadeiras.
d) Apenas a proposição II é verdadeira.
e) Todas as proposições são verdadeiras.
7. Uma baixa histórica no nível das águas no rio Amazonas em sua parte peruana deixou o
Estado do Amazonas em situação de alerta e a Região Norte na expectativa da pior seca
desde 2005. [...] Em alguns trechos, o Rio Amazonas já não tem profundidade para que balsas
com mercadorias e combustível para energia elétrica cheguem até as cidades. A Defesa Civil
já declarou situação de atenção em 16 municípios e situação de alerta – etapa imediatamente
anterior à situação de emergência – em outros nove. Porém, alguns trechos do rio Amazonas
ainda permitem plenas condições de navegabilidade.
Texto adaptado de: http://www.ecodebate.com.br/2010/09/10/com-seca-no-peru-nivel-dorioamazonasdiminuiu-e-regiao-norte-teme-pior-estiagem-desde-2005/ Acesso em: 10 nov. 2010.
Considerando que um barco parte de A para atravessar o rio Amazonas; que a direção de seu
deslocamento forma um ângulo de 120º com a margem do rio; que a largura do rio,
teoricamente constante, de 60 metros, então, podemos afirmar que a distância AB em metros
percorrida pela embarcação foi de...
Dados:
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0º
45º
60º
Seno
Cosseno
Tangente
1
2
3
2
2
2
1
2
3
3
2
2
3
2
1
3
a) 60 3 metros.
b) 40 3 metros.
c) 120 metros.
d) 20 3 metros.
e) 40 metros.
8. Uma pessoa cujos olhos estão a 1,80 m de altura em relação ao chão avista o topo de um
edifício segundo um ângulo de 30° com a horizontal. Percorrendo 80 m no sentido de
aproximação do edifício, esse ângulo passa a medir 60°. Usando o valor 1,73 para a raiz
quadrada de 3, podemos concluir que a altura desse edifício é de aproximadamente:
a) 59 m
b) 62 m
c) 65 m
d) 69 m
e) 71 m
9. Um balão atmosférico, lançado em Bauru (343 quilômetros a Noroeste de São Paulo), na
noite do último domingo, caiu nesta segunda-feira em Cuiabá Paulista, na região de Presidente
Prudente, assustando agricultores da região. O artefato faz parte do programa Projeto
Hibiscus, desenvolvido por Brasil, Franca, Argentina, Inglaterra e Itália, para a medição do
comportamento da camada de ozônio, e sua descida se deu após o cumprimento do tempo
previsto de medição.
Disponível em: http://www.correiodobrasil.com.br. Acesso em: 02 maio 2010.
Na data do acontecido, duas pessoas avistaram o balão. Uma estava a 1,8 km da posição
vertical do balão e o avistou sob um ângulo de 60°; a outra estava a 5,5 km da posição vertical
do balão, alinhada com a primeira, e no mesmo sentido, conforme se vê na figura, e o avistou
sob um ângulo de 30°.
Qual a altura aproximada em que se encontrava o balão?
a) 1,8 km
b) 1,9 km
c) 3,1 km
d) 3,7 km
e) 5,5 km
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10. O valor de
cos 45
sen30
cos60
é:
a)
2 1
b) 2
c)
2
4
d)
2 1
2
e) 0
11. Na figura, a seguir, um fazendeiro (F) dista 600 m da base da montanha (ponto B). A
medida do ângulo A F̂ B é igual a 30º.
Ao calcular a altura da montanha, em metros, o fazendeiro encontrou a medida correspondente
a
a) 200 3.
b) 100 2.
c) 150 3.
d) 250 2.
12. Em parques infantis, é comum encontrar um brinquedo, chamado escorrego, constituído
de uma superfície plana inclinada e lisa (rampa), por onde as crianças deslizam, e de uma
escada que dá acesso à rampa. No parque de certa praça, há um escorrego, apoiado em um
piso plano e horizontal, cuja escada tem 2m de comprimento e forma um ângulo de 45º com o
piso; e a rampa forma um ângulo de 30º com o piso, conforme ilustrado na figura a seguir.
De acordo com essas informações, é correto afirmar que o comprimento (L) da rampa é de:
2m
b) 2 2 m
c) 3 2 m
d) 4 2 m
a)
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e) 5 2 m
13. Sobre um plano inclinado deverá ser construída uma escadaria.
Sabendo que cada degrau da escada deverá ter uma altura de 20 cm e que a base do plano
inclinado mede 280 3 cm, conforme mostra a figura, então a escada deverá ter:
a) 10 degraus.
b) 28 degraus.
c) 14 degraus.
d) 54 degraus.
e) 16 degraus.
14. Ao morrer, o pai de João, Pedro e José deixou como herança um terreno retangular de 3
km x 2 km que contém uma área de extração de ouro delimitada por um quarto de círculo de
raio 1 km a partir do canto inferior esquerdo da propriedade. Dado o maior valor da área de
extração de ouro, os irmãos acordaram em repartir a propriedade de modo que cada um
ficasse com a terça parte da área de extração, conforme mostra a figura.
Em relação à partilha proposta, constata-se que a porcentagem da área do terreno que coube
a João corresponde, aproximadamente, a
(considere
3
= 0,58)
3
a) 50%.
b) 43%.
c) 37%.
d) 33%.
e) 19%.
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15. Para representar as localizações de pontos estratégicos de um acampamento em
construção, foi usado um sistema de eixos cartesianos ortogonais, conforme mostra a figura a
seguir, em que os pontos F e M representam os locais onde serão construídos os respectivos
dormitórios feminino e masculino e R, o refeitório.
Se o escritório da Coordenação do acampamento deverá ser equidistante dos dormitórios
feminino e masculino e, no sistema, sua representação é um ponto pertencente ao eixo das
abscissas, quantos metros ele distará do refeitório?
a) 10 3
b) 10
c) 9 3
d) 9
e) 8 3
16. Para se calcular a altura de uma torre, utilizou-se o seguinte procedimento ilustrado na
figura: um aparelho (de altura desprezível) foi colocado no solo, a uma certa distância da torre,
e emitiu um raio em direção ao ponto mais alto da torre. O ângulo determinado entre o raio e o
π
radianos. A seguir, o aparelho foi deslocado 4 metros em direção à torre e o
3
ângulo então obtido foi de â radianos, com tg â = 3 3 .
solo foi de ‫= ل‬
É correto afirmar que a altura da torre, em metros, é
a) 4 3
b) 5 3
c) 6 3
d) 7 3
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e) 8 3
17. Dois edíficios, X e Y, estão um em frente ao outro, num terreno plano. Um observador, no
pé do edifício X (ponto P), mede um ângulo á em relação ao topo do edifício Y (ponto Q).
Depois disso, no topo do edifício X, num ponto R, de forma que RPTS formem um retângulo e
QT seja perpendicular a PT, esse observador mede um ângulo â em relação ao ponto Q no
edifício Y.
Sabendo que a altura do edifício X é 10 m e que 3 tg á = 4 tg â, a altura h do edifício Y, em
metros, é:
40
.
3
50
b)
.
4
a)
c) 30.
d) 40.
e) 50.
18. As medidas dos lados dos triângulos a seguir são dadas em cm. O valor de x + y é:
a) 8 cm.
b) 10 cm.
c) 13 cm.
d) 9 cm.
e) 11 cm.
19. Uma empresa de engenharia deseja construir uma estrada ligando os pontos A e B, que
estão situados em lados opostos de uma reserva florestal, como mostra a figura a seguir.
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A empresa optou por construir dois trechos retilíneos, denotados pelos segmentos AC e CB,
ambos com o mesmo comprimento. Considerando que a distância de A até B, em linha reta, é
igual ao dobro da distância de B a D, o ângulo á, formado pelos dois trechos retilíneos da
estrada, mede
°
a) 110
°
b) 120
°
c) 130
°
d) 140
°
e) 150
°
20. Um avião levanta voo sob um ângulo de 30 . Então, depois que tiver percorrido 500 m,
conforme indicado na figura, sua altura h em relação ao solo, em metros, será igual a:
°
°
Considere sen 30 = 0,50 ou cos 30 = 0,87.
a) 250
b) 300
c) 400
d) 435
21. Em um shopping, uma pessoa sai do primeiro pavimento para o segundo através de uma
escada rolante, conforme a figura a seguir.
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A altura H, em metros, atingida pela pessoa, ao chegar ao segundo pavimento, é:
a) 15
b) 10
c) 5
d) 3
e) 2
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Gabarito:
Resposta da questão 1:
[B]
3
AO
Logo, 6 3 x
1
2
8
sen30o
3
AO
AO
x 1cm .
6cm
Resposta da questão 2:
[D]
1
, vem
3
Sabendo que AC 1 e sen
sen
BC
AB
1
3
BC
AB
AB
.
3
BC
Aplicando o Teorema de Pitágoras, obtemos:
AB
2
AC
2
BC
2
AB
AB
3
2
8 AB
9
AB
2
12
2
1
3
2 2
3 2
.
4
Resposta da questão 3:
[B]
ΔABP é isósceles (AB
BP
2000)
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No ΔPBC temos:
d
sen60o
2000
3
2
d
2000
d 1000 3 m
Resposta da questão 4:
[C]
1000
x
2 1000
2
x
2x 2000
2000
x
2
x  1, 414 m
cos 45º
Resposta da questão 5:
[D]
h = altura.
sen60o
h
12
3
h
2
12
h 6. 3km = 600.000 3cm
Resposta da questão 6:
[C]
I. (V) - Observar o desenho.
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II. (F) - cos(Â)
6
10
0,6 ;
III) (V) - sen Â
tg Â
8
10
8
6
4
5
4
3
32
;
15
Resposta da questão 7:
[B]
60
AB
sen60o
3
2
AB
AB
60
AB
120
3
40 3m
Resposta da questão 8:
[E]
x
3
x 80.
80
2
69,2 1,8 71m
sen 60 o
h
40.1,73 69,3m
Resposta da questão 9:
[C]
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tg60
H
1,8
3
H 1,8. 3
H 3,1m
Resposta da questão 10:
[A]
2 1
2 2
1
2
1
( 2 1)
2
1
2
2 1
Resposta da questão 11:
[A]
o
tg 30 =
x
600
x
600.
3
3
x
200. 3m
Resposta da questão 12:
[B]
x2
x2
x
2
22
o
sen 30 =
2
L
L
2. 2
Resposta da questão 13:
[C]
Seja n o número de degraus da escada.
tg 30
20


20 3 cm
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n
280 3
20 3
14.
Resposta da questão 14:
[E]
No triângulo assinalado (João) temos:
x
3
x 2
2.0,58 1,16
2
3
1,16.2
A
1,16
2
1,16
Em porcentage m
19%
6
tg 30 o
Resposta da questão 15:
[B]
Resposta da questão 16:
[C]
Resposta da questão 17:
[D]
Resposta da questão 18:
[E]
Resposta da questão 19:
[B]
Resposta da questão 20:
[A]
Resposta da questão 21:
[C]
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Resumo das questões selecionadas nesta atividade
Data de elaboração:
Nome do arquivo:
27/03/2012 às 22:38
click- trigonometria
Legenda:
Q/Prova = número da questão na prova
Q/DB = número da questão no banco de dados do SuperPro®
Q/prova
Q/DB
Matéria
Fonte
Tipo
1 ................. 108965 ............ Matemática ........ Ufpr/2012 ................................ Múltipla escolha
2 ................. 107814 ............ Matemática ........ Ufjf/2011 ................................. Múltipla escolha
3 ................. 108694 ............ Matemática ........ Enem/2011 ............................. Múltipla escolha
4 ................. 103196 ............ Matemática ........ Uel/2011 ................................. Múltipla escolha
5 ................. 104771 ............ Matemática ........ G1 - cftmg/2011 ...................... Múltipla escolha
6 ................. 106258 ............ Matemática ........ G1 - ifsc/2011 ......................... Múltipla escolha
7 ................. 106299 ............ Matemática ........ G1 - ifsc/2011 ......................... Múltipla escolha
8 ................. 97961 .............. Matemática ........ Espm/2010 ............................. Múltipla escolha
9 ................. 100301 ............ Matemática ........ Enem/2010 ............................. Múltipla escolha
10 ............... 92587 .............. Matemática ........ Pucrj/2010 .............................. Múltipla escolha
11 ............... 93663 .............. Matemática ........ Uemg/2010 ............................. Múltipla escolha
12 ............... 95026 .............. Matemática ........ Ufpb/2010 ............................... Múltipla escolha
13 ............... 86548 .............. Matemática ........ Udesc/2009 ............................ Múltipla escolha
14 ............... 90642 .............. Matemática ........ Enem/2009 ............................. Múltipla escolha
15 ............... 86425 .............. Matemática ........ Pucsp/2008............................. Múltipla escolha
16 ............... 77907 .............. Matemática ........ Fuvest/2008 ............................ Múltipla escolha
17 ............... 79599 .............. Matemática ........ Unesp/2008 ............................ Múltipla escolha
18 ............... 86345 .............. Matemática ........ G1 - cftsc/2008 ....................... Múltipla escolha
19 ............... 70315 .............. Matemática ........ Ufg/2007 ................................. Múltipla escolha
20 ............... 74791 .............. Matemática ........ Pucmg/2007 ........................... Múltipla escolha
21 ............... 82658 .............. Matemática ........ Ufpb/2007 ............................... Múltipla escolha
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