OS CONJUNTOS NUMÉRICOS
CONJUNTOS NUMÉRICOS
O conceito de número
foi evoluindo ao longo
dos tempos, tendo-se
criado novos números
para responder a
problemas entretanto
surgidos.
OS CONJUNTOS NUMÉRICOS
NATURAIS
INTEIROS
RACIONAIS
E ...?????
NÚMEROS NATURAIS
Estes números foram criados pela
necessidade prática de contar as
coisas da natureza, por isso são
chamados de números naturais.
Este universo é abordado de duas
formas distintas: abordagem
ordinal, em que os números
indicam posições, e a abordagem
cardinal, em que os números
designam quantidades.
4
1
2
3
NÚMEROS NATURAIS
A formalização mais bem sucedida para o
conjunto dos números naturais foi proposta pelo
matemático Guiusepe Peano, no século XIX. Ele
relacionou os conceitos ordinais e cardinais
estabelecendo o conjunto N, cuja representação
matemática é:
N = { 0,1, 2, 3, 4, 5, ... }
• Zero não é sucessor de nenhum número natural.
•Todo número natural possiu um único sucessor.
NÚMEROS NATURAIS
A adição é a primeira operação aritmética que
devemos compreender neste universo e se aplica a
dois ou mais números naturais (parcelas) e produz um
único resultado, que chamamos de soma ou total.
•O zero é elemento neutro da adição.
•São válidas as propriedades:
Comutativas da adição: A + B = B + A
Associativas da adição: ( A + B ) + C = A + ( B + C )
NÚMEROS NATURAIS
A multiplicação é a próxima operação aritmética
que devemos compreender no universo natural e
se aplica a dois ou mais números naturais, agora
chamados fatores, e também produz um único
resultado, o qual chamamos de produto.
•O produto do número zero com qualquer outro
número natural é igual ao número zero.
•O número um
multiplicação.
é
elemento
neutro
da
NÚMEROS NATURAIS
Aplica-se ainda a lei da multiplicação distributiva .
•À direita:
(m + n ) . p = mp + np
•À esquerda:
p . (m + n ) = pm + pn
NÚMEROS NATURAIS
•São válidas as propriedades:
Comutativas da multiplicação: A . B = B . A
Associativas da multiplicação:( A . B ) . C = A . ( B . C)
No universo dos naturais a potenciação pode ser
definida por sucessivas multiplicações de fatores
iguais e se aplica a dois números apenas, a base, que
indica o valor destes fatores, e o expoente, que indica
a quantidade de vezes que devemos multiplicar o
número um pela base.
NÚMEROS NATURAIS
A potenciação não possui propriedade comutativa
nem associativa, e além disso as potências de
expoentes dois e três costumam ser chamadas de
quadrado e cubo, respectivamente, por estarem
presentes nas expressões que calculam área e
volume de figuras geométricas.
NÚMEROS NATURAIS
A divisão no universo natural é uma operação aplicada
apenas a dois números (dividendo e divisor), e que
produz dois resultados chamados de quociente e resto.
Sendo N e d dois números naturais, tais que N
dividido por d produz um quociente q e um resto r,
obedecendo as seguintes condições:
N = q.d + r e 0 ≤ r < d
NÚMEROS NATURAIS
*Fica comprovado aqui que não existe divisão em que
o divisor é zero, pois, sendo d = 0, não existe número r
que satisfaça a desigualdade 0 ≤ r < d.
Então, dados os números N e d ≠ 0, o quociente da
divisão de N por d será o maior número natural q, tal
que o produto q.d não ultrapasse o valor de N, e o
resto dessa divisão é igual a diferença entre o
dividendo N e o produto q.d. Por exemplo:
17: 5 = 3. 5 + 2
Note que 3.5 < 17 e o resto é 2 = 17 – 3.5 = 17 - 15
NÚMEROS NATURAIS
*Numa expressão aritmética as operações devem
ser efetuadas necessariamente na seguinte ordem:
1)Potenciações;
2)Multiplicações e divisões;
3)Adições e subtrações.
NÚMEROS INTEIROS
A subtração, ou a operação inversa da adição, é a primeira
operação aritmética que devemos compreender neste universo
e se aplica a dois ou mais números naturais produzindo um
único resultado, que chamamos de diferença ou total.
O cálculo: 3 – 4, no conjunto dos números naturais, era
impossível (4 é chamado o subtraendo e 3 o minuendo), pois
neste conjunto numérico para que a subtração tenha sentido é
necessário que o minuendo seja maior que o subtraendo.
A idéia do número negativo veio da necessidade de expandir o
universo dos naturais e, aparece na Índia, associada a
problemas comerciais que envolviam dívidas...surgem daí o
conjunto dos números inteiros.
NÚMEROS INTEIROS
A abordagem cardinal e ordinal dos números naturais
ganha orientação e o número zero se torna origem para
contagem de posições feita no sentido definido
arbitrariamente como positivo (+) e negativo (-).
A representação matemática deste conjunto é:
Z = {..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...}
*Na prática aritmética omitimos o sinal dos números
positivos e usamos o sinal negativo para indicar o
oposto ou simétrico de um número em relação a
origem.
NÚMEROS INTEIROS
•São válidas as seguintes propriedades:
A- B =- B +A
(a ordem das parcelas não altera o resultado)
A–B- C=A-( B +C )
A– ( B–C) =A- B + C
(futuramente será visto como um dos casos de fatoração: fator comum
em evidência, no caso acima o número -1)
NÚMEROS INTEIROS
A multiplicação no universo dos inteiros deve
obedecer à seguinte regra de sinais: o produto entre
dois números inteiros de mesmo sinal é positivo e o
produto entre dois números inteiros de sinais opostos é
negativo.
(+).(+)=(+)
( + ) . ( -- ) = ( -- )
( -- ) . ( + ) = ( -- )
( -- ) . ( -- ) = ( + )
NÚMEROS INTEIROS
*Além disso, os fatores da multiplicação devem ser
escritos entre parênteses para que os sinais dos
números inteiros não sejam confundidos com os
operadores de adição e subtração, só assim indicamos
ao certo a base de uma potência negativa.
O produto sucessivo de fatores negativos iguais ou a
potenciação de um número negativo (cuja base
representa um número menor que zero), apresenta a
seguinte propriedade:
•Base < 0 e expoente par, resulta em um número (+)
•Base < 0 e expoente ímpar, resulta em um número (-)
NÚMEROS INTEIROS
O resto da divisão no universo inteiro não pode ser
negativo e o sinal do quociente obedece à mesma regra
de sinais da multiplicação.
Como o divisor d não pode ser negativo:
N = q.d + r e 0 ≤ r < ǀ d ǀ
Em que ǀ d ǀ indica o valor absoluto do divisor, ou seja,
o número d sem seu sinal ou a distância do mesmo até
a origem.
NÚMEROS INTEIROS
Por exemplo:
•Dividindo-se (+17) por (-5) obtemos quociente (-3) e
resto (+2), pois 17 = (-3).(-5) + 2 e 0 ≤ 2 < ǀ -5 ǀ.
• Dividindo-se (-17) por (+5) obtemos quociente (-4) e
resto (+3), pois (-17) = (-4).(+5) + 3 e 0 ≤ 3 < 5.
•Dividindo-se (-17) por (-5) obtemos quociente (+4) e
resto (+3), pois (-17) = (+4).(-5) + 3 e 0 ≤ 3 < ǀ -5 ǀ.
NÚMEROS INTEIROS
Se na divisão de um número inteiro N por um número
inteiro d o resto obtido for igual a zero, então dizemos
que o número N é divisível pelo número d ou que N é
múltiplo de d, e ainda que o número d é divisor do
número N.
Há duas operações básicas no universo dos números
inteiros que não são indicadas por operadores
simbólicos como: ( + ), ( -- ), ( . ) ou ( : ), mas sim por
siglas que designam seu significado. Essas operações
são chamadas mínimo múltiplo comum (mmc) e máximo
divisor comum (mdc), podem ser aplicadas a dois ou
mais inteiros a têm propriedade associativa e
multiplicativa.
mdc
O máximo divisor comum de dois ou mais números
inteiros positivos é o maior número inteiro que divide
todos esses números.
Uma maneira prática de se determinar o mdc é
dividindo sucessivamente e simultaneamente os
números por números primos até que não seja mais
possível a divisão simultânea.
Dessa forma, o mdc é dado pelo produto desses
números primos.
O mdc de dois ou mais números, quando fatorados, é
o produto dos fatores comuns a eles, cada um elevado
ao menor expoente.
mmc
O mínimo múltiplo comum de dois ou mais números
inteiros positivos é o menor número inteiro positivo
que é divisível por todos esses números.
Assim como o mdc é possível calcular o mmc.
fazendo divisões sucessivas por números primos e
depois multiplicando-se tais números primos. A
diferença é que as divisões não param quando não
existe mais um divisor primo que seja comum a todos.
Observação: Dados dois números primos entre si, o
mmc deles é o produto desses números.
mmc e mdc
Sendo n um número inteiro, considere os conjuntos
M(n) e D(n) dos múltiplos e dos divisores positivos do
número n, respectivamente. Assim, temos por
exemplo:
M(6) = {6,12,18,24,30,...}
M(8) = {8,16,24,32,40...}
mmc(6,8) = 24
D(6) = {1,2,3,6}
D(8) = {1,2,4,8}
mdc(6,8) = 2
mmc e mdc
Exemplo:
Sejam os números 24 e 36.
D(24)={1;2;3;4;6;8;12;24}
D(36)={1;2;3;4;6;9;12;18;36}
O máximo divisor comum ou mdc entre 24 e 36
é 12.
mdc(24,36)=12
mmc e mdc
M(24)={24;48;72;96;120;144;160;192;216;...}
M(36)={36;72;108;144;180;216;...}
Os múltiplos positivos comuns de 24 e 36 são:
{72;144;216;...}
O mínimo múltiplo comum ou mmc entre 24 e
36 é o 72.
mmc(24,36)=72
mmc e mdc
Fatorando:
24=2³ . 3
36=2² . 3²
mdc(24,36)=12=3.2²
mmc(24,36)=72=3².2³
mdc: Separadamente, note que o máximo divisor
comum (mdc) é o produto de todas as bases comuns a
ambas as decomposições, com menor expoente.
mmc: Separadamente, note que o mínimo múltiplo
comum (mmc) é o produto de todas os fatores de ambas
decomposições (uma vez cada), e quando há repetição
usa-se o de maior expoente.
RELAÇÃO ENTRE
MÁXIMO DIVISOR COMUM E
MÍNIMO MÚLTIPLO COMUM
mdc( a , b ) . mmc( a , b ) = a . b
NÚMEROS INTEIROS
Assim, definimos o mínimo múltiplo comum entre
dois números inteiros a e b diferentes de zero, como
sendo o menor elemento da interseção dos conjuntos
M(a) e M(b), e o máximo divisor comum desses
números como sendo o maior elemento da interseção
dos cunjuntos D(a) e D(b). A única exceção a essa
regra é para mmc entre zero e um número qualquer,
isto é, mmc (0, n) = 0.
*O resultado das operações mmc e mdc serão
positivos mesmo quando essas operações são
aplicadas a números negativos.
NÚMEROS RACIONAIS
Há muito tempo transmitimos a idéia de quantidades
concretas através de palavras como “metade”,
“percentual”, “centavos” ou “dízimo”.
É inegável que R$ 100,00 ou ¼ ou 30% são legítimas
representações de quantidade, embora não compartilhem
do mesmo sistema de representação.
Frases como: “um terço da população”, “quatro de cada
dez pessoas”, “um em um milhão” e outras, se fazem
constantes em nosso cotidiano.
NÚMEROS RACIONAIS
Entretanto... com o tempo surgiram outras questões que
no conjunto dos números inteiros não tinham sentido.
“ Como dividir 3 vacas por 2 herdeiros? ”
Para resolver problemas desse tipo foram criados os
números fracionários e decimais.
Estes números juntamente com os números inteiros
formam o conjunto dos números racionais.
A representação matemática deste conjunto é:
Q = Z  { números fracionários e decimais }
O que são Números
Racionas?
Número Racional é todo o número
que pode ser representado por uma
razão (ou fração) entre dois
números inteiros (com denominador
diferente de zero), podendo
apresentar ainda a forma decimal
(casos em que não há resto).
1/4 = 0,25
Noções intuitivas de fração:
2
3
4
3
2
4
1
5
8
4
4
8
4
3
3
3
3
6
Nota: Quando o numerador é menor que o
denominador, a fração representa um número menor
que 1, isto é, uma FRAÇÃO PRÓPRIA caso contrário
ela é dita IMPRÓPRIA, e se o numerador é igual ao
denominador essa fração representa o número 1.
NÚMERO MISTO
As frações impróprias compõem o número misto.
Por exemplo:
2
1
 2
3
1
4
7
1

3
 1
7

2 .3  1

3
6 .1  7
6 1
3

67
6
6
6
6
1
1
4 .5  1
20  1
5
 4
5

5


5
7
3

13
6

21
5
25
5
10
100
96
312
10
100
8
1000
12
1000
Nota: Outras frações bem conhecidas são as
DECIMAIS, ou seja, frações cujo denominador
é um múltiplo de DEZ, isto é, 10, 100, 1000…
(potência de base 10).
Comparando números fracionários com mesmo
denominador
12
Chocolate
Nº de fatias comidas
10
Amêndoa
8
6
Noz
4
2
0
Escreva a fração correspondente ao número de fatias que
se comeu de cada bolo.
Amêndoas :
8
12
Chocolate:
11
12

8
12

11
12
Noz:
4
12
4
12
Conclusão: Em frações com o mesmo denominador, o maior
número é aquele que tiver maior numerador.
Comparando números fracionários com mesmo
numerador
A mãe do André pôs-lhe um problema: tenho uma barra de
chocolate para repartir por duas, três ou quatro crianças. Em
que caso, ficará cada criança com mais chocolate?
O André pensou, fez um esquema e depois respondeu:
1
2
1
3
1
4
1
2

1
3

1
4
Conclusão: Em frações com o mesmo numerador, o maior
número é aquele que tiver menor denominador.
FRAÇÕES EQUIVALENTES OU PROPORÇÕES
Paula deu a cada um dos meninos: Zezinho, Pedrinho e Joãozinho,
uma folha A4 para pintarem como se fosse uma parede.
O Zezinho pintou
1
2
da folha, o Pedrinho
2
4
e o Joãozinho
4
8
Qual deles pintou mais?
Zezinho
1
Pedrinho
2
4
2
1
2

2
4

4
Joãozinho
4
8
 0 ,5
8
Afinal, pintaram todos a mesma porção de folha. Frações
equivalentes são frações que representam o mesmo número.
.
Repare:
x4
x2
1
2

2
4

:4
:2
4
8
x2
ou
1
2

2

4
4
8
:2
x4
:4
Princípio de equivalência de frações: se
multiplicarmos ou dividirmos ambos os termos
de uma fração (numerador e denominador)
pelo mesmo número inteiro, diferente de zero,
obtemos uma fração equivalente à dada.
Por exemplo:
x3
4

5
x2
12
1
15
9
x3

2
18
x2
:5
15

30
3
6
:5
Comparando números fracionários com numerador e
denominador diferentes
2
4
é maior ou menor que
1
5
?
A forma fracionária deixa bastante claro como se deve obter a parte
desejada, mas torna difícil a comparação entre os números.
2
4
 2 : 4  0 ,5
1
0 ,5  0 , 2
 1 : 5  0,2
5
Já na forma decimal, a ordem crescente desses números se faz visível
em pouco tempo, desde que sejam usadas o mesmo número de casas
decimais.
Logo:
2
4

1
5
Conclusão: Podemos dividir o numerador pelo denominador e
comparar os resultados, ou tornar o denominador o mesmo, através
do princípio de equivalência das frações, e em seguida comparar.
SIMPLIFICAÇÃO
Simplificar uma fração é, obter uma fração equivalente com
termos menores até que o mdc do numerador e denominador seja
igual a um, chegando-se portanto a fração na forma irredutível.
:2
:2
24

36
12

18
:2
2
3
6
9
:2
: 12
:3

2
3
:3
ou
24

36
: 12
não se pode simplificar mais, chama-se FRAÇÃO
IRREDUTÍVEL.
2
3
Adição e
subtração
em Z e Q
ADIÇÃO DE NÚMEROS INTEIROS COM O MESMO SINAL
(+3)+(+2)=(+5)
Sinais operacionais
Sinais posicionais
(-3)+(-2)=(-5)
Da adição de dois números relativos com o
mesmo sinal, resulta um número com o mesmo
sinal e cujo valor absoluto é a soma dos valores
absolutos desses números.
ADIÇÃO DE NÚMEROS INTEIROS COM SINAIS CONTRÁRIOS
(-3)+(+2)=(-1)
Sinais operacionais
Sinais posicionais
(+3)+(-2)=(+1)
Da adição de dois números relativos com sinais
contrários, resulta um número com o sinal do que
tiver maior valor absoluto. O seu valor absoluto é
a diferença dos valores absolutos desses
números.
SUBTRAÇÃO DE NÚMEROS INTEIROS
Será que só existem adições?
Então e a subtração (+2) - (+4) ?
Fácil! Nesse caso transforma-se a
subtração em adição pelo seu simétrico
ou oposto.
(+2) + (- 4 ) = - 2
E agora como vamos adicionar
números racionais relativos na
forma fracionária ?
A definição de adição de inteiros mantém-se para
o conjunto dos números racionais relativos, a única
diferença é que neste conjunto numérico é
necessário que o denominador seja o mesmo, ou pelo
princípio da equivalência de frações ou pelo cálculo
do mmc entre os denominadores:
9
 1  2  5   4 
     
 

10
 2   5   10   10 
( 5 )
( 2 )
 1  2  5 
     

 2   5   10 
( 5 )
( 2 )
9
 4 


10
 10 
E agora
como vamos
subtrair
E SE OS SINAIS
FOREM
DIFERENTES?
números racionais relativos na
forma fracionária ?
A definição de subtração de inteiros mantém-se
para o conjunto dos números racionais, de forma
análoga a anterior.
A expressão
 1  2



2
5

 

é o mesmo que:
1
 1  2  5   4 
     
 

10
 2   5   10   10 
( 5 )
Logo:
( 2 )
1
 1  2  1  2  5   4 
         
 

10
 2   5   2   5   10   10 
( 5 )
( 2 )
E se os números racionais
relativos estiverem na forma
decimal?
A definição de adição e subtração de inteiros
mantém-se para o conjunto dos números racionais
relativos na forma decimal, o único cuidado é que
estas operações devem ser executadas alinhando-se
os termos com o mesmo número de casas decimais.
Exemplos:
1,875 + 2,5 = 4,375
0,12 + 0,3 = 0.42
34,5 -12,34 = 22.16
0,34 – 0,045 = 295
Divisão e
Multiplicação
em Q
JÁ SABEMOS QUE NO CONJUNTO DOS NÚMEROS INTEIROS:
21 : 3 = 7
porque
7 × 3 = 21
18 : 2 = 9
porque
9 × 2 = 18
Ou seja:
Dividendo : Divisor = Quociente
porque
Quociente × Divisor =
Dividendo
6:0=?
Não há nenhum número que multiplicado por 0 dê 6!
A divisão por zero é impossível!
Divisão de números racionais
Sendo N e d números inteiros, tal que N não é
múltiplo de d, então para se obter o quociente
N : d no universo racional, devemos primeiro
executar a divisão no universo inteiro. Depois
disso, escrevemos uma vírgula no quociente e
acrescentamos zeros ao resto, continuando a
divisão até que não haja resto ou que algum
resto se repita (neste caso a forma decimal do
quociente é uma dízima periódica e será
discutida no decorrer do curso).
E agora? Como vamos
dividir números racionais
relativos na forma
fracionária?
A definição de divisão mantém-se para o conjunto
dos números racionais relativos:
(- 30) : (+ 5) = - 6
1
+
2
: + 3
5
5
= +
6
porque (- 6)  (+5) = - 30
porque + 5
6
3
 +
5
15
= +
30
Como descobrir este número?
Para descobrir este número existe uma regra!
Para dividir dois números racionais, multiplica-se
o dividendo pelo inverso do divisor
(DIVISOR  0).
Agora já é fácil descobrir o número:
1
+
2
:+ 3
5
1 
5
= +
+
3
2
5
= +
6
E se os números racionais
relativos estiverem na forma
decimal?
A definição de divisão de inteiros mantém-se
para o conjunto dos números racionais relativos
na forma decimal, esta operação pode ser ser
executada ignorando-se as vírgulas do dividendo e
divisor através do princípio de equivalência de
frações ou transformando os mesmos em frações
decimais e depois dividindo-os. Por exemplo:
0,15
:
2,40
=
15 : 240
Daí: 15 . 240 = 0,0625
No caso da trasformação para fração decimal,
tem-se: 15/100 : 24/10 = 15/100 . 10/24 = 0,0625
REGRA DE SINAIS
:
+
–

+
+
–
–
–
+
da divisão em Q
Divisão
(multiplica-se a primeira fração
pelo inverso da segunda fração)
=
–
+
+
regras operatórias
+
–
–
–
+
regras operatórias
da multiplicação em Q
Multiplicação
(multiplica-se os numeradores
e denominadores entre si)
E se os números racionais
relativos estiverem na forma
decimal?
A definição de multiplicação de inteiros mantémse para o conjunto dos números racionais
relativos na forma decimal, esta operação pode ser
ser executada ignorando-se a vírgula de todos os
fatores e definindo posteriormente seu devido lugar
ou transformando os fatores em frações decimais e
depois em números decimais. Por exemplo:
0,15
.
2,4
(duas casas decimais) (uma casa decimal)
= 15 . 24 / 1000
(três casas decimais)
Daí: 0,15 . 2,4 = 0,360
No caso da trasformação para fração decimal,
Tem-se: 15/100 . 24/10 = 360/1000 = 0,360
RECORDA QUE:
a:b=
-4:5=
a
b
?
- 4 : 5 = - 4
OU
-4
-4:5=
5
em que b  0
1
5
=-
4
5
-
4
5
= -4
5
7 : (- 4) =
1

7 : (- 4) = 7 4
?
7
=4
OU
7
7 : (- 4) =
-4
-
7
7
=
4
-4
CONCLUSÃO:
-a
b
=
a
a
=-b
b
em que b  0
FIM!