TEORIA DOS NÚMEROS
Aula 1 – Inteiros, Principais Propriedades, Axiomas
e Princípios
Prof. Mário Alves
TEORIA DOS NÚMEROS
Conteúdo Programático desta aula
 Definição de número inteiro;
 Propriedades dos números
inteiros;
 Valor absoluto de um número
inteiro;
 Fatorial de um número inteiro.
INTEIROS, PRINCIPAIS PROPRIEDADES, AXIOMAS E PRINCÍPIOS – AULA1
TEORIA DOS NÚMEROS
DEFINIÇÃO DE NÚMERO INTEIRO
Definimos como números inteiros, cuja representação
corriqueira, dada por Cantor, ou apenas inteiros:
..., -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, ...
Seu conjunto é representado pela letra maiúscula Z, ou seja:
Z = {..., -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, ...}
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DEFINIÇÃO DE NÚMERO INTEIRO
No nosso conjunto Z, destacam-se os seguintes subconjuntos,
os quais serão bastante importantes ao longo da nossa
disciplina:
(a) Conjunto Z* dos inteiros não nulos ( diferente de zero ):
Z* = { x pertence a Z | x é diferente de zero } =
{..., -3, -2, -1, 1, 2, 3, ...}
(b) Conjunto Z+ dos inteiros não negativos ( maior ou igual a
zero)
Z+ = { x pertence a Z | x é maior ou igual a zero } =
{ 0, 1, 2, 3, 4, 5, ... }
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DEFINIÇÃO DE NÚMERO INTEIRO
(c) Conjunto Z- dos inteiros não positivos ( menor ou igual a
zero)
Z- = { x pertence a Z | x é menor ou igual a zero } =
{ 0, -1, -2, -3, -4, -5, ... }
(d) Conjunto Z*+ dos inteiros positivos ( >0 ):
Z*+ = { x pertence a Z | x > 0 } = { 1, 2, 3, 4, ... }
(e) Conjunto Z*- dos inteiros negativos ( <0 ):
Z*- = { x pertence a Z | x < 0 } = { -1, -2, -3, -4, ... }
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PROPRIEDADES DOS NÚMEROS INTEIROS
O conjunto Z dos números inteiros, munido das operações de
adição (+) e multiplicação (.) possui propriedades
essenciais que, a seguir, enumeraremos, onde a, b e c são
inteiros quaisquer, ou seja, elementos de Z:
1) a+b = b+a e ab = ba
2) (a+b) + c = a + (b+c) e (ab)c = a(bc)
3) 0+a = a e 1.a = a
4) -a = (-1)a e a-a = a + (-a) = 0
5) a(b+c) = ab + ac
6) 0.a = 0, e se ab = 0, então a = 0 ou b = 0
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PROPRIEDADES DOS NÚMEROS INTEIROS
Há uma relação de ordem entre os números inteiros,
representada pelo sinal < (menor que), a qual tem as
seguintes propriedades:
1)
2)
3)
4)
5)
Se
Se
Se
Se
Se
a é diferente de 0, então a < 0 ou 0 < a
a < b e b < c, então a < c
a < b, então a+c < b+c
a < b e 0 < c, então ac < bc
a < b e c < 0, então bc < ac
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PROPRIEDADES DOS NÚMEROS INTEIROS
Exercício Nr 1.1: Demonstre que –(a+b) = (-a) + (-b)
Passo 1: -(a+b) = (-1)(a+b) =
Passo 2: (-1)a + (-1)b =
Passo 3: (-a) + (-b)
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VALOR ABSOLUTO DE UM INTEIRO
Definição: Denominamos valor absoluto de um número inteiro
a, o inteiro que indicamos por |a| e é tal que:
a se a ≥0
-a se a < 0
Exemplo: |8| = 8 e |-6| = 6
Assim, como a definição de |a|, para todo inteiro a, vale:
1) |a|≥0
2) |a|2 = a2
3) |-a| = |a|
4) a ≤
|a|
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VALOR ABSOLUTO DE UM INTEIRO
Também definimos o valor absoluto |a| de um inteiro a com
as seguintes igualdades:
|a| = a2
|a| = máx (-a,a)
Exemplo:
|-6| = ( 6)2 = 36 = 6
|-8| = máx (-8,8) = 8
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VALOR ABSOLUTO DE UM INTEIRO
Teorema 1.1: Se a e b são dois inteiros, então:
|ab| = |a| . |b|
Demonstração:
|ab| =
(ab)2 = (a 2b2 ) = a 2 . b2 =| a |.| b |
Teorema 1.2: Se a e b são dois inteiros, então:
|a+b| ≤|a| + |b|
Demonstração: Temos, pela definição de |a|:
-|a| ≤a ≤
|a|
e
-|b| ≤b ≤
|b|
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VALOR ABSOLUTO DE UM INTEIRO
Somando as desigualdades, temos:
-(|a|+|b|) ≤(a+b) ≤
|a|+|b|
E isto implica:
|a+b| ≤|a|+|b|
Daí, temos o nosso primeiro corolário:
Corolário 1.1: Se a e b são dois inteiros, então:
|a-b| ≤|a| + |b|
Demonstração:
|a-b| = |a+(-b)| ≤|a| + |-b| = |a| + |b|
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FATORIAL DE UM NÚMERO INTEIRO
Definição: Denominamos fatorial de um inteiro não negativo
a, o inteiro indicado por a!, tal que:
a! = 1, se a=0 ou a=1; e
a! = n(n-1)(n-2)(n-3). ... .3.2.1 , se n≥
2
Exemplo: 5! = 5.4.3.2.1 = 120
Obs.: Vale a pena observar que n! = n(n-1)! . Isso será
bastante útil na resolução de inúmeros problemas.
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FATORIAL DE UM NÚMERO INTEIRO
Exercício Nr 1.2: Qual é o produto dos n primeiros inteiros
positivos pares e qual é o produto dos n primeiros inteiros
positivos ímpares?
Para os n primeiros inteiros positivos pares, temos:
2, 4, 6, 8, 10, ..., 2n-2, 2n , ou seja:
2.1, 2.2, 2.3, 2.4, 2.5, ..., 2(n-1), 2.n, portanto:
2n (1.2.3.4. ... .(n-1).n) = 2n.n!
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FATORIAL DE UM NÚMERO INTEIRO
Para os n primeiros inteiros positivos ímpares, temos:
1, 3, 5, 7, 9, ..., 2n-3, 2n-1, ou seja:
1.3.5. ... .(2n-3)(2n-1) =
1.2.3.4.....(2n - 2).(2n - 1).2n
=
2.4.6.....(2n - 2).2n
(2n)!
2n.n!
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EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO
Exercício Nr 1.3: Calcular o inteiro positivo n, sabendo:
3n + 3n+1 + 3n+2 + 3n+3 = 1080.
-
Colocando 3n em evidência, temos: 3n (1+3+9+27)
Decompondo 1080 em fatores primos, temos: 1080 =
23.33.5
Assim, observamos que: 3n (1+3+9+27) = 3n.40
E que 1080 = 33.40
Logo, concluímos que n=3.
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EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO
Exercício Nr 1.4: Resolva a seguinte equação:
(x+2)! = 72.x!
- (x+2)! = (x+2)(x+1).x!
- Logo, temos:
(x+2)(x+1).x! = 72.x!
- Como x! é diferente de zero, podemos simplificar,
restando a equação de 2º grau:
x2+3x+2 = 72
x2+3x-70 = 0
x=-10 ou x=7
- Como -10 não atende a nossa definição de fatorial, temos
como solução x=7.
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