GEOMETRIA
ESPACIAL
GEOMETRIA DE POSIÇÃO
Noções primitivas
 Um ponto não tem dimensão, nem massa, nem volume.
Podemos imaginar um ponto ao ver um pequeno furo em uma folha
de papel.
 Uma reta não tem espessura, nem começo, nem fim.
Podemos imaginar uma reta ao ver uma linha fina esticada, como a
linha de uma pipa.
Noções primitivas
 Um plano não tem espessura nem fronteiras.
Podemos imaginar um plano ao ver as águas tranquilas de um lago.
Vamos representar:
 os pontos por letras maiúsculas (A, B, C, ...);
 as retas por letras minúsculas (r, s, t, ...);
 os planos por letras gregas minúsculas (a, b, g, ...).
Espaço
É o conjunto dos infinitos pontos existentes.
Definição de figura
Qualquer conjunto de pontos, com pelo menos um ponto considerado
no espaço, é chamado de figura.
Figura III
Figura I
Figura II
Figura IV
Pontos coplanares
Dois ou mais pontos são denominados coplanares se existe um plano que
contém todos eles.
Exemplo
 Os pontos A, B, C e D são coplanares. Em linguagem simbólica: A ∈ a,
B ∈ a, C ∈ a e D ∈ a.
 O ponto P não é simultaneamente coplanar a A, B, C e D, pois P não
pertence ao plano a; em linguagem simbólica: P ∉ a.
Pontos colineares
Dois ou mais pontos são ditos colineares se existe uma reta que
contém todos eles.
Exemplo
 Os pontos A, P e M são colineares, pois pertencem à reta r. Em
linguagem simbólica, indicamos assim: A ∈ r, P ∈ r e M ∈ r.
Pontos coplanares
Figura
Pontos
4 pontos
coplanares
Plana /
Não plana
plana
Representação
não recebe
nome especial
infinitos pontos
plana
linha
infinitos pontos
plana
superfície
infinitos pontos
não plana
sólido
Os postulados: um ponto de partida da Geometria
POSTULADO OU AXIOMAS: Verdades iniciais aceitas sem demonstração
P1. O espaço tem infinitos pontos.
P2. Toda reta e todo plano são conjuntos de infinitos pontos.
P3. Fora de uma reta, bem como fora de um plano, há infinitos pontos.
P4. Dois pontos distintos determinam uma única reta.
Os postulados
P5. Postulado de Euclides: Por um ponto P fora de uma reta r passa
somente uma reta s paralela a r.
P6. Três pontos não colineares determinam um único plano.
Plano a ou plano (PQR)
Os postulados
P7. Se dois pontos distintos estão em um plano, a reta que passa por
eles está contida nesse plano.
Observações
 Quando uma reta está contida em um plano, todos os pontos que
pertencem à reta também pertencem ao plano.
 Dada uma reta r que passa por dois pontos, A e B, como mostra a
figura acima, ela pode ser representada por r ou AB.
Os postulados
P8. Se dois planos distintos, a e b, se interceptam, a intersecção é uma
reta.
Teorema 1
Dada uma reta m e um ponto X fora dela, existe um
único plano que contém o ponto X e a reta m.
Exemplos
1. Classifique cada sentença em verdadeira (V) ou falsa (F).
a) Dois pontos determinam uma única reta.
b) Três pontos, dois a dois distintos, determinam um único plano.
Resolução
a) Sabemos que dois pontos podem ser coincidentes ou distintos.
Se dois pontos são distintos, determinam uma única reta.
Resolução
Se dois pontos são coincidentes, existem infinitas retas passando por eles.
Portanto, a afirmação é falsa.
b) Já vimos que três pontos, dois a dois distintos, podem ser colineares ou
não colineares.
Sabemos que por três pontos, dois a dois distintos, colineares, passam
infinitos planos, e que três pontos, dois a dois distintos, não colineares,
determinam um único plano; logo, a afirmação é falsa.
Exemplos
2.
Na figura abaixo, pintar de vermelho o plano determinado pelos
pontos M, S e T e de verde o plano determinado pelo ponto M e pela
reta PQ.
Resolução
Posição relativa entre retas –
RETAS PARALELAS
Duas retas, r e s, são paralelas se têm todos os pontos comuns
(coincidem) ou se estão em um mesmo plano a e não têm nenhum
ponto comum (intersecção vazia).
Em linguagem simbólica, podemos escrever:
r // s ⇔ r  s ou r ⊂ a, s ⊂ a e r ∩ s = Ø
Duas retas paralelas não coincidentes
determinam um único plano.
Posição relativa entre retas –
RETAS CONCORRENTES
Duas retas, r e s, são concorrentes quando têm apenas um ponto P
comum.
Para indicar simbolicamente que r e s são concorrentes,
escrevemos: r ∩ s = {P}.
Observação
Duas retas concorrentes também determinam um plano.
Se duas retas, r e s, são concorrentes em um ponto P, então elas
determinam um único plano a.
Posição relativa entre retas –
RETAS REVERSAS
Duas retas, r e s, são reversas (ou não coplanares) quando não existe
um mesmo plano que as contenha.
Em linguagem simbólica, escrevemos: ∄ a tal que r ⊂ a e s ⊂ a.
Exemplo
 Não existe um mesmo plano que contenha
as retas r e s, ou seja, elas são reversas.
 As retas r e s não têm nenhum ponto
comum, ou seja, r ∩ s = Ø.
Posição relativa entre RETA E PLANO
Uma reta r e um plano a são paralelos se a reta r está contida no plano
a ou se a reta r e o plano a não têm nenhum ponto comum.
Em linguagem simbólica, podemos escrever: r // a ⇔ r ⊂ a ou r ∩ a = Ø
Posição relativa entre RETA E PLANO
Uma reta r e um plano a são concorrentes (ou secantes) quando r e a
têm somente um ponto em comum.
Em linguagem simbólica, escrevemos: r ∩ a = {P}
Posição relativa entre PLANOS
Dois planos, a e b, são paralelos se coincidem (têm todos os pontos
comuns) ou se não têm nenhum ponto comum.
Em linguagem simbólica, podemos escrever: a // b ⇔ a ≡ b ou a ∩ b = Ø
planos coincidentes
planos paralelos distintos
(não coincidentes)
Posição relativa entre PLANOS
Dois planos distintos, a e b, são secantes (ou concorrentes) quando
têm uma reta em comum (intersecção não vazia).
a∩b=r
a ∩ b = AB
Algumas propriedades
1a propriedade: Pelo ponto P, não
pertencente a a, passa um único plano b
paralelo a a.
2a propriedade: Se r ⊄ a e é paralela a s de
a, então r é paralela a a.
3a propriedade: Se r é paralela a
a e β, sendo que a ∩ β = s, então r é paralela a s.
Propriedades
4a propriedade: Se a é um plano paralelo a
duas retas, r e s, contidas em um plano b,
tais que r ∩ s = {P}, então a é paralelo a b.
5a propriedade: Se dois planos são
paralelos e distintos, então qualquer reta
contida em um deles é paralela ao outro.
Propriedades
6a propriedade: Se a intercepta b e g, b // g, então as intersecções r e
s de a com esses planos são retas paralelas.
Exemplos
1.
Considerando os pontos destacados na figura ao
lado, faça o que se pede.
a) Identifique um par de retas paralelas, um par de
retas reversas e um par de retas nem paralelas nem
reversas.
b) Qual é a posição relativa entre a reta CJ e o plano que
contém a face CDJI?
c) Identifique dois planos paralelos por meio de três
pontos não colineares.
Resolução
a) Respostas possíveis: retas paralelas: CI e DJ ; retas
reversas: IJ e DF ; retas que não são paralelas nem
reversas: JH e DF.
b) A reta CJ está contida no plano que contém a face CDJI.
c) Resposta possível: planos (ABG) e (EFD).
Exemplos
2.
Considerar a afirmação abaixo e verificar se é verdadeira ou falsa.
Sejam a e b dois planos distintos e paralelos entre si.
Se a intersecção do plano g com a e b são as retas r e s,
respectivamente, então r e s são paralelas entre si.
Resolução
Logo, r e s são paralelas entre si. Portanto, a
afirmação é verdadeira.
Retas perpendiculares
Duas retas, r e s, são perpendiculares quando são concorrentes
e determinam quatro ângulos retos.
r ⊥ s (lemos “a reta r é
perpendicular à reta s”)
Retas ortogonais
Duas retas, r e s, são ortogonais quando existe
uma reta t que é paralela (não coincidente) a s e perpendicular a r.
Exemplo
As retas AB e CM são ortogonais, pois a reta PM é paralela a AB e é
perpendicular a CM.
Observação: Se duas retas são ortogonais, também são reversas.
Reta e plano perpendiculares
Dados uma reta r e um plano a, concorrentes no ponto P, dizemos
que r é perpendicular a a quando r é perpendicular a todas as retas
de a que passam por P.
Planos perpendiculares
Dois planos, a e b, são perpendiculares quando um deles contém
uma reta r perpendicular ao outro plano.
Projeção ortogonal de um ponto sobre uma reta
A projeção ortogonal de um ponto P sobre uma reta r é o ponto P’,
que é a intersecção de r com a reta perpendicular a r que passa por P.
Observação
Caso o ponto P pertença a r, sua projeção ortogonal sobre r é o
próprio P.
Projeção ortogonal de um ponto sobre um plano
A projeção ortogonal de um ponto A sobre um plano a é o ponto A’,
que é a intersecção, com esse plano, da reta que passa por A e é
perpendicular a a.
Observação
Caso o ponto A pertença a a, sua projeção ortogonal sobre esse plano
é o próprio A.
Projeção ortogonal de uma reta sobre um plano
Vamos considerar uma reta r e um plano a.
Se r ⊥ a, com r ∩ a = A}, então a
projeção ortogonal de r sobre a
é o ponto A.
Se a reta r não é perpendicular ao plano a,
então a projeção ortogonal de r sobre a é a
reta s determinada pela projeção de dois
pontos distintos de r sobre a
Projeção ortogonal de uma reta sobre um plano
Observação
A projeção ortogonal sobre um plano a de um segmento AB, cuja reta
que o contém (reta suporte) não é perpendicular ao plano a, é o
segmento A’B’.
Projeção ortogonal de uma figura qualquer sobre
um plano
A projeção ortogonal de uma figura, plana ou não plana, sobre um
plano é a figura formada pelas projeções ortogonais dos pontos dessa
figura sobre esse plano.
Exemplos de projeção ortogonal
No cubo ao lado:
a) a projeção ortogonal do ponto C sobre o plano
(ABE) é o ponto A;
b) a projeção ortogonal do ponto C sobre o plano
(ACE) é o próprio ponto C;
c) a projeção ortogonal do segmento CD sobre o plano (ABE) é o
segmento AB ;
d) a projeção ortogonal do segmento AD sobre o plano (ABE) é o
segmento AB ;
e) a projeção ortogonal do segmento AC sobre o plano (ABE) é o ponto A.