Aula 09
CONCORDÂNCIA DE RETAS
COM ARCO DE CIRCUNFERÊNCIA.
CONCORDÂNICA DE RETA COM
ARCO DE CIRCUNFERÊNCIA
1
CONCORDÂNCIA DE RETA COM ARCO DE CIRCUNFERÊNCIA .
2
Concordar um arco de circunferência com segmento
de reta dado.
3
Concordar um arco de circunferência com segmento de
reta dado, passando por um ponto P.
4
Concordar dois segmentos de reta paralelos com arco
de circunferência.
5
Concordar dois segmentos de reta paralelos orientados em
sentidos contrários, que tem suas extremidades numa mesma
perpendicular com dois arcos de raios iguais.
6
Concordar dois segmentos de reta paralelos orientados em
sentidos contrários, que tem suas extremidades numa mesma
perpendicular com dois arcos de raios diferentes.
7
Concordar dois segmentos de reta paralelos orientados em
sentidos contrários, que não tem suas extremidades numa
mesma perpendicular com dois arcos de raios iguais.
CONCORDÂNICA DE RETA COM
ARCO DE CIRCUNFERÊNCIA
8
Concordar dois segmentos de reta paralelos de comprimentos
diferentes por uma curva sinuosa chamada “ducina” ou “cimalha”.
9
Ligar dois segmentos de reta paralelos de comprimentos
diferentes por uma curva sinuosa chamada “Gola” ou “Talão”.
10
Concordar duas retas perpendiculares entre si com um arco
de circunferência de raio dado.
11
Concordar duas retas convergentes com um arco de
circunferência, conhecendo-se o seu vértice. (Ângulo Agudo)
12
Concordar duas retas convergentes com um arco de
circunferência, conhecendo-se o seu vértice e o raio.
(Ângulo Obtuso)
13
Concordar duas retas paralelas através de dois arcos de
circunferência, onde temos “b” menor que “d”.
14
Concordar duas retas paralelas através de dois arcos de
circunferência, onde temos “b” maior que “d”.
CONCORDÂNCIA DE RETA COM ARCO DE CIRCUNFERÊCNIA
Chamamos de concordância de duas linhas curvas ou de um
segmento de reta com uma curva, à ligação entre elas,
executada de tal forma, que se possa passar de uma para
outra, sem ângulo, inflexão, nem solução de continuidade.
Para se fazer a concordância de um segmento de reta, é
necessário que o ponto de concordância e o centro do arco,
estejam sobre uma mesma perpendicular.
O
A
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2. CONCORDAR UM ARCO DE CIRCUNFERÊNCIA
COM UM SEGMENTO DE RETA DADO.
O
A
B
1. Seja dado o segmento de reta AB.
2. Traça-se uma perpendicular pela extremidade B.
3. Com centro em B abertura igual ao raio do arco marca-se o centro O.
4. Com centro em O abertura OB descreve-se arco concordando com o segmento de reta.
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3. CONCORDAR UM ARCO DE CIRCUNFERÊNCIA COM
UM SEGMENTO DE RETA DADO, PASSANDO PELO PONTO P.
P
O
A
B
1. Seja dado o segmento de reta AB e o ponto P .
2. Traça-se uma perpendicular pela extremidade B.
3. Une-se o ponto P ao ponto B.
4. Traça-se a mediatriz do segmento PB.
5. Onde a mediatriz do segmento PB se cruzar com a perpendicular obtém-se o centro “O”
6. Com centro em O abertura OB ou OP descreve-se arco de circunferência concordando
com o segmento de reta.
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4. CONCORDAR DOIS SEGMENTOS DE RETA PARALELOS COM
UM ARCO DE CIRCUNFERÊCNIA.
A
B
O
C
D
1. Sejam dados os segmentos de reta AB e CD.
2. Traça-se uma perpendicular a estes segmentos unindo o ponto B ao ponto D.
3. Traça-se a mediatriz do segmento BD.
4. Onde a mediatriz do segmento BD se cruzar com a perpendicular obtém-se o centro “O”.
5. Com centro em O abertura OB ou OD descreve-se arco de circunferência concordando
com os dois segmentos de reta.
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5. CONCORDAR DOIS SEGMENTOS DE RETA PARALELOS ORIENTADOS
EM SENTIDOS CONTRÁRIOS, QUEM TEM SUAS EXTREMIDADES
NUMA MESMA PERPENDICULAR COM DOIS ARCOS DE RAIOS IGUAIS.
A
B
O
E
O´
1. Sejam dados os segmentos de reta AB e CD.
C
D
2. Une-se o ponto B ao ponto C.
3. Traça-se a mediatriz do segmento BC, obtendo sobre este o ponto E.
4. Traça-se as mediatrizes dos segmentos BE e EC.
5. Onde a mediatriz do segmento BE se cruzar com o segmento BC obtém-se o centro “O”,
6. Onde a mediatriz do segmento EC se cruzar com o segmento BC obtém-se o centro “O´”.
7. Com centro em O abertura OB descreve-se o arco BE.
8. Com centro em O´ abertura O´E. descreve-se o arco EC, concordando
assim os segmento AB e CD.
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6. CONCORDAR DOIS SEGMENTOS DE RETA PARALELOS ORIENTADOS
EM SENTIDOS CONTRÁRIOS, QUEM TEM SUAS EXTREMIDADES
NUMA MESMA PERPENDICULAR COM DOIS ARCOS DE RAIOS DIFERENTES.
A
B
O
E
O´
1. Sejam dados os segmentos de reta AB e CD.
C
D
2. Une-se o ponto B ao ponto C.
3. Marca-se um ponto qualquer sobre o segmento BC o ponto E.
4. Traça-se as mediatrizes dos segmentos BE e EC.
5. Onde a mediatriz do segmento BE se cruzar com o segmento BC obtém-se o centro “O”,
6. Onde a mediatriz do segmento EC se cruzar com o segmento BC obtém-se o centro “O´”.
7. Com centro em O abertura OB descreve-se o arco BE.
8. Com centro em O´ abertura O´E. descreve-se o arco EC, concordando
assim os segmento AB e CD.
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7. CONCORDAR DOIS SEGMENTOS DE RETA PARALELOS ORIENTADOS
EM SENTIDOS CONTRÁRIOS, QUE NÃO TEM SUAS EXTREMIDADES
NUMA MESMA PERPENDICULAR COM DOIS ARCOS DE RAIOS IGUAIS.
A
B
O
E
O´
1. Sejam dados os segmentos de reta AB e CD.
2. Une-se o ponto B ao ponto C.
C
3. Traça-se uma perpendicular pela extremidade B e uma outra pela extremidade C.
4. Traça-se a mediatriz do segmento BC, obtendo sobre este o ponto E.
5. Traçam-se as mediatrizes dos segmentos BE e EC.
6. Onde a mediatriz do segmento BE se cruzar com a perpendicular traçada em B obtém-se
o centro “O”, onde a mediatriz do segmento EC se cruzar com a perpendicular traçada
em C obtém-se o centro “O´”.
7. Com centro em O abertura OB descreve-se o arco BE.
8. Com centro em O´ abertura O´E descreve-se o arco EC, concordando
assim os segmentos AB e CD.
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D
8. CONCORDAR DOIS SEGMENTOS DE RETA PARALELOS E DE
COMPRIMENTOS DIFERENTES POR UMA CURVA SINUOSA
CHAMADA “DUCINA” OU “CIMALHA”.
A
B
O
E
O´
1. Sejam dados os segmentos de reta AB e CD.
D
C
2. Une-se o ponto B ao ponto D.
3. Traça-se uma perpendicular pela extremidade B e uma outra pela extremidade D.
4. Traça-se a mediatriz do segmento BD, obtendo sobre este o ponto E.
5. Traçam-se as mediatrizes dos segmentos BE e ED.
6. Onde a mediatriz do segmento BE se cruzar com a perpendicular traçada em B obtém-se
o centro “O”, onde a mediatriz do segmento ED se cruzar com a perpendicular traçada
em D obtém-se o centro “O´”.
7. Com centro em O abertura OB descreve-se o arco BE.
8. Com centro em O´ abertura O´E descreve-se o arco EC, concordando
assim os segmentos AB e CD.
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9. LIGAR DOIS SEGMENTOS DE RETA PARALELOS E DE
COMPRIMENTOS DIFERENTES POR UMA CURVA
SINUOSA CHAMADA “GOLA” OU “TALÃO”.
O´
B
A
E
1. Sejam dados os segmentos de reta AB e CD. C
D
2. Une-se o ponto B ao ponto D.
O
3. Traça-se a mediatriz do segmento BD obtendo sobre este o ponto E.
4. Com centro em D abertura DE descreve-se um arco de circunferência
5. Com centro em E abertura ED descreve-se outro arco obtendo o centro “O”,
6. Com centro B abertura BE descreve-se um arco de circunferência
7. Com centro em E abertura EB descreve-se outro arco obtendo assim o centro “O´”.
8. Com centro em O abertura OD descreve-se o arco DE.
9. Com centro em O´ abertura O´E descreve-se o arco EB, ligando os segmentos AB e CD.
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10. CONCORDAR DUAS RETAS PERPENDICULARES ENTRE SI
COM UM ARCO DE CIRCUNFERÊNCIA DE RAIO DADO.
A
R
D
O´
C
E
B
1. Sejam dados os segmentos de reta AC e CB e o raio do arco.
2. Centro em C abertura igual ao raio dado descreve-se um arco de circunferência obtendo
sobre os segmentos de reta os pontos D e E.
3. Traçam-se perpendiculares passando pelo ponto D e E, onde estas perpendiculares se
cruzarem obtém-se o centro “O”.
4. Com centro “O” abertura OD ou OE descreve-se um arco de circunferência, concordando
os dois segmento de retas dados.
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11. CONCORDAR DUAS RETAS CONVERGENTES COM UM ARCO DE
CIRCUNFERÊNCIA, CONHECENDO-SE O SEU VÉRTICE (ÂNGULO AGUDO).
A
C
b
V
O
D
B
1. Sejam dados os segmentos de reta AV e VB ou seja, o ângulo AVB.
2. Centro em V abertura qualquer descreve-se um arco de circunferência obtendo
sobre os lados do ângulo os pontos C e D.
3. Traça-se a bissetriz do ângulo AVB.
4. Traçam-se perpendiculares passando pelo ponto C e D, onde estas perpendiculares se
cruzarem com a bissetriz obtém-se o centro “O”.
5. Com centro “O” abertura OC ou OD descreve-se um arco de circunferência, concordando
os dois segmento de retas dados.
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12. CONCORDAR DUAS RETAS CONVERGENTES COM UM ARCO DE
CIRCUNFERÊNCIA, CONHECENDO-SE O SEU VÉRTICE
B
E O RAIO (ÂNGULO OBTUSO).
R
D
O
R
F
A
C
E
V
1. Sejam dados os segmentos de reta AV e VB ou seja, o ângulo AVB.
2. Traça-se a bissetriz do ângulo AVB.
3. Por um ponto qualquer de AV traça-se uma perpendicular marcando sobre esta o
comprimento CD igual ao raio dado.
4. Traça-se uma paralela a AV passando pelo ponto D e cortando a bissetriz em “O”.
5. Traçam-se perpendiculares aos segmentos AV e VB passando pelo ponto “O” e obtendo
os pontos E e F.
6. Com centro “O” abertura OE ou OF descreve-se um arco de circunferência, concordando
os dois segmento de retas dados.
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13. CONCORDAR DUAS RETAS PARALELAS ATRAVÉS DE DOIS ARCOS DE
CIRCUNFERÊNCIA, ONDE TEMOS “b” MENOR QUE “d”.
A
d
B
F
G
O´
O
C
E
(b)
D
1. Sejam dados os segmentos de reta AB e CD.
2. Traça-se uma perpendicular a AB passando por B obtendo sobre CD, o ponto E.
3. Centro em B abertura ED = b < d marca-se o ponto F sobre BE.
4. Traça-se uma perpendicular a CD passando por D.
5. Traça-se a mediatriz do segmento FE obtendo sobre FE o centro “O” e sobre a
perpendicular traçada em D o centro “O´”.
6. Com centro em “O” abertura OB descreve-se o arco BG que vai de B a mediatriz de FE.
7. Com centro em “O´” abertura O´G descreve-se o arco GD.
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14. CONCORDAR DUAS RETAS PARALELAS ATRAVÉS DE DOIS ARCOS DE
CIRCUNFERÊNCIA, ONDE TEMOS “b” MAIOR QUE “d”.
A
B
D
F
d
1. Sejam dados os segmentos de reta AB e CD.
C
2. Traça-se uma perpendicular a AB passando
por B obtendo sobre CD, o ponto E.
3. Traça-se uma perpendicular a CD passando por D.
4. Com centro D abertura menor que metade de “d”, marca-se
o centro “O´” sobre a perpendicular traçada em D.
5. Centro em B abertura O´D marca-se sobre BE o ponto D.
6. Une-se o ponto D ao centro “O´”.
7. Traça-se a mediatriz do segmento DO´ obtendo sobre o
prolongamento de BE o centro “O”.
O´
E
O
8. Une-se o centro “O” ao centro “O´”.
9. Com centro em “O” abertura OB descreve-se o arco BF, que vai de B ao
prolongamento de “OO´”,
10. Centro em “O´” abertura O´F descreve-se o arco FD.
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(b)
D
Aula 10
CONCORDÂNCIA DE ARCO
COM ARCO DE CIRCUNFERÊNCIA.
CONCORDÂNCIA DE ARCO
COM ARCO DE CIRCUNFERÊNCIA
1
CONCORDÂNCIA DE ARCO COM ARCO DE CIRCUNFERÊNCIA
2
Concordar um arco dado de centro “O” com outro de sentido
contrário no ponto “A”.
3
Concordar um arco dado de centro “O” com outro no mesmo
sentido no ponto “A”.
4
Concordar um arco dado de centro “O” com outro de sentido
contrário, passando pelo ponto “A”.
5
Concordar um arco dado de centro “O” com outro no mesmo
sentido no ponto “P”.
6
Concordar uma reta “R” com um arco afastado desta reta,
conhecendo-se o raio do segundo arco igual 25 mm.
7
Concordar um arco dado de centro “O” com outro arco de
mesmo sentido no ponto “A”.
Concordar um arco dado de centro “O” com outro arco no
mesmo sentido no ponto “A”.
Concordar dois arcos dados, através de dois arcos outros
arcos com raio igual a 25 mm.
Concordar no ponto “A” dois arcos dados, através de
um terceiro arco.
8
9
10
CONCORDÂNCIA DE ARCO COM ARCO DE CIRCUNFERÊCNIA
Chamamos de concordância de duas linhas curvas ou de um
segmento de reta com uma curva, à ligação entre elas,
executada de tal forma, que se possa passar de uma para
outra, sem ângulo, inflexão, nem solução de continuidade.
Para se fazer a concordância entre dois arcos de
circunferência, é necessário que o ponto de concordância
e os centros dos arcos, estejam sobre uma mesma reta.
O
A
O´
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2. CONCORDAR UM ARCO DADO DE CENTRO “O” COM
OUTRO DE SENTIDO CONTRÁRIO NO PONTO “A”.
O
A
O´
1. Seja dado o arco de centro “O”.
2. Une-se o centro “O” ao ponto A, prolongado este segmento.
3. Marca-se um ponto qualquer sobre o prolongamento de AO, o ponto O´.
4. Com centro em “O´” abertura O´A descreve-se o arco solicitado.
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3. CONCORDAR UM ARCO DADO DE CENTRO “O” COM
OUTRO NO MESMO SENTIDO NO PONTO “A”.
O´
O
A
1. Seja dado o arco de centro “O”.
2. Une-se o ponto A ao centro “O”, prolongado este segmento.
3. Marca-se um ponto qualquer sobre o prolongamento de AO, o ponto O´.
4. Com centro em “O´” abertura O´A descreve-se o arco solicitado.
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4. CONCORDAR UM ARCO DADO DE CENTRO “O” COM OUTRO DE
SENTIDO CONTRÁRIO, PASSANDO PELO PONTO “P”.
O
P
A
O´
1. Seja dado o arco de centro “O” e o ponto P.
2. Une-se o centro “O” ao ponto A, prolongado este segmento.
3. Une-se o ponto A ao ponto P.
4. Traça-se a mediatriz do segmento AP, onde esta mediatriz cruzar com o
prolongamento de OA obtém-se o centro “O´”.
5. Com centro em “O´” abertura O´A descreve-se o arco solicitado passando pelo ponto P.
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5. CONCORDAR UM ARCO DADO DE CENTRO “O” COM
OUTRO NO MESMO SENTIDO NO PONTO “P”.
O´
O
P
A
1. Seja dado o arco de centro “O” e o ponto P.
2. Une-se o ponto A ao centro “O”, prolongado este segmento.
3. Une-se o ponto A ao ponto P.
4. Traça-se a mediatriz do segmento AP, onde esta mediatriz cruzar
com o prolongamento de AO obtém-se o centro “O´”.
5. Com centro em “O´” abertura O´A descreve-se o arco solicitado passando pelo ponto P.
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6. CONCORDAR UMA RETA “R” COM UM ARCO AFASTADO DESTA
RETA, CONHECENDO-SE O RAIO DO SEGUNDO ARCO.
(RAIO DO SEGUNDO ARCO = 2,5 mm)
R
B
raio
Y
O´
A
O
1. Seja dado o arco de centro “O” e a reta R.
2. Traça-se uma reta auxiliar Y paralela a reta dada R com uma distância de 25 mm, raio
do segundo arco.
3. Com centro em “O” abertura OA + 25 mm, raio do segundo arco, traça-se um arco auxiliar
obtendo sobre a reta Y o ponto O´ e o ponto A sobre o arco de centro “O”.
4. Une-se o centro “O” ao centro “O´” passando pelo ponto A.
5. Traça-se uma perpendicular a reta R passando pelo centro “O´” obtendo sobre R o ponto B.
6. Com centro em “O´” abertura O´A descreve-se o arco solicitado AB.
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7. CONCORDAR UM ARCO DADO DE CENTRO “O” COM
OUTRO ARCO DE MESMO SENTIDO, PASSANDO PELO PONTO “P”.
P
O´
A
O
1. Seja dado o arco de centro “O” e o ponto P.
2. Une-se o ponto A ao centro “O”, prolongado este segmento.
3. Une-se o ponto A ao ponto P.
4. Traça-se a mediatriz do segmento AP, onde esta mediatriz cruzar
com o prolongamento de AO obtém-se o centro “O´”.
5. Com centro em “O´” abertura O´A descreve-se o arco solicitado passando pelo ponto P.
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8. CONCORDAR UM ARCO DADO DE CENTRO “O” COM
OUTRO EM SENTIDO CONTRÁRIO NO PONTO “A”.
O´´
B
A
O´
O
C
1. Sejam dados os arcos de centro “O” e centro “O´” e o ponto A.
2. Une-se o centro “O” ao ponto A, prolongado este segmento.
3. Com centro em “O” abertura OA mais o raio do arco de centro “O´” marca-se sobre o
prolongamento do raio OA, o ponto B.
4. Une-se o ponto B ao centro “O´”.
5. Traça-se a mediatriz do segmento BO´, onde esta mediatriz cruzar com o prolongamento
de OAB obtém-se o centro “O´´”.
6. Une-se o ponto “O´´” ao centro “O´” obtendo sobre o arco de centro “O´” o ponto C.
7. Com centro em “O´´” abertura O´´A descreve-se o arco solicitado AC.
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9. CONCORDAR DOIS ARCOS DADOS, ATRAVÉS DE DOIS
OUTROS ARCOS COM RAIO IGUAL A 25 mm.
R
O1
B
O´
A
D
O
C
O2
1. Sejam dados os arcos de centro “O” e centro “O´” e o raio dos arcos concordantes.
2. Com centro em “O” abertura igual ao seu raio mais 25 mm, raio do arco concordante,
descreve-se um arco de circunferência.
3. Com centro em “O´” abertura igual ao seu raio mais 25 mm, raio do arco concordante,
descreve-se um outro arco de circunferência.
4. Onde estes arcos se cruzarem obteremos os centros O1 e O2.
5. Une-se os centros “O” e “O´” aos centros O1 e O2 obtendo os ponto A, B, C e D sobre os
arcos de centro “O” e “O´”.
6. Com centro em “O1” abertura igual a 25mm descreve-se o arco AB.
7. Com centro em “O2” abertura igual a 25mm descreve-se o arco CD.
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10. CONCORDAR NO PONTO “A” DOIS ARCOS DADOS,
ATRAVÉS DE UM TERCEIRO ARCO.
O
B
A
O´´
C
r
O´
1. Seja dado os arcos de centro “O” e centro “O´”.
2. Une-se o centro “O” ao ponto A, prolongado este segmento.
3. Centro em A abertura igual ao raio do arco de centro “O´” marca-se sobre o
raio OA, o ponto B.
4. Une-se o ponto B ao centro “O´”.
5. Traça-se a mediatriz do segmento BO´, onde esta mediatriz cruzar com o prolongamento
de OA obtém-se o centro “O´´”.
6. Une-se o centro “O´´” ao centro “O´” obtendo sobre o arco o ponto C.
7. Com centro em “O´´” abertura O´´A descreve-se o arco solicitado.
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