XXIX CNMAC
Congresso Nacional de Matemática
Aplicada e Computacional
ENCONTRO COM O MUNDO
NÃO EUCLIDIANO
Sergio Alves – IME USP
Luiz Carlos dos Santos Filho – Licenciado IME
A quem se destina?

Professores do ensino médio !
 Alunos do ensino médio e
graduação.
Postulados de Euclides
1)
Pode-se traçar uma linha reta de qualquer ponto a qualquer
ponto.
2)
Pode-se prolongar uma linha reta continuamente em linha
reta.
3)
Pode-se traçar uma circunferência com qualquer centro e
qualquer raio.
4)
Todos os ângulos retos são iguais.
5)
Se uma linha reta que intercepte duas linhas retas faz
ângulos internos de um mesmo lado menores que dois
ângulos retos, então as duas linhas retas, se prolongadas
indefinidamente, encontram-se num ponto daquele lado em
que os ângulos são menores que dois ângulos retos.
Resultados do Livro I de Euclides provados
sem a utilização do quinto postulado

Transporte de segmentos (I.3)

Transporte de ângulos (I.23)

Congruência de triângulos

LAL (I.4)

Triângulo isósceles (I.5 e I.6)

Mediatriz e bissetriz (I.9 e I.10)

Existência da perpendicular (I.11 e I.12)

Teorema do ângulo externo (I.16)

Desigualdades geométricas (I.17, I.18, I.19, I.20, I.24, I.25)

Ângulos alternos-internos iguais implica paralelismo (I.27)

Ângulos internos iguais a 2 retos implica paralelismo (I.28)

Existência da paralela (I.31)
LLL(I.8)
ALA(I.26)
LAA0(I.26)
Proposição I16
Axiomas da Geometria Plana
segundo Hilbert
Termos primitivos: ponto, reta, incidente, estar entre, congruente.
Axiomas de Incidência
I1. Para todo ponto P e todo ponto Q, Q distinto de P, existe uma única
reta incidente com P e Q.
I2. Para toda reta r existem pelo menos dois pontos distintos incidentes
com r.
I3. Existem três pontos distintos tais que nenhuma reta é incidente com
todos os três.
Axiomas da Geometria Plana
segundo Hilbert
Axiomas de Estar Entre
B1. Se A – B – C, estão A, B, C são três pontos distintos incidentes numa
mesma reta e vale C – B – A.
B2. Dados quaisquer dois pontos distintos B e D, existem pontos A, C e E
incidentes com a reta BD tais que A – B – D, B – C – D e B – D – E.
B3. Se A, B, C são três pontos distintos incidentes numa mesma reta,
então um e somente um dos pontos está entre os outros dois.
B4. (Separação do plano) Para toda reta r e quaisquer três pontos A, B, C
fora de r:
a) Se A e B estão do mesmo lado de r e B e C estão do mesmo lado
de r, então A e C estão do mesmo lado de r.
b) Se A e B estão em lados opostos de r e B e C estão em lados
opostos de r, então A e C estão do mesmo lado de r.
Axiomas de Congruência
C1. Se P e Q são pontos distintos e se A é um ponto qualquer, então
para toda semi-reta r com origem A existe um único ponto B sobre r
tal que B é distinto de A e AB  PQ.
C2. Se AB  CD e AB  EF, então CD  EF. Além disso, todo segmento
é congruente a si mesmo.
C3. Se A – B – C, P – Q – R, AB  PQ e BC  QR então AC  PR.
C4. Dados um ângulo arbitrário  EDF e uma semi-reta qualquer AB
com origem A, existe uma única semi-reta AC, com C num dado
lado da reta AB, tal que  BAC   EDF.
C5. Se  A   B e  A   C, então  B   C. Além disso, todo
ângulo é congruente a si mesmo.
C6. (Critério LAL de congruência de triângulos) Se dois lados e o
ângulo incluído de um triângulo são congruentes, respectivamente, a
dois lados e o ângulo incluído de outro triângulo, então os dois
triângulos são congruentes.
Axioma de Continuidade (Dedekind)
Axioma de Paralelismo
•
Suponha que o conjunto de todos os pontos incidentes com uma
reta r é a união disjunta de dois subconjuntos não vazios tais que
nenhum ponto de um dos subconjuntos está entre dois pontos do
outro subconjunto. Então existe um único ponto O sobre r tal que
um dos subconjuntos é a semi-reta de r com origem O e o outro
subconjunto é o seu complementar.
•
Para toda reta r e todo ponto P fora de r, existe no máximo uma reta
m que passa por P e é paralela a r.
Propriedades dos axiomas
1) Completude: significa que tudo que será usado na teoria está
propriamente contido nos axiomas, de maneira que não haverá
hipóteses tácitas.
2) Consistência: significa que é impossível deduzir dois teoremas
contraditórios a partir dos axiomas.
3) Independência: significa que nenhum dos axiomas é uma
conseqüência dos outros.
4) Categórico: todos os exemplos (modelos) da teoria axiomática em
questão são, em um certo sentido, equivalentes (isomorfos).
Cronologia das Fontes
Elementos (300 aC)
635 anos
Teôn de Alexandria (335 dC)
150 anos
Proclo (410 – 485)
324 anos
Versões Árabes, Al-Hajjaj (786 – 809)
311 anos
Tradução Latina, Adelardo de Bath (1120)
362 anos
Versão impressa, Campanus (1482)
Cronologia das tentativas de provas do
Postulado das Paralelas
)
John Wallis (1616 – 1703)
Euclides (300 aC)
Poseidonius (135 – 50 aC)
Cláudio Ptolomeu (87 – 165)
Proclus (410 – 485)
Giordano Vitale (1633 – 1711)
Gerolamo Saccheri (1667 – 1733 )
Alexis Claude Clairaut (1713 – 1765)
Johann Heinrich Lambert (1728 – 1777)
Ibn-al-Haitham (Alhazen) (965 – 1041)
Louis Bertrand (1731 – 1812)
Omar Khayyam (1050 – 1123)
J.F Lorenz (1738 – 1807)
Nasir Eddin (1201 – 1274)
Levi ben Gerson (1288 – 1344)
Federico Commandino (1509 – 1575)
Christoph Clavius (1537 – 1612)
Pietro Antonio Cataldi (1608 – 1679)
Giovanni Alfonso Borelli (1608 – 1679)
Adrien Marie Legendre (1752 – 1833)
Carl Friedrich Gauss (1777 – 1865)
Bernhard Friedrich Thibaut (1775 – 1832)
J.K.F Hauff (1766 – 1846)
Farkas Bolyai (1775 – 1856)
Victor J. Bunaikovskij (1804 – 1889)
Tentativa de Farkas Bolyai
Dado um ponto P fora da reta l, sejam PQ perpendicular a l em Q e m perpendicular a PQ em
P. Seja n uma reta passando por P, n distinta de m e de PQ. Devemos mostrar que n intercepta
l. Sendo A um ponto qualquer entre P e Q, tome B o único ponto tal que A – Q – B e AQ  QB.
Seja R o pé da perpendicular a n traçada a partir de A. Seja C o único ponto tal que A – R – C
e AR  RC. Então A, B e C são não colineares e, portanto, existe uma circunferência 
passando por eles. Desde que l e n são as mediatrizes de AB e AC, respectivamente, l e n se
interceptam no centro de .
Proposições equivalentes ao Postulado
das Paralelas
1. Se duas retas são intersectadas por uma transversal de modo que a
soma das medidas dos dois ângulos internos de um dos lados da
transversal é menor que 180, então as duas retas se cortam daquele lado
da transversal.
2. Para toda reta r e todo ponto P fora de r, existe no máximo uma reta m
que passa por P e é paralela a r.
3. Se uma reta intersecta uma de duas retas paralelas, então também
intersecta a outra.
4. Se r // t e s // t, então r // s.
5. Se duas retas são paralelas, então os pares de ângulos alternosinternos definidos por uma transversal são congruentes.
6. Se t  r e r // s , então t  s.
7. Se u // v, r  u e s  v, então ou r = s ou r // s.
Proposições equivalentes ao Postulado
das Paralelas
8. Existe um triângulo cuja soma das medidas de seus três ângulos é igual
a 180.
9. Existe um retângulo.
10. A soma das medidas dos três ângulos de qualquer triângulo é igual a
180.
11. A soma das medidas dos quatro ângulos de qualquer quadrilátero
convexo é igual a 360.
12. Todo ângulo inscrito em uma semi-circunferência é reto.
13. Se BAC é um ângulo reto, então A pertence à circunferência de
diâmetro BC.
14. Se A, B e C são pontos pertencentes a uma circunferência de centro
O tal que A e O estão do mesmo lado de BC, então m (BAC) =
m (BOC) / 2.
Proposições equivalentes ao Postulado
das Paralelas
15.Retas paralelas são eqüidistantes.
16.O lugar geométrico dos pontos de um determinado lado de uma reta r
e que são eqüidistantes de r é uma reta.
17.Existe um par de retas eqüidistantes.
18.A distância entre um par de retas paralelas é limitada.
19.Dados um ABC e um segmento DE, existe um triângulo DEF que é
semelhante a ABC.
20.Existe um par de triângulos semelhantes não congruentes.
21.Dados um ângulo A e um ponto D em seu interior, qualquer reta que
passa por D intersecta ao menos um lado do A.
Proposições equivalentes ao Postulado
das Paralelas
22.Dados um ângulo agudo A e um ponto D em seu interior, existe uma
reta que passa por D, mas não por A, e que intersecta ambos os lados do
A.
23.Existe um ângulo agudo A tal que todo ponto D em seu interior
pertence a uma reta que intersecta ambos os lados do A, mas não em
A.
24.Dado um ângulo agudo ABC, a perpendicular à reta AB por um ponto
D na semi-reta AB, D distinto de A, intersecta também a semi-reta AC.
25.Existe um ângulo agudo BAC tal que a perpendicular à reta AB por
um ponto D na semi-reta AB, D distinto de A, intersecta também a semireta AC.
26.As mediatrizes dos três lados de um triângulo são concorrentes.
Proposições equivalentes ao Postulado
das Paralelas
27.Dados três pontos não colineares A, B e C, existe uma
circunferência que os contém.
28.Existe um ponto eqüidistante de quaisquer três pontos não
colineares.
29.Duas paralelas quaisquer possuem uma perpendicular comum.
30.Existe um triângulo cuja área é maior do que qualquer valor
dado a priori.
Quadrilátero de Saccheri
D
C
AD = BC
A
B
 Ângulos de vértices C e D agudos (hipótese do ângulo agudo).
 Ângulos de vértices C e D obtusos (hipótese do ângulo obtuso).
 Ângulos de vértices C e D retos (hipótese do ângulo reto).
Resultados de Saccheri
1.
Se uma das hipóteses é válida para um quadrilátero de
Saccheri, então ela é válida para todo quadrilátero de
Saccheri.
2.
Sob a hipótese do ângulo reto, obtuso ou agudo, a
soma das medidas dos três ângulos de um triângulo é
respectivamente, igual, maior ou menor que 180.
3.
Se existe um triângulo cuja soma das medidas de seus
ângulos é igual, maior ou menor que 180 então temos,
respectivamente, a validade da hipótese do ângulo reto,
obtuso ou agudo.
4.
Duas retas quaisquer ou são concorrentes, ou possuem
uma perpendicular comum, ou são assintóticas.
Início das Geometrias Não Euclidianas
1829 - On the principles of Geometry
Nicolai
Lobachevsky
(1792-1856)
Gauss
Janos Bolyai
(1777-1855)
(1802-1860)
Geometria Hiperbólica
Postulado Hiperbólico
Existe uma reta r e existe um ponto P fora de r, tais que pelo menos duas
retas distintas paralelas a r passam por P.
Conseqüências
1.
Para toda reta r e todo ponto P fora de r, pelo menos duas retas
distintas paralelas a r passam por P.
2.
Retângulos não existem.
3.
A soma das medidas dos três ângulos de qualquer triângulo é menor
que 180.
4.
Se dois triângulos são congruentes então eles são semelhantes.
5.
Existe uma constante positiva K tal que para todo triângulo ABC,
Área ( ABC) = (π / 180) K2 [180 - A - B - C]
Paralelas na Geometria Hiperbólica
Paralelas na Geometria Hiperbólica
Geometria Hiperbólica
Questão 1. O postulado hiperbólico leva a alguma contradição?
Questão 2. É a geometria hiperbólica frutífera, útil, interessante?
Teorema: Se a geometria euclidiana é consistente então o mesmo é
verdadeiro para a geometria hiperbólica.
Conseqüência: Se a geometria euclidiana é consistente então o
postulado das paralelas é independente dos outros
postulados.
Modelos
Eugenio Beltrami
Henri Poincaré
Felix Klein
Alemanha 1849 - 1925
Itália 1835 - 1900
França 1854 - 1912
Um modelo para um sistema axiomático formal é uma interpretação
dos termos primitivos segundo o qual os postulados tornam-se
proposições verdadeiras.
Pseudoesfera e Esfera
Poincaré
Ciência e Hipótese (1902)
Distância Comprimento
1 metro
Nós
0
1.0000
1/2 R
0.7500
3/4 R
0.4375
7/8 R
0.2348
Poincaré
Ciência e Hipótese (1902)
metro
Paralelas no modelo de Poincaré
Outros modelos
Vivemos no mundo hiperbólico?