ESCOLA SECUNDÁRIA DE SÃO LOURENÇO
Ficha de Trabalho
10º Ano
Matemática A
1 - [ABCD] é um losango:
a) Indique quantos segmentos orientados podemos
definir:
• com os lados do losango;
• com os vértices do losango.
b) Indique quantos vectores distintos podemos definir:
• com os lados do losango;
• com os vértices.
2 – Indique as componentes e as coordenadas de cada um dos vectores representados na figura.
3 – Considere os pontos : A(3;2) ; B(3;3) ; C(5;3) ; D(4;4) ; E(5;5) ; F(5;6) ; G(4;7) ;
H(2;6) ; I(3;5) e J(1;6).
a) Justifique que BA = FE .
b) Escreva as coordenadas de : JH ; BD ; AC ; GD e HF .
r r
4 – No referencial o . n. (O, i , j ) represente o vector:
r
r
a) − 3i + 5 j ;
b) de coordenadas (0;−1) ;
c) de coordenadas (3;−2) ;
d) de coordenadas ( 2;0) .
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r
r
5 – Sendo v = CD , v = ( 1;3 ) e D = (−1;0) , determine as coordenadas de C.
6 – Dados A = ( −1;5) e B = (6;3) ,determine as coordenadas de M , sabendo que OM = AB .
7 – O paralelogramo [ADLI ] está dividido em seis paralelogramos geometricamente
iguais.
a) Com os elementos da figura, indique::
• dois segmentos orientados equipolentes;
• dois vectores com a mesma direcção, o
mesmo sentido e comprimentos diferentes;
• dois vectores simétricos;
b) Observe a figura e complete de modo a
obter proposições verdadeiras:
b.2) E + ....... = J
b.1) F + HD = ......
b.5) BC + ........ = BC b.6) AL + ..... = 0
b.9)
b.10)
2 AB = .....
b.3) IJ + KC = ......
b.4) ....... + BJ = AJ
b.7) AB + AC = ...... b.8) AC + LI = .....
FG − CB = ....
8 – Considere os pontos P(2;−1) , Q(5;−2) , R(3;−1) e S (− 3;−1) .
Determine as coordenadas de:
a)
b) PQ + RS
Q + QR
c) R + 3QS
d) PP − PS
1⎞
1⎞
⎛
⎛
⎛ 1 ⎞
9 – Considere os pontos A⎜ − 3; ⎟ , B⎜ 2;− ⎟ , C ⎜ − ;0 ⎟ e D (− 2;−3) . Determine as
2⎠
3⎠
⎝
⎝ 2 ⎠
⎝
coordenadas do ponto P sabendo que :
a) OP = AB
b) OP = − CD
c) AP = AB + BC
d) PB = AC − 2 BD
r r r
10 – Sendo a , b e c três vectores quaisquer do plano, simplifique:
r r
r r
r r 1 r
4 r r r 5r
a) 2 a - b - 3 a + b
b) 2 a + b - ( 8 c )
c) ( 2a − c ) − c + a
2
3
3
(
)
(
)
r
r
r
r
r r
r
r
r
r
11 – Considere os vectores a = 5i − 3 j , b = 2i − j , c = −2i e d = 5 j num referencial
)
(
o .n. O, i, j . Determine as coordenadas de cada um dos vectores:
r r r r
r r r r
r r r
a) a + b + c + d
b) a − b + c − d
c) 2 a + b − c
d)
r
r
r
r
r
r
r
r
r
e) a + b + c
g) a − b + c
f) a + b + c
h)
(
)
1r r 2r
i) − b + c + d
2
5
(
)
(
)
1r r r
a +2b − c
2 r r
r
a −b −d
r
r
r
j) − a + 2 b + 3 c
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12 - [AB] é um diâmetro de uma circunferência de centro C.
Sabendo que A(− 1;3) e C (2;0) , determine as coordenadas de B.
13 – Indique se são verdadeiras ou falsas as proposições:
a) A soma de dois vectores é um vector;
b) A soma de um ponto com um vector é um vector;
c) O produto de um número real, não nulo, por um vector, é um vector com a
mesma direcção;
d) O produto de um número real, não nulo, por um vector, é um vector com o
mesmo sentido.
14 – Determine a norma dos vectores:
r
a) u (− 3;0)
e)
r⎛
3 2⎞
⎟
b ⎜⎜ −
;
⎟
2
2
⎝
⎠
r
b) v (0;5)
r
c) w (− 1;2)
r⎛
3 1⎞
d) a ⎜⎜ −
;− ⎟⎟
2
2⎠
⎝
f) AB em que A(0;3) e B(3;0)
15 – Verifique se são colineares os seguintes pares de vectores:
r
r
r⎛ 2 ⎞ r
b) u ⎜ ;−1⎟ e v (4;1)
a) u (4;1) e v (−8;−2 )
⎝3 ⎠
r
r
r r
r r r
r
r
3r
c) u = 2 i e v = − i
d) u = i + j e v = −3 i − 3 j
5
16 – Para cada um dos seguintes pares de vectores, determine x de modo que sejam
colineares:
r
r
r
r
c) a = (5; x ) e b = (0;0 )
a) a = (2; x ) e b = (20;30 )
r
r
r
r
b) a = ( x;−2 ) e b = (0;16 )
d) a = (3 x + 1;1 − 5 x ) e b = (2; − 3)
r
r
r r
r
17 – Num referencial o .n. (O, i , j ) é dado o vector a = 3 i + 5 j . Determine pelas suas
coordenadas o vector:
r
a) colinear com a e com o triplo do seu comprimento;
r
r
b) colinear com a , com o sentido oposto ao de a e o dobro do seu comprimento;
r
c) que tem a mesma direcção de a e a terça parte do seu comprimento.
r r
18 – Determine, num referencial o .n. (O, i , j ) , as coordenadas dos vectores:
r
r
r
r
a) u colinear com o vector v = 3 i − 4 j e de norma 4;
r
r
b) x colinear com o vector u (1, 3) e de norma 10;
r
r
r
c) v colinear com o vector u (− 4, 3) , de norma 12 e com sentido oposto a u .
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19 a) Verifique se o hexágono [ABDFGI] da
figura é regular;
b) Averigúe se os vectores AF e BD têm
a mesma direcção;
c) Determine os números reais k e s de
modo que:
HE = k GF
FD = s BG
d) Determine a área do hexágono.
(
r r r
20 – Considere num referencial o .n. O; e ; f ; g
r
r r
r
o vector u = 3e + f + 4 g . Calcule:
)
os pontos M (1;2;−5) , N ( −2;0;3) e
a) As coordenadas do vector MN ;
r 1
b) As componentes do vector 2u + MN ;
2
r
c) As coordenadas do ponto A onde está aplicado o representante do vector u
que termina em M;
r
r
d) As coordenadas do vector x colinear com u e de norma 52 ;
e) As coordenadas do ponto médio de [MN ] .
21 – Averigúe se são colineares os vectores
(0.1; − 3; 5) e (0.12; − 3.6; 6) .
r
22 – Calcule a ordenada de um vector a (− 2; y;6) sabendo que a sua norma é 7.
D
N
C
23 – A figura representa 2 paralelepípedos iguais
com a face [MNPQ] comum.
1. Calcule:
A
a) EA + PG
B
M
b) AB + DH
c) Q + HP − 2 NC
H
•
P
G
•
•
2. Sendo H a origem do referencial H E ; H P; H D
os eixos coordenados,
HE = HP = 1 e HD = 2 × HP .
E
Q
F
Indique as coordenadas de : M , B , C, HB , PC
GC , HB + PC , 2GC − 3HB .
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