8 Teste de hipóteses com duas amostras
Estatística Aplicada
Larson
Farber
Seção 8.1
Testando a diferença
entre duas médias
(amostras grandes
e independentes)
Visão geral
Para testar o efeito benéfico de um tratamento fitoterápico sobre
a memória, você seleciona aleatoriamente duas amostras de
pessoas; uma delas receberá o medicamento e a outra tomará
um placebo. Um mês depois, os dois grupos são submetidos a
um teste de memória e obtêm os resultados a seguir.
Amostra
1
Grupo experimental
(tratamento)
Amostra
2
Grupo de controle
(placebo)
A estatística teste resultante é 77 – 73 = 4. Essa diferença é significativa
ou pode ser atribuída ao acaso (erro amostral)?
Amostras independentes
Os membros de uma amostra não têm relação com
os membros da outra.
Uma pessoa que recebeu o tratamento fitoterápico
não estava relacionada nem podia ser emparelhada
com outra no grupo de controle.
x1
x1
x1
x1
x1
x1
x1
Grupo experimental
x2
x2
x2
x2
x2
Grupo de controle
Amostras dependentes
Cada membro de uma amostra pode ser emparelhado a um
membro da outra amostra.
A nota no teste de memória de cada pessoa da amostra
podia ser registrada antes e depois do tratamento.
x1
x1
x2
x2
x1
x1
x1
x1
Nota antes
Pode-se calcular a diferença
x2
x2
x2
x2
Nota depois
para cada par.
Aplicação
Para testar o efeito benéfico de um tratamento
fitoterápico sobre a memória, você seleciona
aleatoriamente uma amostra de 95 pessoas, as
quais receberão o tratamento, e uma amostra de
105 pessoas que tomarão um placebo. Um mês
depois, ambos os grupos submetem-se a um
teste. A nota média do grupo experimental é de
77, com um desvio padrão de 15. No grupo de
controle, a média é 73 e o desvio padrão, 12.
Teste a alegação de que o tratamento
fitoterápico melhora a memória a = 0,01.
1. Estabeleça as hipóteses nula e alternativa.
A hipótese nula H0 em geral contém a condição de igualdade.
(Não há diferença entre os parâmetros das duas
populações.)
A hipótese alternativa Ha é verdadeira quando H0 é falsa.
(alegação)
2. Estabeleça o nível de significância.
= 0,01.
Essa é a probabilidade de H0 ser verdadeira e você a
rejeitar.
3. Identifique a distribuição amostral.
A distribuição da estatística amostral
é normal, já que as duas amostras são grandes.
Região de rejeição
z
0
z0
4. Determine o valor
crítico.
2,33
Valor crítico z0
5. Determine a
região de rejeição.
6. Determine a estatística teste.
1,933
Se as duas amostras
são grandes, você pode
usar s1 e s2 no lugar
de
e
.
3,74
2,07
1,933
7. Tome sua decisão.
0
2,33
z = 2,07 não cai na região de rejeição. Não rejeite a
hipótese nula. O valor P é 0,019 > 0,01. Não rejeite H0.
8. Interprete sua decisão.
Não há evidência suficiente para aceitar a alegação de que o
tratamento fitoterápico aumenta a memória.
z
Seção 8.2
Testando a diferença
entre duas médias
(amostras pequenas
e independentes)
Testando a diferença entre
médias (amostras pequenas)
Quando você não pode colher amostras de 30 ou mais itens, você
pode usar um teste t, se as duas populações forem normalmente
distribuídas. A distribuição amostral depende do fato de as variâncias
populacionais serem ou não iguais.
Se as variâncias das duas populações são iguais, você pode combinar
ou ‘agrupar’ informação das duas amostras, a fim de formar uma
estimativa agrupada do desvio padrão.
O erro padrão é:
g.l. = n1 + n2 – 2
Se as variâncias forem diferentes, o erro padrão será:
E o g.l. será o menor entre
n1 – 1 e n2 – 1.
Aplicação
Cinco pick-ups pequenas e oito SUVs realizaram testes de
colisão a cinco milhas por hora. Para as pick-ups, o
conserto do pára-choques custou em média US$ 1.520,
com um desvio padrão de US$ 403. No caso dos SUVs, o
conserto custou uma média de US$ 937, com um desvio
padrão de US$ 382. Sendo = 0,05, teste a alegação de
que o conserto de pára-choques das pick-ups custa mais
que o dos SUVs. Suponha que as variâncias sejam iguais.
n
Pick-up
5
1.520
SUV
8
937
s
403
382
1. Estabeleça as hipóteses nula e alternativa.
(alegação)
2. Estabeleça o nível de significância.
= 0,05.
3. Identifique a distribuição amostral.
Como as variâncias são iguais, a distribuição da estatística
amostral
é uma distribuição t com g.l. = 5 + 8 – 2 = 11.
4. Determine o valor crítico.
t
t0
0
5. Determine a
região de rejeição.
1,796
6. Determine a
estatística teste.
Se as variâncias forem
iguais, determine o valor
agrupado.
389,77
389,77(0,570) = 222,203
222,203
2,624
7. Tome sua decisão.
t
0
1,796
t = 2,624 cai na região de rejeição. Rejeite a
hipótese nula.
8. Interprete sua decisão.
Há evidência suficiente para aceitar a
alegação de que o conserto de pára-choques
das pick-ups custa mais que o dos SUVs.
Aplicação
Segundo uma imobiliária, não há diferença
entre a renda média familiar de dois
condomínios. A renda média de 12 famílias do
primeiro condomínio é de US$ 48.250, com
um desvio padrão de US$ 1.200. No segundo
condomínio, 10 famílias têm uma renda média
de US$ 50.375, com um desvio padrão de
US$ 3.400. Suponha que as rendas sejam
normalmente distribuídas e que as variâncias
sejam diferentes. Teste a alegação sendo =
0,01.
1. Estabeleça as hipóteses nula e alternativa.
Primeiro Segundo
(alegação)
n
12.000
10.000
48,250
50,375
s
1.200.000 3.400.000
2. Estabeleça o nível de significância.
.
0,01
3. Identifique a distribuição amostral.
Como as variâncias são diferentes, a distribuição da estatística
amostral
é uma distribuição t com g.l. = 9. (A menor
amostra tem 10 itens, e 10 – 1 = 9.)
–t0
t
–3,250
0
t0
4. Determine os valores
críticos.
5. Determine as
regiões de rejeição.
3,250
6. Determine a estatística teste.
1.2002
(48.250 – 50.375)
1129,6017
1,88
3.4002
1.129,6017
7. Tome sua decisão.
0
t
–3,250
3,250
t = –1,881 não cai na região de rejeição. Não
rejeite a hipótese nula. (O valor P é 0,087 >
0,01.)
8. Interprete sua decisão.
Não há evidência suficiente para rejeitar a alegação de que não
há diferença entre as rendas familiares médias dos dois
condomínios.
Seção 8.3
Testando a diferença
entre duas médias
(amostras dependentes)
A diferença entre médias:
amostras dependentes
Se cada valor de uma amostra puder ser emparelhado com um
valor da outra, as amostras serão dependentes.
x1
x1
x2
x2
x1
x1
x1
x1
x2
x2
x2
x2
Calcula-se a diferença, d = x1 – x2, para cada par de dados.
A distribuição amostral de , a média das diferenças, é uma
distribuição t com n – 1 graus de liberdade (n é o número de pares.)
Aplicação
A tabela abaixo mostra a freqüência cardíaca (em batidas por
minuto) de cinco pessoas antes e depois de uma sessão de
exercícios físicos. Há evidência suficiente para se concluir que o
0,05 .
exercício acelera a freqüência cardíaca? Use
Indivíduo
1
2
3
4
5
Antes
65
72
Depois
127
135
d
62
63
85
78
93
140
136
150
55
58
57
A média das diferenças, d, é 59.
O desvio padrão de d é 3,39.
3,39
1. Estabeleça as hipóteses alternativa e nula.
(alegação)
2. Estabeleça o nível de significância.
0,05
3. Identifique a distribuição amostral.
A distribuição da estatística amostral
distribuição t com g.l. = 4.
é uma
(Como há cinco pares de dados, g.l.= 5 – 1 = 4.)
4. Determine o valor crítico.
t
0
t0
5. Determine a
região de rejeição.
2,132
6. Determine a estatística teste.
3,39
38,92
7. Tome sua decisão.
2,132
0
t0
t
t = 38,92 cai na região de rejeição. Rejeite a
hipótese nula. O valor P é muito próximo de 0.
8. Interprete sua decisão.
Há evidência suficiente para aceitar a alegação
de que o exercício acelera a freqüência
cardíaca.
Usando o Minitab
Resultados impressos do Minitab
Test of
= 0.00 vs
> 0.00
Variable N Mean StDev SE Mean
T
P
diff.
5 59.00 3.39 1.52
5
38.90 0.0000
O valor P é 0,0000. Como 0,0000 < 0,05, rejeite
a hipótese nula.
Seção 8.4
Testando a diferença
entre duas proporções
A diferença entre proporções
Se as amostras independentes colhidas de duas
populações forem grandes o bastante,você pode aplicar
um teste para verificar se há diferença entre as proporções
populacionais p1 e p2.
x1 e x2 representam o número de sucessos na
primeira e na segunda amostra, respectivamente.
n1 e n2 representam o tamanho da primeira e da
segunda amostra, respectivamente.
Proporção de sucessos em cada
amostra.
Como se supõe que as
proporções sejam iguais,
uma estimativa para o valor
comum será:
e
Teste z de duas amostras
Se
equivalem, cada um, a pelo menos 5,
a distribuição amostral para
A média é p1 – p2 = 0
e o desvio padrão:
A estatística teste
padronizada é:
é normal.
Aplicação
Em um levantamento com 3.420 alunos do ensino
médio privado, 917 disseram ter fumado nos 30 dias
precedentes. Já em um levantamento com 5.131 alunos
do ensino médio público, 1.503 disseram ter fumado nos
0,01, pode-se aceitar a
30 dias precedentes. Sendo
alegação de que a proporção de alunos de escola
privada que disseram ter fumado é inferior à proporção
dos alunos do sistema público que disseram ter
0,01.
fumado? Use
Ensino privado Ensino público
n2 = 5.131
n1 = 3.420
x1 = 917
x2 = 1.503
0,268
0,293
1. Estabeleça as hipóteses nula e alternativa.
(alegação)
2. Estabeleça o nível de significância.
3. Identifique a distribuição amostral.
A distribuição da estatística amostral
é normal, já que
equivalem,
cada um, a pelo menos 5.
2,420
2.420
8,551
8.551
0,283 e
0,717
0,00994
Região de rejeição
Valor crítico z0
–2,33
4. Determine um valor crítico.
z
0
5. Determine a
região de rejeição.
6. Determine a estatística
teste.
(0,268 – 0,293)
0,00009888
0,25
0,00994
2,514
7. Tome sua decisão.
–2,33
0
z = –2,514 cai na região de rejeição. Rejeite a
hipótese nula.
8. Interprete sua decisão.
Há evidência suficiente para aceitar a alegação de
que a proporção de estudantes que fumou nos
colégios privados é menor que a observada nos
públicos.