Probabilidade I
Departamento de Estatística
Universidade Federal da Paraíba
Prof. Tarciana Liberal (UFPB)
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Esperança
Nos modelos matemáticos aleatórios parâmetros podem ser empregados
para caracterizar a distribuição de probabilidade.
Essas quantidades podem ser utilizadas com resumo do comportamento da
variável e servem como parãmetros para vários modelos.
EXEMPLOS:
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Esperança
Definição 10.1:(Valor Esperado de uma Variável Discreta) Seja X uma variável
aleatória discreta, com valores possíveis x1 , x2 , . . . , xn , . . .. Seja p a função de
probabilidade. O valor esperado, esperança matemática ou média de X ,
denotado por E (X ) ou µ é definido como
E (x ) =
∞
X
xi p(xi ),
i =1
P∞
se i =1 |xi |p(xi ) < ∞ (a série convergir absolutamente). Se essa condição não
vale, diremos que o valor esperado não existe.
O valor esperado pondera os valores assumidos pelas respectivas
probabilidades e não precisa ser um dos valores possíveis da variável.
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Exemplo 10.2: Suponha a seguinte regra de um jogo com um dado equilibrado:
em cada rodada, o jogador paga a uma banca R $1 para jogar e ganha R $1, se
der face 4 ou 5 e R $2 se der face 6. Nos demais resulatdos, ele não ganha nada.
Esse jogo é interessante para quem?
Seja X o saldo em uma jogada.
xi
p(xi )
−1
1/2
0
1/ 3
1
1/ 6
E (x ) =
O valor esperado obtido não é um valor resultante de apenas uma jogada. Ele
deve ser interpretado como a média dos resultados de uma longa repetição
desse jogo.
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Exemplo 10.3: Seja X uma V.A.D. com função de probabilidade dada por
(
p(x ) =
1
,
2|x |(|x |+1)
1
,
2x (x +1)
E (x ) =
−∞
X
se
x = −1, −2, . . .
se
x = 1, 2, . . .
xi p ( xi ) +
i =− 1
∞
X
i =1
xi p(xi ) =
∞
X
i =1
2x (x + 1)
=
xi p(xi )
i =1
∞
x
∞
X
1X
1
2 i =1 ( x + 1 )
=
1€1
2 2
1
Š
+ + . . . = ∞,
3
pois a soma acima é parte da série harmônica que diverge.
Para a parte negativa, o cálculo é similar e resulta em −∞.
Logo, não existe valor esperado nesse caso.
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Exercício 10.1: Seja X uma variável aleatória discreta com função de distribuição
apresentada a seguir. Obtenha o valor esperado de X .

0,



 1/8,
5/8,
F (x ) =



 7/8,
1,
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se
se
se
se
se
x < −2
−2 ≤ x < 1
1≤x <2
2≤x <4
x ≥4
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PROPRIEDADES DA ESPERANÇA:
P1 Se X = c, em que c é uma constante, então E (c ) = c.
P2 Multiplicando-se uma variável aleatória por uma constante, sua
média fica multiplicada por essa constante: E (cX ) = cE (X ).
P3 A esperança da soma ou da diferença de duas variáveis aleatórias
é, respectivamente, a soma ou a diferença das esperanças.
E (X + Y ) = E (X ) + E (Y )
E (X − Y ) = E (X ) − E (Y ).
Consequentemente, para X1 , X2 , . . . , Xn variáveis aleatórias. Então
E
n
€X
Š
Xi =
i =1
n
X
E (Xi )
i =1
.
Observação 10.1: Note que toda função de uma variável aleatória X é também
uma variável aleatória. Podemos, portanto, falar na esperança de X 2 , 2X + 1,
dentre outras. Por exemplo:
P∞
E (X 2 ) = i =1 xi2 p(xi )
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DEMONSTRAÇÃO DAS PROPRIEDADES:
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Exercício 2.9
1) Considere a seguinte distribuição de probabilidade para o
número de dias (X) que um livro fica emprestado, além da
data de vencimento:
x
1
2
3
4
5
p(x)
0.4
0.2
0.2
0.1
0.1
a) Calcule o número esperado de dias de atraso.
b) Suponha que o usuário atrasar a entrega em um prazo
superior a µ+ σ dias, onde µ = E(X) e σ = desvio padrão de X,
fica em um cadastro de usuário devedor. Calcule a
probabilidade dessa ocorrência.
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Exercícios 2.11
Uma livraria mantém extensos registros das vendas diárias dos
livros. Com os dados coletados construiu a seguinte distribuição
de probabilidade da variável aleatória X = número de livros
vendidos por semana:
xi
0
1
2
3
4
5
p(xi) 0,05 0,15 0,42 0,20 0,08 0,10
a) Calcule o número esperado de livros vendidos por semana.
b) Calcule a Var(X).
c) Calcule a probabilidade de se vender mais que 2 livros por
semana. Calcule a probabilidade de se vender no máximo um
livro.
d) O lucro da livraria é obtido através da relação Y=3X2+X-2. Qual o
lucro esperado da livraria?
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Exercício :
Uma loja de eletrodomésticos vende freezers verticais com 13.5, 15.9 e 19.1 pés
cúbicos de espaço com as seguintes probabilidades: 0.2, 0.5 e 0.3.
Calcule E (X ).
Se o preço de um freezer com X pés cúbicos de capacidade for 25X − 8.5,
qual será o preço esperado pago pelo próximo cliente a comprar um freezer?
Qual a variância do preço pago pelo próximo cliente?
Suponha que, apesar de a capacidade nominal de um freezer ser X , a
capacidade real seja X − 0.01X 2 . Qual é a capacidade real esperada do
freezer compradp pelo próximo cliente. Resolva usando as propriedades da
esperança.
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Exercício :
A função de probabilidade da variável X é P (X = k ) = 1/5 para k = 1, 2, . . . , 5.
Calcule E (X ) e, usando esses resultados, determine E ((X + 3)2 ) e Var (3X − 2).
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