Mecânica dos Sólidos 2014/15 – Repescagem 1º Teste Duração: 1h 30m Informações: Responda a cada um dos problemas em folhas separadas. Identifique todas as folhas. O teste é sem consulta. É fornecido um formulário anexo ao teste. Não se limite a colocar expressões e resultados, justifique as respostas. Podem ser usadas calculadoras, desde que não tenham qualquer forma de comunicação. Problema 1 (7 valores) 1.
O estado de tensão em todos os pontos de um corpo com a forma de um cubo de lado a, com as arestas  1 0 1


paralelas aos eixos x, y, z do referencial com origem num dos vértices, é dado por   0 1 0 MPa 

 1 0 1 
a) Estabeleça as condições de fronteira de tensão de todas as faces do cubo. b) No centro do cubo, num plano paralelo ao eixo z e inclinado a 45º com o eixo x, existe um defeito no material do cubo que limita a tensão de corte máxima a 2 MPa. Calcule o coeficiente de segurança relativo ao estado de tensão no cubo. c) Determine as tensões principais. d) Determine as direções principais. Problema 2 (7 valores) Considere o elemento bidimensional unitário de referência (Figura 2). a) Obtenha o campo de deslocamentos Nas alíneas seguintes considere o seguinte campo de deformações: x1  a1   sin   a2
x2   sin   a1  a2 b) Obtenha o tensor gradiente da deformação (F), o tensor das deformações (E) e o tensor das deformações infinitesimais (e). c) Verifique, justificando, se a deformação é homogénea e rígida. Indique quais as condições para a deformação ser fisicamente possível. d) Obtenha as direções principais do tensor das deformações. Considerando pequenas deformações, calcule: e) Qual a variação de comprimento da linha AE após a deformação? f) Qual a variação angular entre AB e AE após a deformação? Indicar as expressões a usar e os termos, mas não fazer os cálculos. Figura 2 Problema 3 (6 valores) O disco de raio exterior 5 da Figura 3 está sujeito ao estado de tensão 625
   2 2
plana, dado pela expressão à direita. x y
a) Mostre que o estado de tensão está em equilíbrio, na ausência de força volúmica. b) Obtenha o tensor das tensões no ponto P. c) Calcule o vector tensão no ponto P da superfície Sa d) Sabendo que o material é homogéneo e isotrópico, de propriedades E=10 e  =0.4, obtenha o tensor das deformações e) Conhecendo as direções principais de tensão num determinado 
ponto do disco, n 
1
1 2 
5
n 
2
1
 2 1 , indique 5
como obter as direções principais de deformação. 
 2 xy
 2
2
x  y
Figura 3 x2  y 2 
 2 xy 
Resolução: Problema 1 a) o tensor das tensões é  1 0 1
   0 1 0  MPa  1 0 1 
Os vetores tensão nas faces são: xa
n  1 0 0  t  1 0 1
y  a n   0 1 0  t   0 1 0  za
y  0 n   0 1 0 
n   0 0 1 t   1 0 1
n   0 0 1
z0
 1
n  
2

b) o vetor normal ao plano dado é n   1 0 0 
x0
1
2
t   1 0 1
t   0 1 0 t  1 0 1

0  
 1   1 
 2   2 

 
 1 0 1 
 1   1 


  
 O vetor tensão é t    n   0 1 0  
 
2   2

 1 0 1 
 0   1 

 


  2 
2
2
2
3
 1   1   1 
t  
  
 
  2 2 
2  2

A componente normal do vetor tensão (paralela à normal n) é 


 1
t N   t n  n   
 2




 1  1 
 2    2 



1   1  1 


  0 2   2  2 
 0  0 






1
2
Isto significa que a componente a componente de corte é coincidente com o vetor tensão: tS  t E portanto coef . de segurança 
 admissível 2
tS
3
2
 1.63 c) tensões e direções principais: do tensor das tensões tira‐se, de imediato, a tensão principal de valor ‐1, e a direção principal “y”  1 0 1
   0 1 0  simplificando para o plano “XZ”  1 0 1 
 1 1
 1 1  

Analisando no plano de Mohr, facilmente se obtêm as tensões e direções principais (a 45º com os eixos X e Z): 1  2
2  0


d) n   


2
2
0
2
 2 
 3  1  2
n  
 2
0 
2
 2 
n   0 1 0  Problema 2 (1.0val) a) O campo de deformação será: x1  a1   tan   a2
deslocamentos será: x2   tan   a1  a2 , pelo que o campo de  u1  x1  a1   tan   a2

u2  x2  a2   tan   a1
(1.5val) b) x  1
Fij  i  
a j sin 
sin  
1 
1
1  sin 2 
E  (C  I )  
 2  
2  2sin 
 1
CF F
sin 
T
sin    1
1  sin 
sin   1  sin 2 
2sin  



1   2sin 
1  sin 2  
2sin  

sin 2  
1  u u
eij   i  j
2  a j ai
u1   sin   a2 u2   sin   a1
 1 0
  
 2  2sin 
2sin  
0 
(1.0val) c) A deformação é homogénea uma vez que F é constante. Não é rígida porque E   0 det F  1  sin 2   0  1  sin 2    
fisicamente possível se det F>0 : 
2
(1.0val) d) Como as extensões normais são iguais ( Exx  E yy ), significa que as direções principais estarão a 45º com os eixos XY (esboçar Círculo de Mohr), portanto as direções principais serão n1 
2
1 1
2
n2 
2
 1 1 2
(1.5val) e) A extensão na direção AE , onde n 

51 1 0
ds  ds0
 n e n 
1

  
2  2  2  2sin 
ds0
51 
1 é dada por 
2 2 
1
2sin   5  
2 
0  2  
1
5  1  5  2sin   5
5
5
1

   sin   sin    sin  

2  2  4  sin   8
4
4
A variação de comprimentos é ds  ds0 
5
5 5 5 5

sin  ds0 
4
4 4
16
(1.0val) f) Genericamente a variação angular é dada por: 1 
n( AB ) 2 E n( AE )  cos 0
cos 
n( AB )   




n( AB ) 2 E n( AB )  1 n( AE ) 2 E n( AE )  1
0 
 
 


1
1  sin 2  2sin  
 0  arctan  arctan 2
E 

1
 2  2sin  sin 2  
2
n

( AE )
1 
5 

2
4  
1 
INSTITUTO SUPERIOR TÉCNICO
Mecânica dos Sólidos 2014/15
Repescagem do 1o Teste
Problema 3 (6 valores)
O disco de raio exterior 5 [unidade de comprimento] da figura está sujeito
ao estado de tensão plana:
¸
∙
625
−2xy x2 − y 2
[σ] = 2
.
2xy
(x + y 2 )2 x2 − y 2
y
4
Sa
P
y
.
3
x
z
(a) Mostre que o estado de tensão está em equilíbrio, na ausência de força
volúmica.
(b) Calcule o tensor da tensão no ponto P da superfície Sa .
(c) Calcule o vector tensão no ponto P da superfície Sa .
(d) Sabendo que o material é homogéneo e isotrópico, de propriedades E =
104 [unidade de tensão] e ν = 0.4, obtenha o tensor das pequenas
deformações.
(e) Conhecendo as direcções principais da tensão num determinado ponto
do disco, n(1) = √15 (1, −2), n(2) = √15 (2, 1), indique como obter as
direcções principais da deformação.
..........................................................................
RESOLUÇÃO
Problema 3 (6 valores)
(a) 2.0 valores
625
div [σ] = 2
(x + y 2 )4
¡
¡
¢ ¢ ¡
¢ ¡
¢ ¢ ¸
∙ ¡
2
2 2
−2y
· 4 x¢2 + ¡y 2 x +¢ −2y
·¡(x2 + y 2 )2 − x2 − y2 · ¡4 x2 + y¢2 ¢y
¢
¡ · (x2 + y 2 )2 + ¡2xy
=
2x · (x + y ) − x2 − y 2 · 4 x2 + y 2 x + 2x · (x2 + y2 )2 − 2xy · 4 x2 + y 2 y
∙ ¸
0
=
cqd
0
1
(b) 0.5 valores
∙
¸¸
∙
625
−2xy x2 − y 2
[σ] =
2xy
(x2 + y2 )2 x2 − y 2
x=4,y=3
∙
¸
−24 7
=
7
24
(c) 1.0 valores
{T } = [σ]{n} =
∙
¸
−15
=
20
∙
−24 7
7
24
¸∙
4
5
3
5
¸
(d) 2.0 valores
Ponto P :
¸
¸
4 ∙
4 ∙
1 + 10
−24 7
1 0
10
− 4
(−24 + 24)
[e] =
7
24
0 1
104
10
∙
¸ ∙
¸
21
49
− 6250
−0.003 36 0.000 98
50
000
=
=
21
49
0.000 98 0.003 36
50 000
6250
4
1 + 10
10
∙
−24 7
7
24
¸
−
4
10
10
∙
1 0
0 1
¸
(−24 + 24) =
∙
−3. 36 0.98
0.98 3. 36
¸
Ponto genérico:
∙
¸
¸
4
4 ∙
1 + 10
625
625
−2xy x2 − y 2
1 0
10
[e] =
(−2xy + 2xy)
− 4
0 1 (x2 + y2 )2
2xy
104 (x2 + y2 )2 x2 − y 2
10
¸
∙
7
−2xy x2 − y2
=
2
2
2xy
80 (x2 + y2 )2 x − y
4
1 + 10
625
2
10 (x + y 2 )2
∙
¸
¸ 4 ∙
625
1 0
10
−
(−2xy + 2xy) =
2
10 0 1 (x + y 2 )2
∙
¸
175
−2xy x2 − y2
=
2
2
2xy
2 (x2 + y 2 )2 x − y
−2xy x2 − y 2
x2 − y2
2xy
OBS: Aceita-se qualquer das respostas.
(e) 0.5 valores
As direcções principais da deformação são as mesmas que da tensão
porque o material é isotrópico.
2