Polinômios
Denominamos polinômio na variável x e indicamos por P(x) a
expressão do tipo:
P(x) = anxn + an-1xn-1 + ... + a2x2 + a1x + a0
Onde:
• an, an-1, ..., a2, a1, a0 são os coeficientes do polinômio.
• anxn , an-1xn-1 , ..., a2x2, a1x, a0 são os termos do polinômio.
• a0 é o termo independente.
• n é um número natural.
• x é a variável.
Grau de um polinômio
O grau de um polinômio P(x) é representado pelo
maior expoente da variável x que possui coeficiente
não-nulo e é indicado por gr(P).
observações importantes:
• Um polinômio nulo não tem grau.
P(x) = 0 não se define o grau.
• Se o coeficiente do termo de maior grau de um polinômio for
igual a 1, o polinômio será chamado Mônico.
• Quando existir um ou mais coeficientes nulos, o polinômio será
dito incompleto.
exemplo:
P(x) = 3x4 – 7x + 8
Valor numérico de um polinômio
• Obtemos o valor numérico de um polinômio P(x) para um
número x = k, quando substituímos a variável x pelo número k
e efetuamos as operações indicadas.
exemplo: P(x) = 2x² - 5x +1 se x = 1 temos,
P(1) = 2.1² - 5.1 +1, logo P(1) = - 2.
Igualdade de polinômios ou
polinômios idênticos
Considere os polinômios P(x) e Q(x), dizemos que
esses polinômios são idênticos se, e somente se,
os coeficientes dos termos correspondentes forem
iguais.
P(x) = ao + a1 x + a2 x2 + a3 x3 + ... + an xn e
Q(x) = bo + b1 x + b2 x2 + b3 x3 + ... + bn xn
são iguais se, e somente se, para todo
k = 0,1,2,3,...,n:
ak = bk
Divisão de Polinômios
Dados dois polinômios P(x) (dividendo) e D(x)
(divisor) com D(x) diferente de zero, dividir P(x) por
D(x) é determinar outros dois polinômios Q(x)
(quociente) e R(x) (resto) de modo que:
Ou seja, dividir o polinômio P(x) pelo polinômio D(x)
é obter os polinômios Q(x) e R(x) tais que:
P(x) = D(x).Q(x) + R(x) onde GR < GD.
Dispositivo Prático Briot - Rufini
Este dispositivo é utilizado para dividir um
polinômio P(x) por um polinômio do 1º grau da
forma x - a. Neste método trabalha-se apenas com os
coeficientes do polinômio e com o valor a.
Obs.: Se o resto da divisão é zero, então
o polinômio é divisível pelo polinômio
divisor.
Teorema de D'Alembert
Um polinômio P(x) é divisível pelo
binômio x - a, se e somente se, P(a) = 0.
Teorema do Resto
O resto da divisão de um polinômio P(x) por um binômio (x - a) é
o próprio valor numérico do polinômio para x = a, que indicamos
por P(a).
De acordo com a definição de divisão, temos:
P(x) = (x – a) . Q(x) + R(x), onde R(x) = k (constante)
P(a) = (a – a) . Q(a) + k → P(a) = k
Logo: R(x)= P(a)