1. Conceitos Iniciais Dados um número natural n e os números complexos an, an1, an2, ..., a2, a1, a0, denomina-se função polinomial, ou simplesmente, polinômio em C a função dada por: P( x) a n x n a n1x n1 a n2 x n2 ... a 2 x 2 a1x a 0 para todo x C. No polinômio P, temos: • an, an1, an2, ..., a2, a1, a0 são os coeficientes. • anxn, an1xn1, ... , a1x, a0 são os termos do polinômio. • a0 é o termo independente de x. • x é a variável. 2. Grau de um Polinômio Se an 0, o expoente máximo n é dito grau do polinômio. Indicamos : gr(P) = n. P(x) = 7 ou P(x) = 7x0 é um polinômio constante, isto é gr(P) = 0. P(x) = 2x 1 é um polinômio de grau 1, isto é, gr(P) = 1. Px 3x5 ix4 é um polinômio de grau 5, isto é, gr(P) = 5. P(x) = 0; se todos os coeficientes são nulos não se define o grau absoluto. As funções f(x) = 3x4 + x2 5 e g(x) = x5 + x3/4 não são polinômios, pois em cada uma delas há pelo menos um expoente da variável que não é o número natural. 3. Valor Numérico de Um Polinômio O valor numérico de um polinômio P(x), para x = a, é o numero que se obtém, substituindo x por a e efetuando todas as operações indicadas pela expressão que define o polinômio. Observe esta situação: Exemplo 1: Se P(x) = x3 + 2x2 x 1, o valor numérico de P(x), para x = 2, é: P(2) = 23 + 2 22 2 1 P(2) = 8 + 2 4 2 1 P(2) = 13 O valor numérico de P(x), para x = 2, é a imagem do 2 pela função polinomial P(x). Se P(a) = 0, o número a é denominado raiz ou zero de P(x). a é a raiz de P(x) P(a) = 0 4. Identidade de Polinômios Dois polinômios A(x) e B(x) são idênticos quando assumem valores numéricos iguais para quaisquer valores atribuídos à variável x. Indicamos A(x) B(x). A(x) B(x) A() = B(), C Considere os polinômios: A( x ) an xn an1xn1 ... a2 x 2 a1x a0 B( x ) bn xn bn1xn1 ... b2 x 2 b1x b0 Então: A(x) B(x) A(x) – B(x) 0 (an – bn)xn + (an1 bn1)xn1 + … + (a2 b2)x2 + (a1 b1)x + (a0 b0) 0, x C. Nesse caso, o polinômio do 1º membro deve ser nulo e, como já vimos, isso ocorre para: an bn = 0 an = bn; an1 bn1 = 0 an1 = bn1; … ; a0 b0 = 0 a0 = b0 5. Polinômio Nulo Dizemos que um polinômio P é nulo (ou identicamente nulo) quando P assume valor numérico zero para todo x completo. Em símbolos indicamos: P 0 Px 0, x C Um polinômio P é nulo se, somente se, todos os coeficientes de P forem nulos. Em símbolos, sendo: Px an xn an1xn1 a2 x2 a1x a0 Então devemos ter: an an1 a2 a1 a0 0 6. Operações – Adição, Subtração e Multiplicação A soma, a diferença e o produto de duas funções polinomiais complexas são, também, funções polinomiais complexas. Se duas funções têm coeficientes reais, a soma, a diferença e o produto também coeficientes reais. Observa-se que, se A(x) e B(x) são funções polinomiais, então: • Quando A(x) e B(x) possuírem graus diferentes, o grau de A(x) + B(x) ou A(x) B(x) será igual ao maior entre os graus A(x) e B(x). • Quando A(x) e B(x) forem do mesmo grau, o grau de A(x) + B(x) ou A(x) B(x) poderá ser menor ou igual ao grau dos polinômios A(x) e B(x) ou, ainda, o polinômio resultante poderá ser nulo. • O grau de A(x) B(x) é a soma dos graus de A(x) e B(x). 6. Operações – Adição, Subtração e Multiplicação Sendo: Ax an xn an1xn1 a2 x2 a1x a0 Bx bn xn bn1xn1 b2 x2 b1x b0 1. A soma é definida como: Ax Bx an bn xn an1 bn1 xn1 a1 b1 x a0 b0 Ou seja, calculamos a soma adicionando os coeficientes dos termos semelhantes. 2. A subtração é definida como: Ax Bx an bn xn an1 bn1 xn1 a1 b1 x a0 b0 Ou seja, calculamos a diferença subtraindo os coeficientes dos termos semelhantes. 6. Operações – Adição, Subtração e Multiplicação Sendo: Ax an xn an1xn1 a2 x2 a1x a0 Bx bn xn bn1xn1 b2 x2 b1x b0 3. A multiplicação é obtida multiplicando-se cada termo aixi de A(x) por cada termo bjxj de B(x), ou seja, aplicando a propriedade distributiva da multiplicação. Exemplo 2: Sendo A(x) = x3 + 2x2 3 e B(x) = x2 + x + 1, determine: A(x) + B(x) = (x3 + 2x2 – 3) + (x2 + x + 1) = x3 + 3x2 + x 2 A(x) . B(x) = (x3 + 2x2 – 3) . (x2 + x + 1) x5 + x4 + x3 + 2x4 + 2x3 + 2x2 – 3x2 – 3x – 3 x5 + 3x4 + 3x3 – x2 – 3x – 3 6. Operações – Adição, Subtração e Multiplicação Exemplo 3: Sendo A(x) = 6x2 + 5x + 4 e B(x) = 3x3 + 2x2 + x, determine A(x).B(x) Dispositivo prático: 4 5x 6 x 2 x 2 x 2 3x 3 4 x 5x 2 6 x3 8x 2 10x3 12x 4 12x3 15x 4 18x5 4 x 13x 2 28x3 27x 4 18x5 7. Divisão de Polinômios Dados dois polinômios P(x) (dividendo) e D(x) (divisor), dividir P por D é determinar dois outros polinômios Q(x) (quociente) e r(x) (resto) de modo que se verifiquem as duas condições seguintes: I Qx Dx r x Px II gr(resto) gr(divisor) ou r 0 divisão exata 7.1 Método de Descartes Esse método, também conhecido como método coeficientes a determinar, é aplicado da seguinte forma: dos 1. determina-se os graus do quociente – Q(x) e do resto – r(x); 2. constroem-se os polinômios Q(x) e r(x), deixando incógnitos os seus coeficientes (usam-se letras); 3. determinam-se os coeficientes impondo a igualdade Q(x).D(x) + r(x) = P(x). Exemplo 4: Dividir P(x) = 3x4 – 2x3 + 7x + 2 por D(x) = 3x3 - 2x2 + 4x -1: 1. gr(quociente) = 4 – 3 = 1 Q(x) = ax + b 2. gr(resto) < 3 gr(r) 2 r(x) = cx2 + dx + e 7.1 Método de Descartes Exemplo 5: Dividir P(x) = 3x4 – 2x3 + 7x + 2 por D(x) = 3x3 - 2x2 + 4x -1: Aplicando a relação fundamental da divisão: Qx Dx r x Px ax b 3x3 2x2 4x 1 cx2 dx e 3x4 2x3 7 x 2 3ax4 2ax3 4ax2 ax 3bx3 2bx2 4bx b cx2 dx e 3ax4 2a 3bx3 4a 2b cx 2 a 4b d x b e 3x 4 2x3 7 x 2 3a 3 2a 3b 2 4a 2b c 0 4b a d 7 eb 2 a 1 2 1 3b 2 4 1 2 0 c 0 4 0 1 d 7 e0 2 c 4 d 8 e2 3b 0 b0 Logo: Q(x) = ax + b Q(x) = x r(x) = cx2 + dx + e r(x) = -4x2 + 8x + 2 7.2 Método da Chave Para efetuar a divisão usando o método da chave, convém seguir os seguintes passos: • Escrever os polinômios (dividendo e divisor) em ordem decrescente dos seus expoentes e completá-los quando necessário, com termos de coeficiente zero. • Dividir o termo de maior grau do dividendo pelo de maior grau do divisor, o resultado será um termo do quociente. • Multiplicar esse termo obtido no passo 2 pelo divisor e subtrair esse produto do dividendo. Se o grau da diferença for menor do que o grau do divisor , a diferença será o resto da divisão e a divisão termina aqui. Caso contrário, retoma-se o passo 2, considerando a diferença como um novo dividendo. 7.2 Método da Chave Exemplo 6: Dividir P(x) = x4 – 2x3 + x2 – 8x – 12 por D(x) = x2 + 4: x 2 x x 8x 12 4 3 2 x 0x 4 2 x2 2 x 3 x 4 0 x3 4 x 2 2 x 3 3x 2 8 x 2 x3 0 x 2 8x 3x 2 0 x 12 3x 2 0 x 12 0 Logo: Q(x) = x2 – 2x – 3 e r(x) = 0 7.2 Método da Chave Exemplo 7: Dividir P(x) = x4 – 16 por D(x) = x + 1. x 4 0 x3 0 x 2 0 x 16 x 4 x3 x 1 x3 x 2 x 1 x 0x 3 2 x x 3 2 Logo: x 0x 2 x x x 16 x 1 2 15 Q(x) = x3 – x2 + x - 1 e r(x) = -15 7.3 Divisão por binômios do 1º Grau Trataremos daqui por diante de divisões em que o dividendo é um polinômio P(x), em que gr(P) 1, e o divisor é um polinômio do 1º grau (de grau 1), a princípio de coeficiente dominante (do termo de grau 1) igual a 1. Para começar vamos determinar o seguinte, se o divisor é de grau 1, então resto será de grau zero, e portanto, independente de x (o resto será um número real). Vamos estudar: Teorema do Resto Teorema de D’Alembert Algoritmo de Briot-Ruffini Divisão pelo binômio (ax + b) Divisão pelo produto (x – a).(x – b) Divisões Sucessivas 7.4 Cálculo do Resto Na divisão de um polinômio P(x) por um polinômio do tipo (x – a), observamos que o resto, se não for nulo, será sempre um número real. Então: P( x) ( x a) r Q( x) P x ( x a).Q x r Observe que Q(x) é o quociente dessa divisão. Calculando o valor numérico de P(x) para x = a, temos: P x ( x a).Q x r P a (a a).Q a r P a 0.Q a r Logo: P a r Verificamos assim que: O resto da divisão de P(x) por (x - a) é r = P(a). EXEMPLO 8: Calcular o resto da divisão de P(x) = x4 – 3x2 + 2x – 1 por x – 2. Resolução: r P 2 24 3 22 2 2 1 r P 2 16 12 4 1 r7 EXEMPLO 9: Calcular o resto da divisão de P(x) = x4 + 2x3 + 3x2 – 6 por x + 2. Resolução: r P 2 2 2 2 3 2 6 4 r P 2 16 16 12 6 r6 3 2 7.5 Teorema de D’Alembert Para que um polinômio P(x) seja divisível por um polinômio do tipo (x – a), é preciso que o resto seja igual a zero, ou seja, P(a) = 0. P(x) é divisível por (x – a) P(a) = 0 . EXEMPLO 10: Determine k para que o polinômio P(x) = kx3 + 2x2 + 4x – 2 seja divisível por (x + 3). Resolução: se P(x) é divisível por (x + 3), então devemos ter, P 3 0 k 3 2 3 4 3 2 0 3 2 4 k 27 7.6 Algoritmo de Briot-Ruffini EXEMPLO 11: Calcular o quociente e o resto da divisão de P(x) = 3x3 - 2x2 + 5x – 7 por (x - 2). Resolução: 2 3 2 5 7 3 4 13 19 Coeficientes do quociente Assim: resto Q x 3x 4x 13 e R x 19 2 a2 EXEMPLO 12: Dividir P(x) = 3x4 + 8x3 - 20x – 21 por (x + 1) a 1 Resolução: 1 3 8 0 20 21 3 5 5 15 6 Q x 3x3 5x2 5x 15 R x 6 EXEMPLO 13: Dado P(x) = 5x4 - 9x3 + 2x2 – 5x – 11, calcular P(3). Resolução: Como P(3) é o resto da divisão de P(x) por (x – 3), temos: 3 5 9 2 5 11 5 6 20 55 154 R x 154 Assim: lembre-se, P(3) = R(x), então temos: P 3 154 EXEMPLO 14: Determine k para que P(x) = x5 + x2 + kx – 5 seja divisível por (x - 2). Resolução: Devemos ter resto igual a zero na divisão de P(x) por (x - 2). Então, 2 1 0 0 1 k 1 2 4 9 18 k 5 31 2k R x 31 2k Assim: lembre-se, P(2) = R(x) = 0. Então: 31 2k 0 31 k 2 Briot-Ruffini para o binômio (ax + b) Casos em que: Observe, a 0, b 0 e a 1 P x ax b Q x r b P x a x Q x r a b P x x aQ x r a Fazendo a Q( x) Q1 x , temos: b P x x Q1 x r a b Assim, aplicando o dispositivo de Briot-Ruffini para x a obtemos Q1 x e r , em que r também é o resto de na 1 divisão de P(x) por (ax + b) e Q1 x será o quociente. a Veja que se: a Q( x) Q1 x Resulta então que: 1 Q x Q1 x a EXEMPLO 15: Dividir P(x) = 2x3 - 4x2 + 6x – 2 por (2x - 1) Resolução: em (2x - 1) vamos colocar o 2 em evidência, obtendo: 1 2 1 2 x 2 2 4 6 2 2 3 9 2 1 4 Q1 x R x Agora você deve lembrar que: 1 Q x Q1 x 2 Substituindo então Q1(x), teremos: 1 2 9 Q x 2 x 3x 2 2 1 3 9 e R x Q x x x 4 2 4 2 EXEMPLO 16: Qual o resto da divisão de P(x) = x40 - x - 1 por (x - 1)? Resolução: lembre-se, nesse caso, R(x) = P(1). Então: P 1 1 1 1 40 P 1 1 Logo: R x 1 7.7 Divisão pelo produto (x – a).(x – b) Consideremos um polinômio P(x) com grau maior ou igual a dois, que, dividido por (x – a) e por (x – b) apresenta restos iguais a r1 e r2, respectivamente. Vamos Calcular o resto da divisão de P(x) pelo produto (x – a) . (x – b). Como os restos na divisão de P(x) por (x – a) e por (x – b) são r1 e r2, respectivamente, temos: P a r1 e P b r2 O resto da divisão de P(x) por (x – a) . (x – b) é um polinômio R(x) = mx + n de grau máximo igual a 1, já que o divisor tem grau 2. Assim: P x x a x b Q x mx n Como: P a r1 e P b r2 Temos: P a a a a b Q a ma n ma n r1 P b b a b b Q b mb n mb n r2 Com as sentenças obtidas montamos um sistema: ma n r1 mb n r2 Resolvendo esse sistema e calculando os valores de m e n, obtemos: r1 r2 ar2 br1 m e n a b a b Agora substituindo os valores de m e n encontrados na sentença: R x mx n Obtemos: r1 r2 ar2 br1 R x x a b a b Observações: I) Se P(x) for divisível por (x – a) e por (x – b) temos: P a 0 r1 0 e P b 0 r2 0 Então: Ou seja: 0 0 a0 b0 R x x a b a b R x 0 CONCLUSÃO: Se P(x) for divisível por (x – a) e por (x – b), então P(x) será também divisível pelo produto: (x – a) . (x – b). EXEMPLO 17: Verificar se o polinômio P(x) = x3 - 4x2 + 4x - 1 é divisível por B(x) = x2 - 1. Resolução: Primeiro vamos lembrar que, B x x 1 2 B x x 1 x 1 Mas, para que P(x) seja divisível por B(x), é necessário que P(x) seja divisível por (x + 1) e também por (x – 1). Então devemos ter: P 1 0 e P 1 0 Vamos então calcular P(1) e P(-1): P 1 1 4 1 4 11 P 1 1 4 1 4 1 1 P 1 0 P 1 10 3 2 3 2 Temos, então, que P(x) não é divisível por (x + 1) E portanto podemos concluir que P(x) não é divisível por B(x) EXEMPLO 18: Calcule a e b para que P(x) = x3 + 2x2 + ax - b seja divisível por (x - 1) e por (x - 2). Resolução: Nesse caso devemos ter P(1) = 0 e P(2) = 0. P 1 1 2 1 a 1 b P 2 23 2 22 a 2 b 0 1 2 a b 0 8 8 2a b a b 3 2a b 16 3 2 Agora, vamos resolver o sistema obtido. a b 3 2 2a b 16 a b 3 b 10 b 10 a 13 EXEMPLO 19: Se um polinômio P(x) dividido por (x - 1) deixa resto 2 e dividido por (x - 2) deixa resto 1, qual é o resto da divisão de P(x) pelo produto (x - 1).(x - 2)? Resolução: observe que: 1) A partir da leitura do enunciado podemos concluir que P(1) = 2 e P(2) = 1. 2) O resto da divisão de P(x) por (x - 1).(x - 2) é um polinômio do tipo R(x) = ax + b, pois se o divisor tem grau 2, o resto, no máximo, terá grau 1. Então: P x x 1 x 2 Q x ax b A partir da informação de que P(1) = 2 e P(2) = 1, obtemos: P x x 1 x 2 Q x ax b P 1 111 2 Q 1 a 1 b 2 ab P 2 2 1 2 2 Q 2 a 2 b 1 2a b ab 2 2a b 1 Resolvendo o sistema: Encontramos: Assim: a 1e R x x 3 a b 2 2 2a b 1 b . 3 7.8 Divisões Sucessivas Consideremos um polinômio P(x) divisível por B(x) = (x – a).(x – b), e que o quociente na divisão de P(x) por B(x) é um polinômio Q(x). Assim: P x x a x b Q x Q1 x Vamos chamar (x – b).Q(x) de Q1(x). Observe a sentença obtida, P x x a Q1 x Veja que P(x) é divisível por (x – a) e o quociente na divisão de P(x) por (x – a) é Q1(x) = (x – b). Q(x) Mas, se Q1 x x b Q x Então, podemos concluir que Q1(x) é divisível por (x – b) e o quociente na divisão de Q1(x) por (x – b) é Q(x). Vamos tentar simplificar: P x x a x b Q x P x x a Q1 x P( x) ( x a) 0 Q1 ( x) ( x a) 0 Q1 ( x) Deste modo, podemos concluir que: P( x) x a x b 0 Q( x) EXEMPLO 20: Verificar se P(x) = x3 + 2x2 - 13x + 10 é divisível por (x – 1).(x – 2) Resolução: Dividimos sucessivamente P(x) por (x - 1) e o quociente encontrado por (x – 2) 1 2 13 10 1 1 3 10 0 2 1 5 0 Coeficientes do Quociente Q(x) Como P(x) é divisível por (x - 1) e o quociente desta divisão é divisível por (x – 2), concluímos, então, que P(x) é divisível por (x - 1).(x - 2) EXEMPLO 21: Calcular a e b para que P(x) = x4 + x2 + ax + b seja divisível por (x – 1)2 Resolução: Dividimos P(x) por (x - 1) e o quociente encontrado por (x – 1) novamente. 1 0 1 a b 1 1 1 2 a2 a2b 1 1 2 4 a6 Os restos das duas divisões devem ser nulos. Então, a6 0 a 2 b 0 a 6 e b 4 EXEMPLO 22: Para que o polinômio P(x) = x3 - 8x + mx - n seja divisível por (x + 1)(x - 2), o produto m.n deve ser igual a: Resolução: Se P(x) é divisível por (x + 1)(x - 2), então, P(x) é divisível por (x + 1), e também é divisível por (x - 2), e isto significa dizer que, P 1 0 e P 2 0 P 1 1 8 1 m 1 n P 2 2 8 2 m 2 n 0 1 8 m n 0 8 16 2m n mn 7 2m n 8 3 3 Resolvendo o sistema: Obtemos, mn 7 2m n 8 m5 e n 2 Agora, podemos responder a proposição inicial do problema, m n 10 EXEMPLO 23: Um polinômio P(x) dividido por (x + 1) dá resto 3 e por (x - 2) dá resto 6. O resto da divisão de P(x) pelo produto (x + 1)(x - 2) é da forma ax + b. Obter o valor numérico da expressão a + b. Resolução: Se P(x) dividido por (x + 1) dá resto 3 e por (x - 2) dá resto 6, então, P 1 3 e P 2 6 Sabemos ainda que o resto da divisão de P(x) pelo produto (x + 1)(x - 2) é da forma ax + b, então, P( x) ax b x 1 x 2 Q( x) P x x 1 x 2 Q x ax b daí, P 1 3 a b 3 a 1 b4 P 2 6 2a b 6 ab 5