O que é o Geometer’s Sketchpad?
Sketchpad é um ambiente computacional que
propicia a exploração e desenvolvimento de noções e
conceitos
geométricos.
Ele
explora
triângulos,
quadriláteros, círculos, entre outras figuras geométricas e
suas características.
Com o Sketchpad, o estudante pode explorar
Geometria Analítica da mesma maneira que explora
outras abordagens de Geometria. Além disso, ele pode
realizar cálculos baseados nos parâmetros de equações e
colocar qualquer cálculo ou equação em um sistema de
coordenadas.
Em sala de aula o Sketcpad também pode explorar
ângulos, transformações geométricas, simetria, tecelagem,
polígonos, círculos, similaridade (retângulo áureo),
trigonometria, fractais, entre outros.
Devido a desenvolvimentos tecnológicos, o ensino da
Matemática, particularmente da Geometria, mudou. Isso
ocorreu porque a sua abordagem dedutiva foi desafiada e
alternativas, como os ambientes computacionais, estão
disponíveis.
Geometer’s Sketcpad foi desenvolvido sob a direção do
Dr. Eugene Klotz, no Swarthmore College e Dr. Doris
Schattschneider, no Moravian College, na Pensilvânia, como
parte doprojeto Visual Geometry, financiado pela National
Science Foundation.
Em adição à produção desse software, o Visual
Geometry Project também produziu o Stella Octangula e o
Platonic Solids (materiais manipulativos). Esse software foi
lançado no primeiro semestre de 1991.
O Sketchpad está entre os primeiros em uma
geração de softwares educacionais.
O Projeto
Neste projeto, vamos trabalhar na construção de
uma rosácea de seis pontas. Ou seja, vamos trabalhar com
geometria. Para isso, vamos utilizar o conceito de triângulo
equilátero, sendo que para a sua construção utilizamos
circunferências e segmentos.
Triângulo equilátero é composto por três lados
iguais e, conseqüentemente, três ângulos iguais.
Poderíamos, também, trabalhar a partir da rosácea,
conceitos de mediatriz, pois teremos pontos eqüidistantes.
Mas vamos dar ênfase à construção da rosácea a partir do
triângulo equilátero.
Começamos criando um segmento AB, para ser um
dos lados do triângulo. Traçamos então, uma circunferência
com centro A e raio AB e outra com centro B e o mesmo
raio.
A
B
Marcamos os dois pontos, C e D, da intersecção
entre as duas circunferências. Por construção, tais pontos
são eqüidistantes de A e B, ou seja, as medidas de AC, BC,
AD e BD são iguais. E ainda mais, são iguais à medida do
segmento AB. Dessa forma, construímos 2 triângulos
eqüiláteros: o triângulo ABC e o triângulo ABD.
C
B
A
D
Crie uma outra
circunferência com
centro C e raio AB.
Analogamente para o
ponto D. Vamos obter
dessa maneira a
primeira pétala de
nossa rosácea, AB,
que é a intersecção
das 4 circunferências.
Marcamos todos os
novos pontos de
intersecção das
circunferências: E, F,
G e H.
C
E
B
A
G
F
D
H
Nesse instante,
escolhemos o ponto E
como centro de uma
nova
circunferência. É
importante ressaltar
que o raio de todas as
circunferências
construídas será o
mesmo, ou seja, a
medida de AB. Como
pode-se observar, temos
a segunda pétala da
rosácea , AC, e o novo
ponto I,na intersecção
das circunferência de
centro A e E .
C
E
B
A
I
G
F
D
H
Ao traçarmos a
circunferência
de centro I,
obtivemos duas
pétalas de
nossa flor: AE
e AG.
C
E
B
A
I
G
F
D
H
Por fim,
traçamos a
circunferência
de centro G, e
obtivemos as
duas últimas
pétalas, AI e
AD, de nossa
querida
rosácea.
C
E
B
A
I
G
F
D
H
Dessa forma, a partir de um segmento e de
circunferências de mesmo raio, construímos uma seqüência
de triângulos eqüiláteros, que por fim, resultaram em um
hexágono regular. Logo, tendo em mãos uma régua, graduada
ou não, e um compasso podemos construir triângulos
eqüiláteros, sem a necessidade de uma medida numérica.
É interessante destacar, que ao obtermos os pontos E,
F, G e H, poderíamos ter escolhido qualquer um deles para
continuarmos a construção.
Se o ponto escolhido tivesse sido o G, obteríamos a
mesma figura, porém, sua construção ocorreria em sentido
oposto, ou seja, em sentido horário. Por outro lado, se o ponto
tivesse sido o F a figura obtida seria simétrica em relação ao
eixo vertical de B. O mesmo aconteceria com o ponto H,
mudando, nesse caso, apenas o sentido da construção.
Observe como
ficaram dispostos
os triângulos
eqüiláteros.
C
E
B
A
I
G
F
D
H
Por fim, a obtenção de nossa rosácea, se deu pela
intersecção, duas a duas, das circunferências centradas nos
pontos C, E, I, G, D e B. Como pode-se observar, o ponto A é o
centro de nossa flor.
Encontramos na literatura, que a rosácea é uma figura
simétrica que resulta da união de um número de circunferências,
sendo que este número é múltiplo de três. E todas as
circunferências possuem raios iguais , sendo este o valor do
segmento de reta inicial.
Alguns poderão se perguntar: “Mas a rosácea construída
acima é composta por sete circunferências. Como, se elas são
compostas sempre por um número de circunferências que é
múltiplo de três?”
Acontece, que a circunferência de raio A, na nossa
rosácea, serviu apenas como apoio para sua construção. Como
pode-se observar, ela não determina nenhuma pétala da rosácea.
E aqui, finalmente, temos nossa querida rosácea: