O que você deve saber sobre
GEOMETRIA ANALÍTICA – CIRCUNFERÊNCIA E CÔNICAS
As equações das curvas chamadas cônicas recebem esse nome
devido à sua origem (a intersecção de um cone por um plano) e
podem ser determinadas com base no conceito de lugar geométrico
e no cálculo das distâncias entre pontos no plano cartesiano.
I. Circunferência
Dados um ponto C e uma distância r, é o lugar geométrico plano
dos pontos que estão à mesma distância r de C.
Equação reduzida da circunferência
Considere o ponto C de coordenadas (xC, yC), chamado centro, e a
distância r, chamada raio. Os pontos pertencentes à circunferência
 devem atender à equação:
Tal equação é obtida a partir da aplicação do teorema de Pitágoras
a todos os pontos da circunferência.
GEOMETRIA ANALÍTICA – CIRCUNFERÊNCIA E CÔNICAS
I. Circunferência
Equação geral
Do desenvolvimento da equação reduzida, obtém-se:
x2 + y2  2xCx  2yCy + xC2 + yC2  r2 = 

com a, b e c constantes reais.
Posição relativa entre um ponto e uma circunferência
A posição relativa entre um ponto P e uma circunferência  é dada
pela comparação entre a distância d, de P ao centro da
circunferência, e seu raio r.
GEOMETRIA ANALÍTICA – CIRCUNFERÊNCIA E CÔNICAS
I. Circunferência
Posição relativa entre uma reta e uma circunferência
A posição relativa entre uma reta s e uma circunferência  é dada
pela comparação entre a distância d da reta ao centro da
circunferência e seu raio r.
Posição relativa entre duas circunferências
As posições relativas entre duas circunferências, 1 e 2, são dadas
pela comparação entre seus raios r1 e r2, respectivamente, e a
distância d entre seus centros.
GEOMETRIA ANALÍTICA – CIRCUNFERÊNCIA E CÔNICAS
I. Circunferência
Posição relativa
entre duas
circunferências
GEOMETRIA ANALÍTICA – CIRCUNFERÊNCIA E CÔNICAS
II. Elipse
Dados dois pontos F1 e F2 (focos), é o lugar geométrico plano no qual a
soma das distâncias de qualquer ponto sobre a curva aos focos é
constante e maior que a distância entre os focos.
Elementos
• Focos: os pontos F1 e F2
• Eixo maior: o segmento
A1A2, que passa pelos focos
(A1A2 = 2a)
• Centro: o ponto O, médio de A1A2
• Eixo menor: o segmento B1B2, perpendicular a A1A2,
que passa por O (B1B2 = 2b).
• Distância focal: a distância 2c = F1F2 entre os focos
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II. Elipse
Equação
• Elipse com eixo maior na horizontal (a > b):
• Elipse com eixo maior na vertical (a < b):
Excentricidade
A razão e = c (com c  a).
a
Conforme essa razão se aproxima de 0, o formato da elipse se assemelha
a uma circunferência; à medida que e se aproxima de 1, ela se torna
mais achatada.
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III. Parábola
Dados uma reta r e um ponto F fora dela, é o lugar geométrico plano
dos pontos que equidistam de r e F.
Elementos
• Foco: o ponto F
• Diretriz: a reta r
• Eixo de simetria: a reta s, perpendicular a r, que passa pelo foco
• Vértice: o ponto V, intersecção da parábola com o eixo de simetria
• Parâmetro da parábola: a distância p entre o foco e a diretriz,
i.e, p = FD
GEOMETRIA ANALÍTICA – CIRCUNFERÊNCIA E CÔNICAS
III. Parábola
Equação
• Forma geral:
• Pelas coordenadas do vértice:
• Equação reduzida
concavidade para cima:
concavidade para baixo:
• Parábola com diretriz na vertical:
Todas as relações acima são válidas para uma parábola que tenha
diretriz vertical, desde que troquemos as posições das variáveis
x e y, xV e yV.
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IV. Hipérbole
Dados dois pontos F1 e F2 (chamados focos), é o lugar geométrico
plano cuja diferença, em módulo, entre as distâncias de qualquer
ponto aos focos é constante e menor que F1F2.
Elementos
• Focos: os pontos F1 e F2
• Distância focal: a distância
2c = F1F2 entre os focos
• Vértices: os pontos A1 e A2,
intersecções de F1F2 com a hipérbole
• Centro: o ponto médio O de A1A2
• Eixo real ou transverso: o segmento A1A2 (A1A2 = 2a)
• Eixo imaginário ou conjugado: o eixo B1B2 (B1B2 = 2b)
GEOMETRIA ANALÍTICA – CIRCUNFERÊNCIA E CÔNICAS
IV. Hipérbole
Equação reduzida
• Eixo geral horizontal:
• Eixo real na vertical:
Assíntotas: duas retas secantes que passam pelo seu centro e não a
interceptam. Suas equações são dadas por:
r1: bx - ay = 0
r2: bx + ay = 0
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IV. Hipérbole
Excentricidade
c (com c > a).
É a razão e = a
À medida que essa razão se aproxima de 1, os ramos da hipérbole
se tornam mais fechados; no ponto em que e tende a infinito, seus
ramos se tornam mais abertos. Observe:
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EXERCÍCIOS ESSENCIAIS
1
(UEG-GO)
Calcule a área no interior de um círculo cujo centro está na origem
do sistema de coordenadas e que é tangente à reta de equação
4x + 3y = 12.
RESPOSTA:
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EXERCÍCIOS ESSENCIAIS
3
(UFG-GO)
Dadas as circunferências de equações x2 + y2 - 4y = 0 e x2 + y2 - 4x - 2y + 4 = 0 em um sistema de coordenadas cartesianas:
a) esboce os seus gráficos;
b) determine as coordenadas do
ponto de intersecção das retas
tangentes comuns às circunferências.
RESPOSTA:
b) O ponto de intersecção das retas tangentes
comuns às circunferências também é o ponto
comum entre uma dessas tangentes e a reta
que passa pelos centros das circunferências.
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EXERCÍCIOS ESSENCIAIS
8
(UFPB)
Nos focos da elipse que contorna uma praça, estão dois quiosques, representados pelos pontos A(2, 80) e B(2, -80).
Um terceiro quiosque, sobre a elipse, está representado pelo ponto C(2, -100).
Nesse contexto, a equação da elipse é:
x  2
y
a)

 1.
6.400 10.000
2
x  2
b)
2
y

 1.
3.600 10.000
2
2
 x  2
RESPOSTA: B
y
c)

 1.
10.000 6.400
2
x  2
2
y
d)

 1.
3.600 6.400
2
2
x  2  1.
y

e)
10.000 6.400
2
2
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EXERCÍCIOS ESSENCIAIS
9
(UFPB)
Uma quadra de futsal está representada na figura pelo retângulo
ABCD, onde A = (-20, -10) e C = (20, 10).
Cada uma das áreas dos goleiros (regiões hachuradas) é delimitada
por uma das linhas de fundo, AD ou BC, e por um dos dois ramos de
uma hipérbole de focos F1 = (6 5, 0) e F2 = (-6 5, 0). O círculo
central e a hipérbole são concêntricos, o raio do círculo mede 3 m e
uma das assíntotas da hipérbole passa pelos pontos A e C.
Nesse contexto, identifique as
proposições verdadeiras.
01. A distância entre o centro do
círculo e um vértice da
hipérbole é de 12 m.
02. A quadra tem 800 m2 de área.
RESPOSTA:
SOMA: 01 + 02 + 16 = 19
2
2
04. A equação da hipérbole é x  y  1.
180 36
08. A excentricidade da hipérbole é
igual a 5 .
3
16. O eixo imaginário da hipérbole
tem comprimento igual a 4 vezes o
raio do círculo.
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EXERCÍCIOS ESSENCIAIS
1
11
(ITA-SP)
Sabendo que 9y2 - 16x2 - 144y + 224x - 352 = 0 é a equação de uma
hipérbole, calcule sua distância focal.
RESPOSTA:
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EXERCÍCIOS ESSENCIAIS
1
14
(UnB-DF)
O cometa Halley tem uma órbita elíptica com eixo maior e eixo menor iguais a 540 . 107 km e 140 . 107 km, respectivamente.
d
Sabendo que o Sol está em um dos focos da elipse, calcule o valor 107
em que d é a menor distância entre o Sol e o cometa, medida em
quilômetros.
Desconsidere a parte fracionária de seu resultado, caso exista.
RESPOSTA:
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