Isaac Toyoshi Takiguchi Jr.
Lucas Campos Silva
Marcelo Butzke Leopoldino
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Gravitação universal
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Axioma 1: Duas coisas iguais a uma terceira,
são iguais entre si.
Axioma 2: Se parcelas iguais forem
adicionadas a quantias iguais, os resultados
continuarão sendo iguais.
Axioma 3: Se quantias iguais forem
subtraídas das mesmas quantias, os restos
serão iguais.
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Axioma 4: O todo é maior que a parte.
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αξιωμα (axioma);
Algo considerado válido, adequado ou autoevidente;
Por sua vez derivado da palavra grega “axios”,
válido;
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Na matemática, um axioma é uma hipótese
inicial de qual outros enunciados são
logicamente derivados, permitindo a construção
de um sistema formal;
Não podem ser derivados por princípios de
dedução e nem são demonstráveis por
derivações formais, simplesmente porque eles
são hipóteses iniciais. Isto é, não há mais nada a
partir do que eles seguem logicamente (em caso
contrário eles seriam chamados teoremas);
Em muitos contextos, "axioma", “postulados" e
"hipótese" são usados como sinônimos;
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Euclides de Alexandria – Elementos;
Exemplo de sistematização mais conhecido da
antiga matemática grega;
Usando conceitos fundamentais de ponto, reta e
plano criou uma lista de cinco postulados.
Imagem: WIKIPEDIA. Euclides. Disponível em: http://pt.wikipedia.org/wiki/Euclides
Acessado em 24 de março de 2009.
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Postulado 1: Uma reta pode ser traçada de
um ponto para outro qualquer;
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Postulado 2: Qualquer segmento finito de
reta pode ser prolongado indefinidamente
para construir uma reta;
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Postulado 3: Dados um ponto qualquer e uma
distância qualquer, pode-se traçar um círculo
de centro naquele ponto e raio igual à dada
distância;
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Postulado 4: Todos os ângulos retos são
iguais entre si;
Postulado 5: Se uma reta cortar duas outras
retas de modo que a soma dos dois ângulos
interiores, de um mesmo lado, seja menor
que dois ângulos retos, então as duas outras
retas se cruzam, quando suficientemente
prolongadas, do lado da primeira reta em que
se acham os dois ângulos;
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O mais famoso;
Inúmeros matemáticos suspeitaram que o 5º
postulado poderia ser deduzido a partir dos
demais;
Carl Friedrich Gauss e posteriormente outros
matemáticos perceberam sua independência
aos demais;
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David Hilbert, em 1900, apresentou uma
histórica palestra na qual listou 23 problemas
principais legadas pelos matemáticos do
século XIX;
Sexto problema, no qual diz que tratar do
mesmo modo, por meio de axiomas, as
ciências físicas nas quais a matemática tem
importante papel: são prioritárias a teoria de
probabilidades e a mecânica;
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Deixou de forma bem clara que o rigor
matemático poderia existir em qualquer ramo
da ciência, com base matemática;
Matemática trata sempre da estrutura
dedutiva de sistemas, partindo de alguns
conceitos primitivos (vagos e intuitivos),
relacionando-se e permitindo a dedução de
consequências e teoremas;
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Tais considerações motivam o estudo
rigoroso, do ponto de vista axiomático, de
teorias físicas;
Hoje já temos sistemas axiomáticos para
teorias da física, biologia, economia, e até
mesmo para geociências.
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Formal – linguagem artificial na qual os
conceitos são devidamente tornados
precisos;
Informal – língua natural, por exemplo o
Português;
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Conjunto de símbolos;
Conjunto de expressões;
Conjunto de fórmulas bem formadas;
Procedimentos que permitem distinguir fórmulas
bem formadas;
Um conjunto de axiomas da teoria, que é
composto de fórmulas bem formadas;
Um conjunto de relações entre as fórmulas bem
formadas;
Um procedimento para decidir se as relações são
consideradas válidas, dadas um conjunto de
fórmulas bem formadas;
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Inferência é o processo pelo qual se chega a
uma dedução, firmada na base de uma ou
outras mais fórmulas bem formadas aceitas
como ponto de partida do processo;
As regras de inferência são fundamentais no
processo lógico-dedutivo de teorias formais,
permitindo a dedução de teoremas;
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Procedimento efetivo para decidir quais
fórmulas bem formadas são axiomas;
Demonstração é uma sequência de fórmulas
bem formadas que foram “derivadas” através
de uma regra de inferência;
Um teorema é a última fórmula bem formada
da sequência da demonstração;
Teoria decidível – quando existe
procedimento para dizer se uma fórmula bem
formada é um teorema da Teoria;
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Uma fórmula bem formada é dita uma
consequência quando está é derivada de um
axioma ou fórmulas bem formadas
pertencentes aos conjuntos de premissas e
hipóteses da prova (Γ) por alguma regra de
inferência;
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O processo de axiomatização sintetiza parte
significativa do método científico, onde as
teorias sempre partem de um mínimo
pressupostos permitindo varias inferências
lógicas.
Exemplo: A teoria da gravitação permite
descrever desde a simples queda de uma
maçã até a órbita lunar;
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Permite a “economia de pensamentos”.
Exemplo: A teoria de distribuições requer
conhecimento de análise funcional (matéria
de nível de pós-graduação), porém José
Sebastião e Silva elaborou uma axiomatização
para a teoria que a tornou “simples”, para
pessoas com conhecimento em cálculo
diferencial e integral;
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Tem poder de qualificar discurso, ou seja,
permite que questões de caráter filosófico em
ciência sejam respondidas objetivamente;
Exemplos: Questões sobre eliminabilidade de
conceitos primitivos, questões sobre
consistência, etc.
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É exelente instrumento de pesquisa
matemática;
Exemplo: em topologia um importante
teorema, o de Tychonoff, um curioso
resultado sobre espaços topológicos
compactos, é equivalente ao Axioma da
Escolha na teoria de conjuntos de ZermeloFraenkel. Ou seja, sem o Axioma da Escolha,
não há teorema de Tychonoff;
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Pode ser desinteressante do ponto de vista
didático;
Método genético, se opõe ao axiomático.
Exemplo: Para aprender cálculo diferencial e
integral, pressupõe conhecida a teoria de
conjuntos, a noção de número real, e em
seguida, limites;
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Em compensação, o método axiomático é
explicitamente usado em topologia, álgebra,
álgebra linear, análise matemática, etc;
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Depende do interesse de quem faz ciência;
Muitos dos trabalhos científicos de grande
relevância, foram feitos sem qualquer uso
explícito do método axiomático;
Figura indispensável em questões sobre os
fundamentos lógico-matemáticos de
qualquer disciplina;
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SANT’ANNA, Adonai S. (2003) O que é um
Axioma.
WIKIPEDIA. Axioma. Disponível em:
http://pt.wikipedia.org/wiki/Axioma
Acessado em 24 de março de 2009.
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