Sobre a noção de número real
Um devaneio (meta)matemático
Sílvia Cavadas
Orientado por Eduardo Rêgo
Seminário Diagonal 30/05/13
Uma pergunta (quase) inevitável...
ℕ
f ( x)
∅
∀
Qual o significado do que
andamos aqui a fazer?
Q.E.D.
π
ℝ
A matemática
axiomas, conceitos primitivos, regras de inferência...
lógica 2ª ordem + ZFC (?)
Os números reais
ℕ
segmentos
incomensuráveis!
ℤ
ℚ
ℝ
(?)
Os números reais
Os números reais “completam” os “buracos” deixados pelos racionais.
Trabalhou-se com eles (desenvolveu-se o cálculo!) muito antes
de se definir rigorosamente o que eles “são”.
Comprimentos de segmentos de reta...
Expansões decimais...
Limites...
Os números reais
Séc. XIX
Definição axiomática
ℝ é 'o' corpo ordenado e completo
existe um único a menos de isomorfismo*
axioma do supremo
* Em lógica de 2ª ordem. De facto, é possível formalizar esta axiomática em
lógica de 1ª ordem, mas com uma interpretação semântica diferente do habitual
– existe então um modelo numerável para ℝ ! (o qual contém a sua própria
cópia interna de ℕ , sendo não numerável em relação a ela).
Os números reais
Séc. XIX
Definição construtiva (standard)
ℕ
ℤ, ℚ
ℝ
ℝ
∅ , {∅},{∅ ,{∅}}, ...
relações de equivalência
cortes de Dedekind, sucessões de Cauchy...
conjunto de conjuntos de racionais, que são conjuntos
de pares ordenados de inteiros, que são conjuntos de
pares ordenados de naturais, cada um dos quais é o
conjunto dos naturais anteriores a ele.
Uma questão de fundamentos...
Existe um conjunto de números reais não
numerável que não contém um conjunto perfeito?
ZF + axioma da escolha: Sim
ZF + axioma da determinação: Não
ZF:
(?)
Assim de repente...
?!
Ou existe ou não existe!!
Uma (tentativa de) explicação
Infelizmente, ZF não contém todas as respostas.
(nem pode haver um sistema de axiomas que as contenha...)
Os seus axiomas garantem a existência, ou não-existência,
de certos conjuntos, mas outros estão condenados a ficar no
“limbo da existência” até ao acrescento de novos axiomas.
Face a uma questão ainda “não definida”, escolher “sim” ou
“não” corresponde a um desdobramento em duas “alternativas
paralelas” mas igualmente consistentes.
Talvez elas correspondam a duas realidades diferentes, ambas de seu
direito... (pensar em geometria euclidiana/hiperbólica.)
Uma (tentativa de) explicação
Mas qual a diferença precisa entre um ℝ e outro?
O axioma da escolha funciona como uma ferramenta que
permite “agarrar” conjuntos de que outra forma não estariam
acessíveis e trazê-los à “existência de facto”.
No sentido contrário, o axioma da determinação serve para
limitar o tipo de conjuntos que podem existir.
… com um ou outro...
ℝ tem mais ou menos subconjuntos...
?
O que quer isto dizer sobre a
natureza dos objetos matemáticos?
Visão platónica: existe de facto uma “verdade matemática”;
cada afirmação é verdadeira ou falsa, sendo a função do
matemático determinar quais os axiomas “verdadeiros”.
"The Axiom of Choice is obviously true, the well-ordering principle
obviously false, and who can tell about Zorn's lemma?" — Jerry Bona
Visão formalista: a matemática não é mais que um jogo
formal em que se podem fazer escolhas arbitrárias (desde
que consistentes) sem relação com a realidade.
Um caminho do meio...
“objeto mental” que se pretende modelar,
o qual presumivelmente capta uma
“estrutura fundamental” do mundo
abstração das suas características
essenciais (axiomatização)
concretização da sua existência através da
construção de um “objeto matemático”
que satisfaz a axiomatização
Conhecer um número real?
0
1
12 = 22 × 3 = 1100(2)
π = 3.14159... = área do círculo unitário
e = 2.71828... = lim n→∞ (1+1/ n)
n
√5
0.1248163264128...
Ter uma “definição” ou “representação” que
aponta para aquele e só aquele número real (?)
Ser “trabalhável”, ter muitas propriedades
conhecidas, aparecer em contextos “naturais” (?)
Conhecer um número real?
Podermos calcular a sua expansão decimal (?)
Considere-se
x=0 . a1 a 2 a 3 a 4 ...
onde
an
é definido por
√
(i) 0
se n não tem 100 dígitos seguidos iguais na
sua expansão decimal
(ii) d
se d é o primeiro dígito que aparece 100 vezes
seguidas na expansão decimal de √ n
Expansões decimais e funções reais
Uma função real que envia qualquer intervalo em
Dado
x=0 . a1 a 2 a 3 a 4 ... ,
ℝ
definimos
(i) se
0.a 1 a 3 a5 ...
(ii) se
0.a 1 a 3 a5 ... é racional, ie, a sequência é periódica a
partir de algum
é irracional,
a 2k−1,
f ( x)=0
f ( x)=0.a 2k a 2k+2 a 2k +4 ...