Observação sobre conjuntos
Definição 1. Operação com conjuntos
• União: x ∈ A ∪ B ⇐⇒ x ∈ A ou x ∈ B.
• Intersecção: x ∈ A ∩ B ⇐⇒ x ∈ A e x ∈ B
• Subconjunto: A ⊂ B ⇐⇒ (x ∈ A =⇒ x ∈ B)
• Coincidentes (iguais): A = B ⇐⇒ (A ⊂ B e B ⊂ A)


x + y
P
será interpretado como “P e Q”, como no caso de
Observação:
x − y
Q
“ou”, terá que colocar explicitamente o termo “ou”.
=1
. Se for
=1
Axiomas da incidência
Axioma 2. Dados dois pontos distintos, existe uma única reta que os contém.
Axioma 3. Toda reta possui pelo menos dois pontos distintos.
Definição 4. Os pontos são ditos colineares quando existe uma reta que os contém.
Axioma 5. Existem pelo menos três pontos não colineares.
Axiomas da ordem e separação do plano
Um ponto B está entre A e C, que denotaremos neste texto como A ∗ B ∗ C, satisfazem os
seguintes axiomas
Axioma 6. A ∗ B ∗ C então A, B e C são colineares, distintos e C ∗ B ∗ A.
Axioma 7. Dados três pontos colineares e distintos, um e apenas um está entre outros dois.
Axioma 8. Dados dois pontos A e C, existem pontos B e D tais que A ∗ B ∗ C e A ∗ C ∗ D.
Definição 9. Um segmento AB é o conjunto de todos os pontos que está entre A e B (interior
do segmento), unido com A e B (extremo do segmento).
Definição 10. Um conjunto é denominado convexo se, para todo ponto X, Y do conjunto, o
segmento XY está contido no conjunto.
Axioma 11 (separação do plano). Toda reta determina exatamente dois semi-planos (convexos), cuja intersecção é a própria reta.
Pontos é dito estar no mesmo lado quando estão no mesmo semi-plano, isto é, quando pode
ser ligado com um segmento contido no semi-plano.
Teorema 12. Se A ∗ B ∗ C e A ∗ C ∗ D então B ∗ C ∗ D e A ∗ B ∗ D.
Definição 13. Dado dois pontos distintos A e B, definimos a semi-reta SAB (com origem em
A e no lado de B) como união do segmento AB com o conjunto dos pontos C tal que A ∗ B ∗ C
(conjunto de todos os pontos C tal que A ∗ C ∗ B ou A ∗ B ∗ C, unido com os pontos A e B).
Teorema 14 (separação da reta). Todo ponto da reta determina exatamente duas semi-retas
cuja intersecção é o próprio ponto que é a origem das semi-retas.
Axioma da distância
Axioma 15 (existência da distância). Todo par de pontos é associado a um único número real
não negativo denominado de distância.
Definição 16. Medida do segmento AB é a distância entre os pontos A e B e será denotado
por AB.
Axioma 17. Se A ∗ B ∗ C então AC = AB + BC.
Axioma 18 (axioma da régua ou continuidade). Existe uma correspondência biunívoca entre os
pontos da reta e os números reais de forma que o valor absoluto da diferênça entre os números
associados é a distância entre os pontos correspondentes.
Proposição 19 (distância nula). A distância entre dois pontos é nula se, e somente se, dois
pontos são coincidentes.
Teorema 20 (princípio da continuidade elementar). Um segmento que liga os pontos dentro e
ponto fora do círculo intercepta o círculo em um único ponto.
Teorema 21 (princípio da continuidade circular). Um arco circular que liga os pontos dentro
e ponto fora de um círculo intercepta o círculo em um único ponto.
Teorema 22 (desigualdade triangular). AC ≤ AB + BC. Se A, B e C forem distintos, a
igualdade ocorre se, e somente se, A ∗ B ∗ C.
Axioma dos ângulos
Axioma 23 (existência da medida do ângulos). Todo ângulo é associado a um único número
real não negativo denominado de medidas do ângulo.
b temos AOC
b = AOB
b + B OC.
b
Axioma 24 (coerência). Se SOB divide o ângulo AOC,
Axioma 25 (transferidor). Dado um semi-palno, existe uma correspondência biunívoca entre o
conjunto das semi-retas de mesma origem que dividem o semi-plano e o conjunto dos números
reais em [0, 180] de forma que o valor absoluto da diferênça entre os números seja a medida do
ângulo entre as semi-retas correspondentes.
Proposição 26 (medida nula). A médida de um ângulo é nula se, e somente se, as semi-retas
que determinam forem coincidentes.
Definição 27. Dois ângulos são ditos:
• Suplementares quando a soma é 180◦ .
• Complementares quando soma é 90◦ .
• Adjacentes quando tem um lado em comum.
Congruências
Definição 28. Os triângulos são ditos congruentes quando todos os lados e os ângulos correspondêntes são congruentes.
b = DEF
b e BC = EF
Axioma 29 (LAL). Sejam 4ABC e 4DEF com AB = DE, ABC
então os dois triângulos são congruentes.
b = F DE,
b
b = DEF
b
Teorema 30 (ALA). Sejam 4ABC e 4DEF com C AB
AB = DE, ABC
então os dois triângulos são congruentes.
Teorema 31 (LLL). Sejam 4ABC e 4DEF , AB = DE, BC = EF e AC = DF então os
dois triângulos são congruentes.