Análise de Dados e Probabilidade Caderno de Exercícios VIII – Distribuições de Probabilidade 70. a) Comecemos por calcular a probabilidade associada aos valores que Y pode assumir: 𝑃𝑃(𝑌𝑌 = 1) = 𝑃𝑃(𝑌𝑌 = 2) = 1 10 1 9 1 × = 10 9 10 Onde a probabilidade acima foi obtida como P(Y=2) = P(bola preta não sair na primeira extracção) X P(bola preta sair na segunda extracção|bola preta não saiu na primeira extracção) = 9/10 X 1/9 = 1/10. Seguindo a mesma lógica, obtemos: 𝑃𝑃(𝑌𝑌 = 3) = 1 9 8 1 × × = 10 9 8 10 𝑃𝑃(𝑌𝑌 = 4) = 1 9 8 7 1 × × × = 10 9 8 7 10 e É fácil de ver que todas a probabilidades serão iguais a 1/10. As diferentes ordens de saída são equiprováveis. A função de probabilidade é então dada por: 1 𝑓𝑓(𝑦𝑦) = �10 , 0, 𝑦𝑦 ∈ {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} 𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 Uma vez que todos os eventos possíveis são equiprováveis, a função segue uma distribuição uniforme. b) 10 10 y=1 y=1 1 1 1 + 10 1 ×y= �y = × = 5,5 E[Y] = � f(y) × y = � 10 10 2 10 y Série aritmética Em alternativa, poderíamos usar directamente a expressão do valor esperado da distribuição uniforme, E(Y) = i+j , 2 onde i = 1 e j = 10. 2 2 10 Var(Y) = � f(y) × y − E[Y] = � y = (… ) = 8,25 y=1 1 1 2 (1 + 22 + 32 + ⋯ + 102 ) − 5,52 × y 2 − 5,52 = 10 10 Tal como no caso do valor esperado, poderíamos recorrer directamente à expressão da variância da distribuição uniforme: Var(Y) = 71. (j+i−1)2 −1 12 . a) A variável X representa uma experiência feita uma única vez e que pode assumir dois resultados possíveis com uma dada probabilidade de sucesso. Segue, portanto, uma distribuição de Bernoulli, 1 2 𝑋𝑋~𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵 �𝑝𝑝 = �, com a seguinte função de probabilidade: 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 1 , 2 �1 , 2 0, 𝑥𝑥 = 1 . 𝑥𝑥 = 0 𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 A distribuições de Bernoulli possuem valor esperado E[X] = p e variância Var(X) = p × (1 − p): 1 2 1 2 1 2 E[X] = ∑x f(x) × x = × 1 + × 0 = = p, 1 1 2 1 1 Var(X) = � f(x) × x 2 − E[X]2 = × 12 + × 02 − � � = = p × (1 − p). 2 2 4 2 x