Caos
Aula 03
Século XX e o rompimento de
paradigmas
• Segundo Lorenz a ciência do século XX
será lembrada apenas por:
– Relatividade (Eliminou a ilusão Newtoniana
de espaço-tempo absoluto)
– Mecânica quântica (sonho de Newton de um
processo controlável de mensuração)
– CAOS (eliminou a fantasia Laplaciana de
previsibilidade determinística)
Determinismo
• “Igreja Newtoniana dos últimos dias”
– “Dado um conhecimento aproximado das condições
iniciais e um entendimento da lei natural, pode-se
calcular o comportamento aproximado desse
sistema” (J.G. p.12)
– Há uma convergência na forma com que as coisas
funcionam
– “influências arbitrariamente pequenas não crescem a
ponto de ter efeitos arbitrariamente grandes.”
(winfree, apud JG. p.13)
– Ex.: cometa Halley, Economia, meteorologia, etc.
Edward Lorentz
1917-2008
• Matemático (geminiano) que foi
obrigado a trabalhar com
meteorologia na força aérea da 2ª
guerra.
O modelo de Lorenz
• Naquela época praticamente todos os
cientistas sérios desconfiavam dos
computadores.
• Exemplo do uso de computadores em
empresas.
• Os modelos computacionais eram
trabalhos bastardos da ciência.
Edward Lorentz
• Em 1960, cria um sistema
atmosférico de brinquedo.
• 12 equações fundamentais
• Usou o fantástico Royal McBee!!!
1917-2008
O modelo de Lorenz
• Meteorologia era:
• Intuição e
• Estatísticas
– A temperatura média de salvador é de 22º
– O número médio de dias chuvosos em Riad,
na Arábia saudita é de 10 por ano.
• Lorenz queria mais!
Início do Caos
• No inverno de 1961 Lorenz vê o CAOS
• Cópia dos parâmetros finais como
parâmetros de entrada.
• A saída tinha uma precisão de 3 casas e a
variável de 6 casas decimais.
0.506127  0.506
Início do Caos
• Resultado
• Lorenz pensou “queimou uma válvula” meleca!
Caos
• Depois percebeu que se tratava de uma
mudança profunda no atual paradigma de
previsão meteorológica.
• Meleca! A previsão a longo prazo está
condenada!
• “Certamente, de qualquer modo não
vínhamos tendo muito sucesso nisso, e
agora tínhamos a desculpa” (Lorenz, apud J.G. p.15)
Sensibilidade às condições
iniciais
• Henri Poincaré final do século IX
• Lorenz redescobre o conceito,
desde uma perspectiva
computacional.
1854 – 1912
Caos Determinístico
• Sabemos que trajetórias no espaço de fase não
podem se cruzar, pois sendo assim a dinâmica
do fenômeno teria, para um mesmo estado,
mais do que uma possibilidade de evolução,
rompendo assim o determinismo. Com três ou
mais variáveis dinâmicas (Ex.: pêndulo
atenuado e forçado) são possíveis trajetórias
complicadas que não se interceptam. Elas
estão incluídas na classe de movimentos
caóticos denominada caos determinístico.
Caos Determinístico
• Simples gerando o
complexo
– em sistemas complexos
que apresentem
comportamento caótico,
pequenas variações
nas condições iniciais
levam a variações
exponenciais em suas
trajetórias
Caos Determinístico
• Indeterminismo
– A impossibilidade em
conhecermos, com infinita
precisão as condições
inicias faz com que as
trajetórias dinâmicas do
sistema sejam
indeterminadas. A isso
chamamos de
indeterminismo.
Caos Determinístico
• Definição
– mesmo sendo as leis perfeitamente
conhecidas a nossa ignorância sobre o
sistema não nos permite prever suas
trajetórias.
• Exemplo:
– Pêndulo atenuado e forçado, Mapa logístico
• Porta grande e natural para o Caos
determinístico são as equações diferenciais.
• Repetição de operações simples mais não
lineares, “principio de organização fundamental
da Natureza”.
– a interação matematicamente mais simples de
funções não lineares nos permite uma entrada mais
rápida no contexto da teoria, de fato, com apenas
uma variável isso é possível, como é o caso do mapa
logístico.
Mapa logístico
X t 1  X t (1  X t )
X t  0,1;
1    4,
1804 – 1849
• Usada em 1845 por P.F. Verhulst para modelar o
desenvolvimento de uma população pilífera cujas
gerações não se sobrepõem. Em seu modelo Xt
representava a densidade populacional no tempo
t. O parâmetro  está associado às taxas de
nascimento e óbito da população .
Mapa logístico
dX
 X (1  X )
dt
• Modelo mais simples que se tem para o
crescimento limitado de populações biológicas.
Mas o que ela nos ensina é que uma equação
bastante simples pode apresentar soluções
bastante complicadas.
• Montar planilha de cálculo
Mapa logístico
• Podemos estudar o mapa logístico
assumindo a função:
f  ( X )  X (1  X )  X  X
0.8
=1
=2
=3
0.7
0.6
f(X)
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0.0
0.0
0.2
0.4
0.6
X
0.8
1.0
2
Mapa logístico
f(X)
0.10
0.18
0.18
0.30
0.30
0.42
0.42
0.49
0.49
0.50
0.50
0.50
0.50
0.50
0.50
0.50
0.50
0.50
0.5
0.4
0.3
f(X)
X
0.2
0.1
0.0
0.0
0.2
0.4
0.6
X
0.8
1.0
Mapa logístico
• Para qualquer valor inicial X0 com 0 < X0 < 1, os Xt
convertem para um ponto fixo X* ou ATRATOR
• O intervalo ]0,1[ define uma BACIA DE ATRAÇÃO para
o ponto fixo X*, que no nosso exemplo é ESTÁVEL
sempre que
f '(X * )  2    1
ou
1   3
• Para valores de >1 e X0 < 0 ou X0 > 1 é fácil se
verificar graficamente que Xt  -. Estes pontos são
denominados de pontos REPULSORES
Mapa logístico

X*
•Para =3.5699456 temos infinitas
bifurcações CAOS
•JANELAS DO CAOS
•Próximo às bifurcações o sistema se
torna SENSÍVEL ÀS CONDIÇÕES
INICIAIS
Expoente de Lyapunov
• Podemos definir
f (1) ( X )  f  ( X );
f ( 2) ( X )  f  ( f  ( X ))...
• Representa a densidade populacional após n iterações.
• Dada uma condição inicial separada de  podemos
definir a distância que separa o sistema por:
d n  f ( n ) ( X o   )  f ( n ) ( X o )
• Para fenômenos caóticos essa distância aumenta
exponencialmente na forma
n
dn   e
• Onde  é o EXPOENTE DE LYAPUNOV
Expoente de Lyapunov
• Para <0 temos que a função exibe ciclos de período
finitos. No exemplo do mapa logístico são representados
pelos pontos em que <3 e nas janelas do caos.
• Para =0 são os pontos de bifurcação.
• Para >0 temos que a função exibe ciclos de período
infinitos (aperiódico), ou seja, CAOS. Os pontos iniciais
Xo com este expoente são denominados de ATRATOR
ESTRANHO ou CAÓTICO.
f(X)
ATRATOR ESTRANHO
1.1
1.0
0.9
0.8
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0.0
-0.1
0.0
0.2
0.4
0.6
X
0.8
1.0
Expoente de Lyapunov
Ver prática com o mapa logístico no excel!
Expoente de Lyapunov
Não é necessário termos a função para se
calcular o expoente. Podemos usar a
derivada discreta da função:
1
h  lim
N  N
Wolf et al (1985)
N 1
 ln f
n 0
'
( xi )