Método de diferenças finitas para
problemas lineares
• Problema linear de valores de contorno de
segunda ordem, y´´ = p(x)y´+ q(x)y + r(x), com x
entre a e b, y(a) =  e y(b) = 
• Seleciona N>0
• Divide [a,b] em (N+1) subintervalos iguais
• xi = a+ih, para i = 0,1,...,N+1 e h = (b-a)/(n+1)
• No interior da malha:
y´´(xi) = p(xi)y´(xi) + q(xi) y(xi) + r(xi),
i = 1,2,...,N
• Calculando y(xi+1) e y(xi-1) pela série de Taylor,
somando essas equações e fazendo uma simples
manipulação algébrica obtem-se:
y´´(xi) = 1/h2[y(xi+1) - 2y(xi) + y(xi-1)] - h2 /24
[y(4)(+) + y(4)(-)]
• Usando o teorema do valor intermediário:
y´´(xi) = 1/h2[y(xi+1) - 2y(xi) + y(xi-1)] h2/12[y(4)(i)], chamada de fórmula centrada de
y´´(xi)
• A fórmula centrada para y´(xi), obtida de maneira
semelhante é:
y´(xi) = 1/2h[y(xi+1) - y(xi-1)] - h2/6(y´´´(i)
• Substituindo y´´(xi) e y´(xi) na equação original
temos:
y(xi+1) - 2y(xi) + y(xi-1)/h2 = p(xi)[y(xi+1) - y(xi1)/2h] + q(xi)y(xi) + r(xi) - h2/12[2p(xi)y´´´(i) y(4)(i)]
• juntando as condições de contorno:
w0 =  e wn+1 = , e
[(2wi - wi+1 - wi-1)/h2] + p(xi)[(wi+1 - wi-1)/2h] +
q(xi)wi = -r(xi), para i = 1,2,...,N
• Reescrevendo a equação anterior
-(1+h/2p(xi))wi-1 + (2 + h2q(xi))wi - (1h/2p(xi))wi+1 = -h2r(xi)
resultando em um sistema de equações da forma
Aw = b
Teorema 11.3
• Supondo p, q e r continuas em [a,b], se q(x) >= 0
então o sistema trigonal tem uma única solução
em h < 2/L onde L = maxa<=x<=b|p(x)|
Equação diferencial parcial elíptica
• Equação de Poisson:
2 u(x,y)  2u/x2(x,y) + 2u/ y2(x,y) = f(x,y),
para (x,y)  R
u(x,y) = g(x,y) para (x,y)  S
onde R = {(x,y)|a<x<b, c<y<d} e S denota o
contorno de R
• Método usado é uma adaptação do método de
diferenças finitas
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Escolha inteiros n e m
Defina h e k em que:
h = (b-a)/n
k = (d-c)/m
Coordenadas (xi,yi):
xi = a + ih, para i = 0,1,...,n
yj = c + jk, para j = 0,1,...,m
• Linhas x=xi e y=yi são linhas de grade
• Suas intersecções são pontos de junção da grade
• Usando as fórmulas centradas de 2u/x2(xi,yj) e
2u/y2 (xi,yj) e as condições de contorno na
equação de Poisson, obtemos a método centrado
com erro da ordem de O(h2 + k2)
2[(h/k)2 + 1]wi,j – (wi-1,j + wi-1,j) – (h/k)2(wi,j + wi,j2f(x ,y ), para valores dentro de R
)
=
-h
1
i j
• Para os contornos:
w0,j = g(x0,yj), wn,j = g(xn,yj), para j = 0,1,...,m
wi,0 = g(xi,y0), wi,m = g(xi,ym), para i = 1,2,...,n-1
Localização dos pontos em forma de estrela
• Se usarmos condições de contorno apropriadas
teremos um sistema linear (n-1)(m-1) por (n-1)(m1) com aproximações não conhecidas wi,j para
u(xi,yj)
• Renomeando os pontos:
Pl = (xi,yj) e wl = wi,j
onde l = i + (m-1-j)(n-1) para i = 1,2,...,n-1 e j =
1,2,...,m-1
Grade com pontos renomeados