UNESP – Universidade Estadual Paulista
Campus de Rio Claro
MODELOS EM HIDROGEOLOGIA
Disciplina: Hidrogeologia
2010
O QUE É UM MODELO ?
“Modelo é uma ferramenta desenvolvida para
representar uma versão simplificada da realidade.”
WANG & ANDERSON (1982)
MODELOS
A principal motivação para a utilização de modelos
matemáticos é realizar previsão de certos fenômenos.
MODELO
REALIDADE
PREVISÃO
?
MODELOS
Qual a necessidade de se fazer previsões em
Hidrogeologia?
Rebaixamento do lençol freático em minas
Migração de contaminantes em água subterrâneas
Elevação da potenciometria após a construção de
barragens
Impacto gerado pela explotação de aquíferos para
abastecimento
MODELOS
Previsão do impacto na potenciometria induzida pela explotação excessiva
de aquíferos
2010-2020
Circle areas
proportional to
pumping rate
(cubic ft/day)
100,000
Water Levels in the Sandstone Aquifer
(feet above sea level)
Well Locations and Pumping Rates
2010-2020
Shallow
Deep
MODELOS
Previsão do impacto na potenciometria induzida pela explotação excessiva
de aquíferos
MODELOS
Previsão de migração de plumas de contaminantes
MODELOS
Previsão de migração de plumas de contaminantes
TIPOS DE MODELOS
 Modelos físicos
 Modelos analógicos
 Modelos matemáticos
MODELOS
O modelo físico ou modelo reduzido constitui a
representação em escala laboratorial dos processos
estudados.
Normalmente este tipo de modelagem física é utilizado
auxiliar no entendimento de fenômenos complexos e
complementar os resultados dos modelos matemáticos.
Possuem a vantagem de serem realizados através de
experimentos controlados em laboratório.
Modelos físicos
Fonte: http://www.wvca.us/education/groundwater_model/groundwater_model.jpg
Modelos físicos
Modelos analógicos
Tais modelos consistem na representação de certos fenômenos a
partir de outros em menor escala, por analogia com as leis físicas
que regem estes fenômenos (WANG & ANDERSON, 1982).
Diversos fenômenos na natureza obedecem o mesmo princípio físico
e, são portanto, matematicamente idênticos.
Lei de Darcy
Q   KA
dh
dl
Lei de Ohm
I  A
dV
dl
Lei de Fourrier
dT
Q   KA
dl
Em virtude da existência de uma analogia matemática e física entre as
leis de Ohm e Darcy, circuitos elétricos foram empregados no passado
para representar e simular explotação de aquíferos.
Modelos analógicos
A existência de similaridades nas formulações
matemáticas que descrevem o fluxo de corrente
elétrica (Lei de Ohm) com aquelas que descrevem o
fluxo de água subterrânea (Lei de Darcy) permitiu
que o primeiro fenômeno fosse utilizado para a
simulação do segundo.
Modelos analógicos
Conjunto de
resistores e
capacitores
elétricos
representando
um aquífero.
http://www.sws.uiuc.edu/hilites/achieve/gwmodded.asp
Modelos analógicos
http://www.sws.uiuc.edu/hilites/achieve/gwmodded.asp
Modelos Matemáticos
 Soluções analíticas
 Soluções por aproximação numérica
Tipos:
Diferenças finitas
Elementos finitos
Volumes finitos
Elementos de contorno
Elementos analíticos
Modelos Matemáticos
Os modelos matemáticos são representados por um conjunto
de expressões matemáticas compostas pelos seguintes
elementos:
Equações Governantes
Condições de contorno e iniciais
Equações Governantes
As Equações Governantes representam a estrutura básica dos Modelos
Matemáticos, constituindo representações matemáticas que descrevem
um fenômeno físico, tais como fluxo de corrente elétrica, fluxo
térmico, propagação de deformação em mecânica e fluxo de água
subterrânea (WANG e ANDERSON, 1982).
Patankar (1980) define as equações governantes como equações
diferenciais parciais que satisfazem um princípio de conservação.
Diante deste princípio, as formulações de um modelo matemático, em
essência, trabalham com balanço de massa ou energia.
Equações Governantes
Para Wang & Anderson (1982), a equação governante que representa o
fluxo de água subterrânea, em sua forma analítica, é derivado da
combinação da Lei de Darcy com a conservação de massa, como
expresso abaixo:
 
 h  
 h  
 h
dh
 K xx
   K yy
   K zz
  W  Ss
x 
x  y 
y  z 
z 
dt
Onde:
Ss é o armazenamento especifico
W é a recarga
Lei de Darcy:
h
q x  K xx
x
h
q y  K yy
y
h
q z  K zz
z
Condições de contorno
Presentes nas fronteiras do Modelo, as condições de contorno
são elementos físicos que representam a interação entre os
processos no interior do modelo e sua parte externa.
A princípio, um modelo pode possuir um número infinito de
soluções. As condições de contorno direcionam as simulações
para a solução única do modelo.
Condições de contorno
As condições de contorno podem ser agrupadas em 3
tipos:
Condição de primeiro tipo
Condição de segundo tipo
Condição de terceiro tipo
Condições de primeiro tipo
Tipo I - Contorno de carga hidráulica especificada ou carga hidráulica
constante (condição de Dirichlet), que pode ser matematicamente
representado pela expressão:
h(x,y,z,t) = conhecido
Exemplos de condição de carga hidráulica especificada (primeiro tipo).
Condições de primeiro tipo
H = 10 m
Condições de segundo tipo
O fluxo especificado pode ser nulo ou não. A condição de fluxo
nulo é aplicável quando existe um contorno impermeável, uma linha
de simetria, uma linha de fluxo, ou seja, onde inexista fluxo
transversal a este contorno. É comum que se use este tipo de
condição de contorno em simulações de dimensões reduzidas,
situação onde não se conhece a extensão real do aquífero, sendo a
forma deste limite delineada a partir de uma linha de fluxo obtida a
partir da elaboração da potenciometria local.
Reilly et al (1987), exemplifica lagos e rios como tipos de
condições de contorno de fluxo especificado (não nulo), desde que
estes tenham sua interação com o aqüífero bem conhecida:
q = f(x,y,z,t)
onde:
dh (x,y,z,t) é a variação elementar tridimensional e temporal de carga hidráulica,
dn é a variação elementar de distância perpendicular à direção de fluxo.
Condições de segundo tipo
Condições de segundo tipo
 2h
0
2
y
 2h
0
2
y
Condições de terceiro tipo
Um exemplo comumente usado para este tipo de contorno é aquele
no qual existe uma camada semipermeável separando dois aqüíferos
ou um aqüífero e um corpo de água superficial. O fluxo que passa
deste corpo aquoso sobrejacente para o aqüífero, através da camada
semipermeável é expressa pela equação de Darcy:
dh
 ch  c
dn
Onde:
q é a o volume de água que atravessa a camada semipermeável em virtude da diferença de carga hidráulica,
K’ é a condutividade hidráulica da camada semiconfinada,
H’-h é a diferença de carga entre o aqüífero livre e o semiconfinado,
b’ é a espessura da camada semiconfinante
Condições de terceiro tipo
CONDIÇÃO SEMI-PERMEÁVEL OU DE TERCEIRO TIPO (CAUCHY)
Aquitardo separando sistemas hidrogeológicos adjacentes
Água superficial com camada semi-permeável
Área do modelo
Área do modelo
Condição modelo
Condições iniciais
As condições iniciais são componentes essenciais em
modelos transientes. A simulação em regime transiente
requer, no início da simulação, uma distribuição de carga
hidráulica, uma vez que os valores de cargas hidráulicas
calculadas em um determinado passo de tempo são
dependentes dos valores de carga hidráulica do passo
anterior.
Protocolos para Aplicação de Modelos Matemáticos
(PAMMs)
Etapas de modelagem numérica de fluxo
1) Compilação de informações de relevância;
Informações referentes a Geologia Regional e Local,
Geomorfologia, Climatologia, Dados de investigações
geológicas previamente existentes;
2) Elaboração de um Modelo Conceitual;
A segunda etapa é representada pela formulação de modelo
hidrogeológico conceitual (formulação teórica sobre a
Configuração do domínio), norteado pelo levantamento de
informações relevantes existentes do domínio a ser
simulado, tais como aquelas relacionadas aos aspectos
geológicos, propriedades hidráulicas e potenciometria da
área a ser simulada.
MODELO CONCEITUAL
SUPERFICICAL
Areia e conglomerado
(CAMADA 1)
Silte, argila
(Unidade semi-confinante)
LINCOLN PARK
MONTVILLE
FAIRFIELD
TROY HILLS
Areia e conglomerado
(CAMADA 2)
PARSIPPANY
Layer 1
CEDAR KNOLLS
EAST HANOVER
NORTHERN MILLBURN
FLORHAM PARK
CHATHAM
SLOUGH BROOK
CANOE BROOK
SOUTHERN MILLBURN
GREEN VILLAGE
LONG HILL
SUMMIT
OAKWOOD
Layer 2
Layer 3
ROCHA
(CAMADA 3)
Arenito, Siltito, Basalto
Etapas de modelagem numérica de fluxo
Modelo Conceitual
Siltitos da Fm.
Rio Claro
Diabásio
Sedimentos
aluvionares
3) Simulação numérica de fluxo
Stream –aquifer System
Land
Surface
Water
Table
River
Surface
Realidade
Streambed
Representation of Stream –aquifer System
Impermeable
Walls
River Stage
(HRIV)
Head in
Cell (h)
M
RBOT
W
Modelo
Etapas de modelagem numérica de fluxo
3) Simulação numérica de fluxo
Representação do Modelo conceitual em línguagem matemática,
no ambiente do software.
Etapas de modelagem numérica de fluxo
4) Calibração do Modelo
Ajustes nos parâmetros do modelo (condutividade
hidráulica, recarga, espessura do aquífero, descarga
no rio) até que exista uma correspondência em nível
satisfatório entre os os valores calculados pela
simulação e os valores reais de carga hidráulica,
vazão ou concentração.
Etapas de modelagem numérica de fluxo
3) Calibração
Resíduo Médio (M)
Variância do residuo (VAR)
Média absoluta do resíduo
(MA)
Raiz média do erro residual
quadrático (RMS)
1 N
M   (cali  obsi )
N 1
1 N
VAR 
[(cali  obsi )  M ]2

N 1 1
1 N
MA  [(cali  obsi )]1/ 2
N 1
2
1 N
RMS  [  (cali  obsi ) ]1/ 2
N 1
N
Coeficiente de correlação linear
® entre os valores de cargas
hidráulicas reais e calculadas
 (cal  cal)(obs  obs)
i
r
i
i 1
N
 (cali  cal)2
i 1
N
 (obs  obs)
i
2
i 1
cali é o valor de carga hidráulica calculada, obsi é o valor de carga hidráulica observada, é o
valor médio de carga hidráulica calculada, é o valor médio de carga hidráulica observada.
Etapas de modelagem numérica de fluxo
3) Calibração
Etapas de modelagem numérica de fluxo
6) Previsão
Se o modelo matemático representa com fidelidade
satisfatória a realidade, este pode ser empregado
para realizar previsões do comportamento do
aquífero ao longo do tempo.
Modelos matemáticos
Os Modelos analíticos fornecem valores exatos do
problema. Contudo pressupõe um meio isotrópico,
homogêneo, com geometrias simples do aquífero (retângulos,
elipses, quadrados).
Os Modelos numéricos fornecem valores aproximados do
problema. Contudo, possuem a vantagem de permitirem a
representação de meio heterogêneos, anisotrópicos e
geometrias complexas dos aquíferos.
Modelos Matemáticos
 Soluções analíticas
 Soluções por aproximação numérica
Tipos:





Diferenças finitas
Elementos finitos
Volumes finitos
Elementos de contorno
Elementos analíticos
Modelos matemáticos
Solução analítica de Toth (1962):
cs 4cs  cos2m  1x / scosh2m  1y / s
h( x , y )  y0   2 
2  m0 2m  12 cosh2m  1y0 / s
Modelos numéricos - Discretização
(a)
x
( c)
y
Campo de
poços
Limite do
aquífero
b
x
y
Rio
Poço de
bombeamento
Poço de
observação
Nó de fonte/descarga
x
b Bloco de diferença
finita
y
(b)
(d)
b
x
Elemento finito
triangular
y
Nó de fonte/descarga
Nó de fonte/descarga
Figura 3.6. Representações de diferenças finitas e elementos finitos da região de um aquifero.
(a) Vista do mapa do aquifero mostrando o campo de poços, os poços de observação e seus limites.
(b) Grid de diferenças finitas com nós centrados no bloco, onde Dx é o espaçamento na direção x, Dy é o espaçamento na direção y,
e b é a espessura do aquifero.
(c) Grid de diferença finita com nós centrados na malha
(d) Malha de elementos finitos com elementos triangulares onde b é a espessura do aquifero
(Adaptado de MERCER & FAUST, 1980 apud WANG & ANDERSON, 1982).
Conceitos básicos em diferenças finitas
Considere a equação governante do fluxo de águas
subterrâneas no meio poroso:

 2h  
 2h  
 2h 
  K xx 2     K yy 2     K zz 2   0
x  
y  
z 

Se o meio é isotrópico, então Kxx = Kyy = Kzz e, deste
modo, podemos retirar os valores de condutividade
hidráulica da equação, o que reduz a expressão para a
Expressão Laplaciana.
 2h  2h  2h
 2  2 0
2
x
y
z
Conceitos básicos em diferenças finitas
Se simplificarmos o problema 3D para 2D:
 2h  2h  2h
 2  2 0
2
x
y
z
 2h  2h
 2 0
2
x
y
Podemos aproximar a equação de laplace através de
seu truncamento para equações algébrica simples.
h

2
x
2
hi 1, j  hi , j
x

hi , j  hi 1, j
x
x
 2 h hi 1, j  2hi , j  hi 1, j

2
x
x 2
Conceitos básicos em diferenças finitas
h
Dx
Dx
Dx
x
hi 1, j  hi , j hi , j  hi 1, j

 2h
x
x

x 2
x
 2 h hi 1, j  2hi , j  hi 1, j

2
x
x 2
Conceitos básicos em diferenças finitas
O mesmo tipo de aproximação é empregada na direção
Y:
 2 h hi , j 1  2hi , j  hi , j 1

2
y
y 2
Se o Dx = Dy, então, a equação de Laplace para o ponto
(i,j) simplifica para:
hi 1, j  hi 1, j  hi , j 1  hi , j 1  4hi , j  0
Conceitos básicos em diferenças finitas
A solução do problema através de métodos numéricos é
realizada através de métodos iterativos.
hi , j 
hi 1, j  hi 1, j  hi , j 1  hi , j 1
4
(i,j-1)
(i,j)
(i-1,j)
(i,j+1)
(i+1,j)
Modelos matemáticos
Solução numérica:
É considerado um
conjunto finito de
pontos em uma malha
regular.
Se localiza os pontos
(ou nós) mediante
suas coordenadas i,j
Conceitos básicos em diferenças finitas
Para i=2,j=2
h1,2  h3,2  h2 ,1  h2 ,3  4h2,2  0
Para i=2,j=3
h1,2  h1,3  h3,3  h2,2  4h2 ,3  0
Para i=3,j=2
h2 ,2  h4 ,2  h3,1  h3,3  4h3,2  0
Para i=3,j=3
h2,3  h4,3  h3,2  h3,4  4h3,3  0
Métodos iterativos
A solução do problema através de métodos numéricos é
realizada através de métodos iterativos.
Os métodos iterativos fazem aproximações sucessivas
até que exista a convergência do modelo, isto é, até que
a diferença entre duas iterações sucessivas seja menor
que o critério de convergência.
Método iterativo de Jacobi
hi 1, j  hi 1, j  hi , j 1  hi , j 1
m
hi , j
m 1

m
m
m
4
Utilizando a equação acima, resolva o problema abaixo, utilizando o
método iterativo de Jacobi, empregando um critério de
convergência de 0,01.
15
15
15
15
15
?
?
15
15
?
?
15
15
15
15
15
Método iterativo de Jacobi
hi 1, j  hi 1, j  hi , j 1  hi , j 1
m
hi , j
m 1

m
m
4
7ª iteração
5ª
6ª
1ª
iteração
11ª
9ª
4ª
2ª
iteração
3ª
10ª
8ª
14,993
14,993
13,125
13,125
14,531
14,531
14,766
14,766
14,985
14,941
14,063
14,063
14,985
14,883
14,883
11,250
14,98
11,250
14,98
7,500 14,941
7,500
CC = 0,01
14,98
14,98
7,500 14,063
7,500
13,125
13,125
14,993
14,063
14,941
11,250
14,993
14,531
14,531
14,766
14,766
14,941
11,250
14,883
14,985
14,883
14,985
Resíduo 4
11,250
-7,500
8
14,941
-14,883
0,059
5
2
14,531
13,125
-14,063
-11,250
0,469
1,875
9
11
14,971
14,993
-14,941
-14,985
==0,938
0,030
0,007
6
7
14,766
14,883
-14,531
-14,766
0,234
0,117
Resíduo
1
7,5
– 0 -13,125
=
7,500==3,500
10====14,063
14,985
-14,971
0,015
8
15
15
15
7
15
15
13,125
11,250
14,766
14,993
14,883
14,531
14,980
14,063
14,941
7,500
14,985
11,250
14,993
14,883
13,125
14,531
14,766
14,980
14,941
14,063
14,985
7,500
15
Resíduo
6
5
4
3
15
13,125
11,250
14,993
14,531
14,766
14,941
14,063
14,980
7,500
14,883
14,985
13,125
11,250
14,993
14,883
14,531
14,941
14,766
14,063
14,980
7,500
14,985
15
2
1
15
15
15
15
0
1
2
3
4
5
6
7
8
Iteração
9
10
11
12
13
14
15
m
Método iterativo de Gauss-Siedel
Neste método, ao contrário do Jacobi, são usados dois
resultados já calculados dentro da iteração.
hi , j
m1

hi 1, j
m1
 hi 1, j
m 1
4
 hi , j 1  hi , j 1
m
m
Método iterativo de Gauss-Siedel
hi , j
m1

hi 1, j
m1
 hi 1, j
m 1
 hi , j 1  hi , j 1
m
m
4
5ª
3ª iteração
4ª
6ª
1ª
2ª
7ª
CC = 0,010
14,956
14,297 14,995
14,824
14,978
14,648
14,912
14,989
7,500
9,357
12,188
14,997
13,594
14,998
2
4,688
Máximo Resíduo 5
3
6 = 0,312
7
2,109
0,033
0,008
1
12,188
4
0,507
14,978
14,648 14,997
14,912
14,989
14,824
14,956
14,995
9,357
12,188
13,594
14,998
14,297
14,999
14
15
15
15
15
12,188
14,824
14,956
14,989
14,997
14,297
7,500
14,684
14,912
14,998
13,594
14,978
9,357
14,995
15
9,357
14,978
13,594
14,998
14,912
14,995
14,824
14,297
14,989
14,999
12,188
14,956
14,997
15
15
15
Resíduo máximo
12
10
8
6
4
2
0
1
15
15
15
15
2
3
4
5
Iteração
6
7
8
Método iterativo de SOR (Successive
Over Relaxation)
Neste método são empregados dois resultados já
calculados dentro da iteração e o resíduo é multiplicado
por fator de relaxação, w (valores entre 1 e 2), o que
promove a aceleração da convergência do modelo.
hi , j
m 1
 (1   )  
hi 1, j
m 1
 hi 1, j
m 1
4
 hi , j 1  hi , j 1
m
m
Método iterativo de SOR (Successive
Over Relaxation)
hi , j
m 1
 (1   )  
hi 1, j
m 1
 hi 1, j
m 1
 hi , j 1  hi , j 1
m
4
1ª
3ª
2ª iteração
5ª
4ª
w = 1,1
CC = 0,010
8,250 15,013
15,099
13,210
10,519
14,691
15,005
15,002
15,006
15,011
Máximo Resíduo 2
3
4 = 4,960
1,799
-0,033
1
5
14,035
-0,009
10,519 15,038
14,035
15,013
14,691
14,926
15,002
15,000
15,011
15,005
16
15
15
15
15
14
15
15
13,210
14,691
15,006
8,250 10,519
15,011
15,005
15,002
15,009
15,013
14,926
15,038
14,035
14,691
15,005
15,011
10,519 15,000
15,002
15,013
15
15
Resíduo Máximo
12
10
8
6
4
2
0
-2
15
15
15
15
1
2
2
3
3
Iteração
4
4
5
5
6
m
Diferenças Finitas
EXEMPLO
Suponha um hipotético aquífero aluvial,
delimitado lateralmente por rochas
impermeáveis do Embasamento
Cristalino. O aquífero recebe influxo de
água de um lago artificial a montante e
descarrega em um rio à jusante.
Calcule com o Excel, empregando
técnicas de Diferenças Finitas, a
distribuição de carga hidráulica entre o
rio e o lago, admitindo-se que o
aquífero seja homogêneo e isotrópico.
Diferenças Finitas
Diferenças Finitas
Células fictícias
hi , j  hi , j 1
hi , j 
Células fictícias
hi 1, j  hi 1, j  hi , j 1  hi , j 1
hi , j  hi , j 1
4
Diferenças Finitas
H
m
i, j

CC.(H

i, j
)  CE.(H i 1, j )  CW .(H i 1, j )  CS .(H i , j 1 )  CN .(H i , j 1 )  Wi , j
CE  CW  CS  CN  CC 








 1 
CE   2  2 Ki , j Ki 1, j  Ki , j  Ki 1, j 
 x 
 1 
CW   2  2 K i , j K i 1, j  K i , j  K i 1, j 
 x 
 1 
CS   2  2 Ki , j Ki , j 1  Ki , j  Ki , j 1 
 x 
 1 
CN   2  2 Ki , j Ki , j 1  Ki , j  Ki , j 1 
 x 
Wi , j 
Qi , j
xyHi. j

Diferenças Finitas