16.21 Técnicas de Projeto e Análise Estrutural
2º Trimestre de 2003
Unidade 9 – Cálculo de Variações
Seja u a configuração real de uma estrutura ou sistema mecânico. u satisfaz as
condições de contorno de deslocamento: u = u* em Su. Defina:
onde:
á: escalar
í: função arbitrária tal que v = 0 em Su
Iremos definir áí como äu, a primeira variação de u:
Esquematicamente:
1
Como primeira propriedade da primeira variação:
então podemos identificar
com a primeira variação da derivada de u:
Mas:
Concluímos que:
Considere uma função da seguinte forma:
Ela depende de uma variável independente x, outra função de x (u(x)) e sua
derivada (u’(x)). Considere a alteração em F, quando u (e assim, u’) é alterado:
expandindo em séries de Taylor:
Primeira variação total de F:
2
Observe que:
desde que:
avaliada em á = 0
Observe a analogia com o cálculo diferencial.
linearidade
As conclusões para F (x, u, u’) podem ser generalizadas a funções de diversas
variáveis independentes xi e funções
Iremos fazer uso constante das seguintes propriedades do operador variacional ä:
Conceito de funcional
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Primeira variação de um funcional:
Extremo de um funcional
“u0” é o mínimo de um funcional se:
Uma condição necessária para um funcional alcançar um extremo em “u0” é:
ou
Observe a analogia com o cálculo diferencial. Também há diferença, já que aqui
requeremos
em
Integre por partes o segundo termo, para eliminar äu’. .
Exija äu para satisfazer as condições homogêneas de contorno de deslocamento:
Então:
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que satisfaça as devidas condições de diferenciabilidade e as condições de contorno
homogêneas essenciais. Então:
Essas são as equações de Euler-Lagrange correspondentes ao problema variacional de se
encontrar um extremo do funcional I.
Condições de contorno naturais e essenciais Uma condição mais fraca em äu também
permite obter as equações de Euler, apenas precisamos de:
que é satisfeita se:
e
como
antes
e
e
e
ou
Condições de contorno essenciais:
Condições de contorno natural:
em
em S.
Exemplo: Derive a equação de Euler correspondente ao funcional de energia
potencial total Ð = U + V de uma barra elástica de comprimento L, módulo de Young E,
área de seção transversal A fixada em uma extremidade e sujeita à carga P na outra
extremidade.
Calcule a primeira variação:
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Integre por partes:
Definindo
Extensão a mais dimensões
Usando o teorema da divergência:
O extremo da funcional I é obtido quando äI = 0 ou quando:
e
em
em
As expressões nas caixas de texto são as equações de Euler-Lagrange correspondentes ao
problema variacional de se encontrar um extremo do funcional I.
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