Introdução ao Cálculo Variacional
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O Funcional da Energia Potencial Total em Vigas Submetidas à Flexão
¾ Energia Potencial Total ( Π ) é o trabalho realizado por todas as forças atuantes
quando a estrutura é movida de sua configuração com carga para uma posição
sem carregamento.
¾ Forças atuantes na estrutura: Cargas Externas e Esforços Internos.
¾ Energia Potencial dos Esforços Internos: Energia de Deformação (U ) .
∫
U = U 0 dV
V
onde U 0 é a energia de deformação específica.
¾ Energia Potencial das Cargas Externas (V ) : é o trabalho realizado pela força
atuante, quando movida da posição final de volta para a inicial.
V =−
∫∫∫ B
V
i
⋅ u i ⋅ dV −
∫∫ T ⋅ u
i
i
⋅ dS
S
onde Bi é força externa aplicada por unidade de volume;
Ti é força externa aplicada por unidade de área;
u i é o deslocamento realizado por cada uma das forças.
¾ Energia Potencial Total ( Π ) :
Π = U +V
¾ Flexão de vigas:
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Notas de Aula - Prof Luiz A. C. Moniz de Aragão Filho
σ x = E ⋅ ε x ; θ ≈ tgθ =
εx
∫
⇒ U0 =
εx
σ x dε x =
0

E ⋅ v ,, 2 

2

L
⇒U =
∫
0
∫
E ⋅ ε x ⋅ dε x =
0
∫∫
A

y dAdx =


2
L
∫
⇒ V = − q ⋅ v ⋅ dx
0
L
⇒Π =
 E ⋅ J ,, 2

v
− q ⋅ v dx
2

∫ 
0
L
∫
0
dv
; ε x = − y ⋅ v ,,
dx
E ⋅ ε 2x E ⋅ y 2 ,, 2
=
v dx
2
2
E ⋅ J ,, 2
v dx
2
Introdução ao Cálculo Variacional
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• Variação do Funcional de Energia Potencial da Flexão de Vigas
L
0
⇒ δ (1) Π =
L
∫
0

 E ⋅ J ,, 2
v
− q ⋅ v dx
2

∫ 
Π =
( )
∂
E ⋅ J ∂
,, 2
(q ⋅ v ) ⋅ δv dx
⋅ δv ,, −
 2 ⋅ ,, v
∂v
∂v


L
E ⋅ J

⇒ δ (1) Π = ∫ 
⋅ 2 ⋅ v ,, ⋅ δv ,, − q ⋅ δv dx
2

0 
(1)
L
[
]
⇒ δ Π = ∫ E ⋅ J ⋅ v ,, ⋅ δv ,, − q ⋅ δv ⋅ dx
0
Integrando por partes:
L
[
]
L
L
0
0
⇒ δ (1) Π = ∫ EJ ⋅ v ,, ⋅ δv ,, − q ⋅ δv ⋅ dx = ∫ EJ ⋅ v ,, ⋅ δv ,, dx − ∫ q ⋅ δv ⋅ dx =
0
, L
,,
= EJ ⋅ v ⋅ δv
o
,,
= EJ ⋅ v ⋅ δv
, L
o
L
L
∫
− EJ ⋅ v
,,,
∫
,
⋅ δv ⋅ dx − q ⋅ δv ⋅ dx =
0
0
− EJ ⋅ v
, L
,,,
⋅ δv
L
L
o
L
∫
+ EJ ⋅ v
L
iv
∫
⋅ δv ⋅ dx − q ⋅ δv ⋅ dx =
0
L
[
0
]
= EJ ⋅ v ⋅ δv − EJ ⋅ v ⋅ δv + ∫ EJ ⋅ v iv − q ⋅ δv ⋅ dx = 0
o
144444
2444443o 0
,,
, ,,
cond contorno
(a condição de estacionariedade do funcional leva a δΠ = 0 )
Condições de contorno naturais:
EJ ⋅ v ,, = −M
(momento fletor)
EJ ⋅ v ,,, = −Q
(força cortante)
Condições de contorno cinemáticas (geométricas):
δv = 0
(deslocamento vertical nulo no apoio)
δv , = 0
(rotação nula no apoio)
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Notas de Aula - Prof Luiz A. C. Moniz de Aragão Filho
Para a viga bi-apoiada:
EJ ⋅ v ,,
δv
L
o
L
0
=0
(momento fletor nulo nos apoios)
=0
(deslocamentos nulos nos apoios)
L
⇒
∫ [EJ ⋅ v
iv
]
− q ⋅ δv ⋅ dx = 0
0
A equação acima tem de ser válida quaisquer que sejam os valores de δv :
⇒ EJ ⋅ v iv − q = 0
que é a equação de equilíbrio da viga.
x2
Logo, para funcionais do tipo: I =
∫ F (x, y , y' , y' ' ,..., y )⋅ dx
n
x1
a equação de Euler-Lagrange é da forma:
∂F d  ∂F  d 2

+
−
∂y dx  ∂y'  dx 2
 ∂F 
dn

 + ... + (− 1)n
dx n
 ∂y' ' 
 ∂F

 ∂y n


=0


A solução da equação diferencial é da forma:
v (x ) =
q
x 4 + C1 x 3 + C 2 x 2 C 3 x + C 4
24 EJ
Sendo as condições de contorno geométricas:
v (0 ) = v (L ) = 0
E as condições de contorno naturais:
M (x = 0 ) = M (x = L ) = 0 ⇒ v ,, (0 ) = v ,, (L ) = 0
Obtém-se:
q
v (x ) =
24 EJ
3
 x  4
x
x
  − 2   + 
L 
L
 L 
Princípio da Energia Potencial Total Estacionária:
“Dentre
todos
os
campos
de
deslocamentos
cinematicamente
compatíveis
(admissíveis) num corpo solicitado por forças externas estaticamente compatíveis,
aquele que satisfaz ao equilíbrio, extremiza Π .”