LÓGICA MATEMÁTICA
IMPLICAÇÃO LÓGICA
Prof. Thiago Pereira Rique
<[email protected]
AGENDA
Definição de implicação lógica
 Propriedades da implicação lógica
 Exemplificação
 Tautologias e implicação lógica

DEFINIÇÃO DE IMPLICAÇÃO LÓGICA

Definição
Diz-se que uma proposição P(p, q, r, ...) implica
logicamente ou apenas implica uma proposição
Q(p, q, r, ...), se Q(p, q, r, ...) é verdadeira (V) todas as
vezes que P(p, q, r, ...) é verdadeira (V).
 P(p, q, r, ...) implica Q(p, q, r, ...)


P(p, q, r, ...) => Q(p, q, r, ...)
PROPRIEDADES DA IMPLICAÇÃO LÓGICA

Propriedade reflexiva (R)


P(p, q, r, ...) => P(p, q, r, ...)
Propriedade transitiva (T)
Se P(p, q, r, ...) => Q(p, q, r, ...) e
 Q(p, q, r, ...) => R(p, q, r, ...) então
 P(p, q, r, ...) => R(p, q, r, ...)

EXEMPLIFICAÇÃO

As tabelas-verdade das proposições:

p ˄ q, p ˅ q, p ↔ q
A proposição p ˄ q é verdadeira (V) somente na linha 1 e,
nesta linha, as proposições p ˅ q e p ↔ q também são
verdadeiras (V). Logo, p ˄ q => p ˅ q e p ˄ q => p ↔ q
 Regras de inferência
 p => p ˅ q e q => p ˅ q (Adição)
 p ˄ q => p e p ˄ q => q (Simplificação)


As tabelas-verdade das proposições:

p ↔ q, p → q, q → p
p ↔ q => p → q
 p ↔ q => q → p

EXEMPLIFICAÇÃO

Tabela-verdade da proposição (p ˅ q) ˄ ~p
(p ˅ q) ˄ ~p => q (Regra do silogismo disjuntivo)
 (p ˅ q) ˄ ~q => p


Tabela-verdade da proposição (p → q) ˄ p


(p → q) ˄ p => q (Regra Modus ponens)
As tabelas-verdade das proposições:
(p → q) ˄ ~q e ~p
 (p → q) ˄ ~q => ~p (Regra Modus tollens)
 ~p => p → q

TAUTOLOGIAS E IMPLICAÇÃO LÓGICA

Teorema


A proposição P(p, q, r, ...) implica a proposição Q(p, q,
r, ...), isto é, P(p, q, r, ...) => Q(p, q, r, ...) se e somente
se a condicional P(p, q, r, ...) → Q(p, q, r, ...) é
tautológica.
Corolário

Se P(p, q, r, ...) => Q(p, q, r, ...) então, também se tem:

P(P0, Q0, R0, ...) => Q(P0, Q0, R0, ...) quaisquer que sejam as
proposições P0, Q0, R0, ...
TAUTOLOGIAS E IMPLICAÇÃO LÓGICA

NOTA


Os símbolos → e => são distintos, pois o primeiro é
de operação lógica (aplicado, p. ex., às proposições
p e q para formar p → q), enquanto o segundo é de
relação (estabelece que a condicional P(p, q, r, ...) →
Q(p, q, r, ...) é tautológica)
Exemplos

A condicional (p → q) ˄ (q → r) → (p → r) é
tautológica. Logo, subsiste a implicação lógica

(p → q) ˄ (q → r) => p → r (Regra do silogismo
hipotético)
TAUTOLOGIAS E IMPLICAÇÃO LÓGICA

Exemplos

A condicional p ˄ ~p → q é tautológica (construir
tabela-verdade). Logo, subsiste a implicação lógica
p ˄ ~p => q
 Assim, de uma contradição p ˄ ~p se deduz qualquer
proposição q (Princípio da inconsistência)


A proposição (p ↔ q) ˄ p implica a proposição q, pois
a condicional (p ↔ q) ˄ p → q é tautológica
(construir tabela-verdade).

Portanto, simbolicamente: (p ↔ q) ˄ p => q