PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DO RIO GRANDE DO SUL
Faculdade de Matemática - Departamento de Matemática
Estruturas Algébricas
Respostas da Lista 2: Lógica das Proposições
9)
A proposição “todos os pelicanos comem peixe” pode ser escrita simbolicamente como
(x  A)( x é pelicano  x come peixe) ,
onde A representa o conjunto de todas as aves. Portanto, a proposição (a) e sua contrapositiva (d) são
verdadeiras. Não podemos, entretanto, garantir a veracidade ou falsidade das proposições (b) e (c) a partir da
veracidade da proposição dada.
10)
(a) 37 não é um número primo.
(b) Bruno não irá ou ele vai jogar.
(c) Nós não venceremos o primeiro jogo e nem o segundo.
(d) Não há sanduíches e não vou comer um cachorro-quente.
(e) Matemática não é muito legal ou computação não é fundamental.
(f)
Todas as pessoas têm acesso ao ensino de terceiro grau.
11)
(a) Sejam as proposições p: você vê manchas na sua frente e q: você está vendo um leopardo. O
raciocínio apresentado pode ser escrito como:
( p  q)  q  p .
Esta implicação é falsa, pois a proposição ( p  q )  q pode ser verdadeira com p falsa (ou seja, a
proposição que antecede o símbolo de implicação pode ser verdadeira sem que a proposição que
sucede o símbolo também o seja):
p
q
pq
( p  q) q
F
V
V
V
“Nada foi afirmado sobre quem vê um leopardo, apenas sobre quem vê manchas na frente.”
(b) Sejam as proposições p: a aula é monótona e q: os alunos dormem. O raciocínio apresentado pode ser
escrito como:
( p  q )  (~ p )  ~ q .
Esta implicação é falsa, pois a proposição
( p  q )  (~ p)  ~ q pode ser verdadeira com ~q falsa:
p
q
~p
~q
pq
( p  q )  (~ p )
F
V
V
F
V
V
“Nada foi afirmado sobre o que acontece quando a aula não é monótona.”
(c) Seja I o conjunto de todos os insetos e sejam as proposições p(x): x é cupim e q(x): x é atraído pelo
fogo. O raciocínio apresentado pode ser escrito como:
( x  I )( p(x)  q(x))  ( y  I tal que p(y) é F )  q(y) é F.
Esta implicação é falsa, pois a proposição que antecede o símbolo de implicação pode ser verdadeira
mesmo quando a proposição que o sucede for falsa, pois podemos ter: p(y) falsa, p( y)  q ( y)
verdadeira e q(y) verdadeira.
“Nada foi afirmado sobre os insetos que não são cupins, apenas sobre os cupins.”
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(d) Seja P o conjunto de todas as pessoas, seja x  P e sejam as proposições p: x anda debaixo de um
coqueiro, q: x terá sua cabeça rachada, provavelmente e r: x vai à Bahia. O raciocínio apresentado
pode ser escrito como:
( p  q )  (x  P )(r  p )  ( r  q ).
Esta implicação é verdadeira, pois se as proposições ( r  p ) e ( p  q ) são verdadeiras, então r
 p e p  q. Conseqüentemente, r  q e, portanto, a proposição r  q é verdadeira.
(e) Seja P o conjunto de todas as pessoas, seja B o subconjunto de P formado por todos os brasileiros e
sejam as proposições p(x): x é rico e q(x): x viaja muito. O raciocínio apresentado pode ser escrito
como:
( y  B tal que p(y) é V )  ( x  P )( p( x )  q( x ))  ( y  B tal que q(y) é V).
Esta implicação é verdadeira, pois se p(y) é verdadeira e p( y )  q( y ) é verdadeira, então q(y) só
pode ser verdadeira.
(f)
“Nada foi afirmado sobre quem não faz todos os exercícios, logo, as duas primeiras afirmações não
implicam a terceira.”
(a)
Não há uma mosca em sua sopa.
12)
(b) Nada se pode concluir.
(c) Lauro mentiu, Raul falou a verdade e Nestor mentiu.
13)
“Bruxas queimam, assim como madeira” é uma proposição verdadeira, pelo menos na Idade Média.
“Basta ver então se A é de madeira” não é uma conclusão correta, pois mesmo que a proposição “A é de
madeira” fosse verdadeira, poderia-se concluir daí apenas que A pode ser queimada; não se poderia concluir
que A é uma bruxa, visto que a recíproca de “se é bruxa então queima” não é verdadeira.
“Para isso não adianta tentar construir uma ponte com A porque existem pontes de pedra” é uma
conclusão correta, visto que com madeira podemos construir pontes, mas nem toda ponte é de madeira; ou
seja, a recíproca da proposição “se temos madeira então podemos construir uma ponte” é falsa.
Verificar se “A flutua como a madeira” não serve para concluir-se que A é de madeira, pois nem tudo que
flutua é de madeira. Se A não flutuasse poderia-se concluir apenas que A não é de madeira, pois se fosse
então flutuaria.
“Como patos também flutuam, basta ver se A pesa o mesmo que um pato”, também não é suficiente para
concluir-se que A é de madeira, visto que nem tudo que flutua é de madeira. Além disso, ter o mesmo peso de
um pato não é condição suficiente para flutuar-se.
http://www.pucrs.br/famat/demat/facin/estrualg.htm
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