Introdução à Lógica Matemática
• Disciplina fundamental sobre a qual se fundamenta a Matemática
• Uma linguagem matemática
Paradoxos
1)
Paradoxo do mentiroso
(A) “Esta frase é falsa”.
A sentença (A) é verdadeira (V) ou falsa (F).
Se a sentença (A) for V, então, pelo enunciado da própria frase, a sentença (A) é F.
Porém, isto é uma contradição.
Por outro lado, se a sentença (A) for F, então o que ela diz não é fato, o que significa
que, na realidade, a sentença é V.
Novamente, temos uma contradição e, portanto, um paradoxo.
2) Paradoxo do cartão (Jourdain)
Um lado do cartão tem a frase:
(A) A sentença do outro lado do cartão é verdadeira.
O outro lado do cartão tem a frase:
(B) A sentença do outro lado do cartão é falsa.
Se (A) é V, implica que (B) é V, portanto, (A) é F.
Se (A) é F, implica que (B) é F, portanto, (A) é V.
Sentenças (A), (B) são, ao mesmo tempo, V e F.
Problema:
auto-referência
Conclusão: linguagem coloquial não apropriada → necessidade de linguagens
formais.
Proposições
Proposições transmitem um pensamento de sentido completo, afirmam fatos.
1)
√2 é um número irracional.
2)
Machado de Assis escreveu A Divina Comédia.
3)
Um hexágono tem seis lados.
Regras Fundamentais de Lógica Matemática
1)
Princípio de não-contradição:
ao mesmo tempo.
uma proposição não pode ser verdadeira e falsa
2)
Princípio do terceiro excluído: toda a proposição ou é verdadeira ou é falsa.
Isto é, verifica-se sempre um destes casos e nunca um terceiro.
Consequência desses princípios: toda a proposição assume valor lógico
verdadeiro (V) ou falso (F).
Sentenças 1 e 3 possuem valor lógico V e a sentença 2 possui valor lógico F.
Tipos de Proposições
Proposição simples: aquela que não contém nenhuma outra proposição como parte.
Notação: letra minúscula romana do final do alfabeto; por exemplo, p, q, r, etc.
Proposição composta: formada pela combinação de duas ou mais proposições
simples.
Notação: letra maiúscula romana do final do alfabeto; por exemplo, P, Q, R etc.
Exemplo: P(p, r): O número 36 é um quadrado perfeito e o pentágono tem cinco
diagonais.
Valor lógico de P(p, r) é V, pois 36=6×6 ; e o número de diagonais do pentágono
5!
é dado por 2 ! 3 ! −5=10−5=5 .
Conectivos: são usados para forma novas proposições a partir de outras.
Ex.: e, ou, não, se … então, se e somente se
Conectivos: Notação
Símbolo
Significado
¬p / ~ p
não p
p∧q
peq
p∨q
p ou q
p→q
se p então q
p↔q
p se e somente se q
Tabela-verdade de conectivos:
Não...
p
¬p
V
F
F
V
...e...
...ou...
p
q
p∧q
p
q
p∨q
V
V
V
V
V
V
V
F
F
V
F
V
F
V
F
F
V
V
F
F
F
F
F
F
Se... então...
p
q
p→q
V
V
V
V
F
F
F
V
V
F
F
V
Outras locuções para p → q
1) p implica q (p acarreta q).
2) p é uma condição suficiente para q.
3) q é uma condição necessária para p.
Ex.: Se um SLIT é assintoticamente estável, então é BIBO estável.
(i)
[
] []
2 s3
−1 0
1
x u ⇒ G  s=
0 −2
1
 s1 s2
y=[1 1] x
x̊=
Assintoticamente estável
BIBO estável
(ii)
[
] []
1 0
0
x u
0 −2
1
y=[1 1] x
x̊=
G  s=
⇒
Não é assintoticamente estável
(iii)
[ ] []
x̊= 1 0 x 1 u
0 2
0
y=[1 1] x
BIBO estável
G  s=
⇒
Não é assintoticamente estável
1
s2
1
s−1
Não é BIBO estável
Jamais chegaremos à conclusão que o antecedente p é V e o consequente q é F.
Porém, q não implica p.
BIBO estável não implica assintoticamente estável.
No exemplo (ii), o sistema é BIBO estável, mas não é assintoticamente estável.
...se e somente se...
p
q
p↔q
V
V
V
V
F
F
F
V
F
F
F
V
Ex.: um SLIT controlável e observável é BIBO estável se e somente se (s.s.e.) é
assintoticamente estável (não há cancelamento de polos e zeros).
Equivalência Lógica
p∧q≡q∧ p
¬ ¬p  ≡ p
p q≡¬ p∨q
p
q
p→q
V
V
V
V
F
F
F
V
V
F
F
V
p
q
¬p
¬ p∨q
V
V
F
V
V
F
F
F
F
V
V
V
F
F
V
V
A proposição p q é equivalente à proposição ¬ p∨q .
Proposições equivalentes possuem a mesma tabela-verdade.
Lei de De Morgan
Para obter a negação de uma proposição composta, substitui-se todo
um ∧ , e vice-versa, e toda proposição simples p por ¬p.
¬ p∧q ≡¬ p∨¬q
(Leis de De Morgan)
¬ p∨q ≡¬ p∧¬q
Note que
p  q≡¬q  ¬ p .
DEMONSTRAÇÃO
p  q≡¬ p∨q≡q∨¬ p
r=¬q ; s=¬ p
q∨¬ p≡¬r∨s≡r  s
p  q≡¬q  ¬ p
(proposição contrapositiva)
∨ por
Prova de Implicações
Uma implicação é verdadeira quando a verdade do seu antecedente acarreta a verdade
do seu consequente.
Ex.: Considere a implicação:
“Se chove, então a rua está molhada”.
Observe que a implicação não afirma nem que está chovendo nem que a rua está
molhada, mas que existe uma certa relação de causa e efeito entre chover e a rua estar
molhada.
Quando sabemos que uma implicação é verdadeira, não podemos concluir que seu
antecedente é verdadeiro, nem que seu consequente é verdadeiro, mas que não
podemos considerar seu antecedente verdadeiro e seu consequente falso.
Essa análise da relação entre o antecedente e o consequente de uma implicação
verdadeira nos leva a considerar que para provar implicações, podemos utilizar o
seguinte método.
Método da Suposição
Para provar uma implicação “se p, então q”, é suficiente fazer o seguinte:
1) Supor que o antecedente p é verdadeiro;
2) Provar que o consequente q é verdadeiro, usando p como premissa (hipótese).
Ex.: Proposição:
P(p, q) = Se n é um número natural par, então n² é um número natural par.
Definição: seja n∈ℕ . Dizemos que n é par se existe um número natural k tal que
n = 2k.
Prova: p → q
Suponha que n é par.
Então, n = 2k, em que k ∈ℕ .
Desta forma, n 2=2 k 2 =2 .2 k 2=22 k 2  , em que 2 k 2 ∈ℕ .
Logo, n² é par e portanto P(p, q) é V.
Método da Contraposição
Para provar que p → q, basta fazer o seguinte:
1) Supor que a negação do consequente, ¬q, é verdadeira;
2) provar que a negação do antecedente, ¬p, é verdadeira, usando ¬q como
premissa
( pq
≡ ¬q  ¬ p )
Ex.: Seja x um número natural qualquer.
P(p, q) = Se x² é par, então x é par.
Prova: x não é par → x² não é par.
Supondo que x é ímpar, temos que x = 2n + 1, n∈ℕ .
Logo,
2
2
2
2
2
x = 2 n+ 1  =4n 4 n+ 1=2  2n 2n  1 , 2n 2n∈ℕ .
Assim, x² é impar, ou seja, x² não é par.
Tautologia (t): é uma proposição que é sempre verdadeira independentemente dos
valores-verdade das afirmações que compõem a proposição.
Exs.: p → p, (¬ ¬ p) ↔ p,
p ∨ ¬p ,
(p → q ) ↔ (¬q → ¬p)
Contradição (c): proposição que é sempre falsa.
Exs.:
p ∧ ¬ p , p ↔ ¬p
Método de Redução ao Absurdo (Prova por Contradição)
A prova por contradição consiste em acrescentar a negação da conclusão ao conjunto
de premissas e mostrar, através das regras de inferência, que esta inclusão leva
logicamente a uma contradição.
Conjunto de premissas:
{ p1, p 2, ⋯, p n }
Quero provar que { p 1, p 2, ⋯, p n }  q .
Basta mostrar que {p 1, p 2, ⋯, p n ,¬q}  { pi ∧ ¬ pi } , ou seja, ¬q → c, onde
c é uma contradição.
Ex.: Proposição: √2 não é um número racional.
Premissas:
I. Todo número racional positivo pode ser escrito como uma fração de dois
números naturais a e b, com b≠0 .
II. Toda fração a/b de dois números naturais pode ser simplificada até uma fração
c/d, onde c e d não possuem fatores comuns.
III.Todo número natural é par ou ímpar de maneira exclusiva. Os números pares
podem ser escritos na forma “2m”, m∈ℕ e os ímpares, na forma “2n + 1”,
n∈ℕ .
IV. Se o quadrado de um número é par, então este número é par.
PROVA:
a
Supor que √2 é um número racional. Logo, de (I), temos que √2=
b
De (II), segue que √2=
c
, em que c e d não possuem fatores em comum.
d
2
Elevando ambos os membros da igualdade ao quadrado, temos que 2= c 2 , ou seja,
d
2
c =2 d
2
(1).
De (III), concluímos que c² é par. De (IV), é possível concluir que c é par.
Portanto, de (III), temos que:
c = 2m
(2)
Substituindo (2) em (1), segue que:
(2m)² = 2d² e, daí, 4m² = 2d² ↔ 2m² = d², ou seja, d² é par, e, consequentemente,
d é par, e portanto, d = 2n.
Assim, c = 2m e d = 2n, acarretando que c e d possuem 2 como um fator comum,
contradizendo a premissa (II).
Portanto, √2 não é um número racional.
Função Proposicional
p(x) torna-se uma proposição sempre que x for substituído por a∈ A , ou seja, p(x)
é uma sentença com a propriedade que p(a) é V ou F.
Ex.:
p x: x27 é uma função proposicional se A=ℝ , e não se A=ℂ
Outra maneira de lidar com funções proposicionais, observando que p(x) pode ser V
para todo x ∈ A , para algum x 0∈ A ou para nenhum x ∈ A
Quantificadores: ∀ , ∃
Notação:
∀ = para todo ou qualquer que seja (quantificador universal)
∀ x∈ A p x ou ∀ x , p x 
∃ =
existe, para algum, para ao menos um (quantificador existencial)
∃ x∈A p  x ou ∃ x , p x
Negação: proposições com quantificadores
Ex.: “ Todos os homens são mentirosos”
não é verdade que (todos os homens são mentirosos)
existe ao menos um homem que não é mentiroso
¬ ∀ x ∈H  (x é mentiroso) equivale a
∃ x∈H  (x não é mentiroso)
Teorema (De Morgan)
¬ ∀ x∈ A p x ↔ ∃ x∈A¬ p x
¬ ∃ x∈A p  x ↔
∀ x∈ A¬ p x
Dado que ¬ ∀ x∈ A p x ↔ ∃ x∈A¬ p x  , para mostrar que ∀ x , p x
é falso, basta que ∃ x 0 , p x 0 é falso.
Tal x 0 é denominado de CONTRA-EXEMPLO