LÓGICA MATEMÁTICA
NOÇÕES DE LÓGICA
O aprendizado da Lógica nos auxilia no raciocínio, na compreensão de conceitos
básicos, na verificação formal de programas e melhor nos prepara para o
entendimento do conteúdo de tópicos mais avançados.
Nossa introdução na lógica terá como objetivo principal a investigação da validade de
ARGUMENTOS: conjunto de enunciados dos quais um é a CONCLUSÃO e os demais
PREMISSAS. Os argumentos estão tradicionalmente divididos em DEDUTIVOS e
INDUTIVOS.
ARGUMENTO DEDUTIVO: é válido quando suas premissas, se verdadeiras, tem a
conclusão também verdadeira.
Premissa : “Todos os homens são mortais.”
Premissa : “Os gregos são homens.”
Conclusão : “Os gregos são mortais.”
Esses argumentos serão objeto de estudo neste roteiro.
1ª premissa: O Sol é uma estrela.
2ª premissa: Toda estrela possui luz própria.
Conclusão: O Sol possui luz própria.
CÁLCULO PROPOSICIONAL
Como primeira e indispensável parte da Lógica Matemática temos o CÁLCULO
PROPOSICIONAL ou CÁLCULO SENTENCIAL ou ainda CÁLCULO DAS SENTENÇAS.
PROPOSIÇÃO: sentenças declarativas afirmativas (expressão de uma linguagem) da
qual tenha sentido afirmar que seja verdadeira ou que seja falsa.
• A bola é redonda.
• A reta tem extremidade.
• O espaço é infinito.
OBS.: Não usaremos sentenças INTERROGATIVAS ou EXCLAMATIVAS.
SÍMBOLOS PARA O CÁLCULO PROPOSICIONAL
• VARIÁVEIS PROPOSICIONAIS: letras latinas minúsculas p,q,r,s,.... para indicar as
proposições (fórmulas atômicas) .
Exemplos: A bola é redonda: p
A reta tem extremidade : q
• CONECTIVOS LÓGICOS: As fórmulas atômicas podem ser combinadas entre si e,
para representar tais combinações usaremos os conectivos lógicos :
 (e); (ou); (se...entãoou im plicação);
 (se e som entese ou bi - im plicação); ~ (negação)
Ex e mp lo s:
1 . A b o la é r e d o n d ae a r e tate m e x tr e mid aed(p
.
 q)
2 . A b o la é r e d o n d ao u a r e tate m e x tr e mid aed(p
.
 q)
3 . Se a b o la é r e d o n d ae n tã oa r e tate m e x tr e mid aed(p
.
 q)
4 . A b o la é r e d o n d as e e s o me n tes e a r e tate m e x tr e mid aed(p
.
 q)
5 . A b o lan ã o é r e d o n d a(~. p )
Ex e r c íc io s
1 . Se ja m a s p r o p o s iç õse:
p : J o a n a é g r a c io s a .
q : F á tima é tímid a .
D a r a s s e n te n ç a sv e r b a isp a r a:
a )p  ~ q
Se Joana é graciosa, então Fátima não é tímida.
b )~(~
p  q)
É falso que Joana não é graciosa ou Fátima é tímida.
c )p  ~ q
Joana é graciosa e Fátima não é tímida.
SÍMBOLOS AUXILIARES : ( ) , parênteses que servem para denotar o "alcance" dos
conectivos
Os parênteses serão usados segundo a seguinte ordem dos conectivos:
~,  ,  ,  e 
A TABELAS VERDADE
• Princípio da Identidade: Todo objeto é idêntico a si mesmo.
• Princípio da Contradição: Dadas duas proposições contraditórias (uma é
negação da outra), uma delas é falsa.
• Princípio do Terceiro Excluído: Dadas duas proposições contraditórias,
uma delas é verdadeira.
Com base nesses princípios as proposições simples são ou verdadeiras ou
falsas - sendo mutuamente exclusivos os dois casos; daí dizer que a lógica
clássica é bivalente.
Para determinar o valor (verdade ou falsidade) das proposições
compostas, conhecidos os valores das proposições simples que as
compõem usaremos tabelas-verdade :
1.Tabela verdade da "negação" :
•
~p é verdadeira (falsa) se e somente se p é falsa (verdadeira).
p
~p
V
F
F
V
2. Tabela verdade da "conjunção" :
•
a conjunção é verdadeira se e somente as proposições são
verdadeiras.
p q p۸q
V V V
V F F
F V F
F F F
3. Tabela verdade da "disjunção" :
•
a disjunção é falsa se, e somente, as proposições são falsas.
p q P۷q
V V V
V F V
F V V
F F F
4. Tabela verdade da "implicação” :
•
a implicação é falsa se, e somente se, o antecedente é verdadeiro
e o conseqüente é falso.
p q p→ q
V V V
V F F
F V V
F F V
A proposição p → q = ~ q → ~ p
5. Tabela verdade da "bi-implicação":
•
a bi-implicação é verdadeira se, e somente se seus componentes são ou
ambos verdadeiros ou ambos falsos.
p q P↔q
V V V
V F F
F V F
F F V
Exemplo: Construir a tabela verdade da fórmula:
p  q  ~ p  q  p
p
q
pq
~p
p  q  ~ p
V
V
V
F
F
V
V
V
F
V
F
F
F
V
F
V
V
V
V
F
F
F
F
F
V
V
F
F
q  p p  q  ~ p  q  p
EXER C ÍC IO S
1. D e te r mineo v alo r lóg ic o d as s eg u in te sp r o po s iç õse c ompo s tas .
a) 3  1 e 4  2
1 3
c) 
ou 5 11
2 4
b) 3  1 ou 3  1 V
V
d ) 2 4 o u 2 4  1
V
e )  16  1 e 2 5 ( 2 )7
g ) 1 ,33 3 ... Ir    Ir
F
V
V
f) 3 (5  2 )  3 .5  3 .2 e 3 7 F
h ) 2 8  mmc(2,8 )  2
F
2. Adm itindo que p e q s ão ve rdade iras e r é fals a, de te rm ine
o valor lógico de cada propos ição abaixo.
a) p  r F
b) p  q V
c) r  p
d) (p  r)  q
V
e ) p  (q  r)
g) ~ p  ~ q
V
h) ~ p  r
V
F
V
f) p  (q  r)
i) r  ~ p   (~ q  ~ r )
3. Sendo a proposição p  r  s falsa e a proposição
q  ~ s  p verdadeira, classifique em verdadeiraou
falsa as afirm açõesp, q, r e s.
p = V, q = V, r = F e s = F
F
V
NÚMERO DE LINHAS DE UMA TABELA-VERDADE:
Cada proposição simples tem dois valores V ou F, que se excluem. Para n
proposições distintas, há tantas possibilidades quantos são os arranjos
com repetição de 2 (V e F) elementos n a n. Segue-se que o número de
linhas da tabela verdade é 2n. Assim, para duas proposições são 22 = 4
linhas; para 3 proposições são 23 = 8; etc.
Exemplo:
a tabela - verdade da fórmulap  q  r
terá 8 linhas como segue :
p
q
(p ۸ q)
r
p  q r
V
V
V
V
V
V
V
V
F
F
V
F
F
V
V
V
F
F
F
V
F
V
F
V
V
F
V
F
F
V
F
F
F
V
V
F
F
F
F
V
1. A seguir vamos compreender como se constrói essas tabelasverdade partindo da árvore das possibilidades dos valores lógicos das
preposições simples, e mais adiante veremos como determinar o valor
lógico de uma proposição composta.
Proposição composta do tipo P(p, q)
Proposição composta do tipo P(p, q, r)
Proposição composta do tipo P(p, q, r, s)
A tabela-verdade possui 24 = 16 linhas e é formada igualmente as
anteriores.
Proposição composta do tipo P(p1, p2, p3,..., pn)
A tabela-verdade possui 2n linhas e é formada igualmente as anteriores.
Exemplo
Veja como se procede a construção de uma tabela-verdade da proposição
composta P(p, q) = ((p ⋁ q) → (~p)) → (p ⋀ q), onde p e q são duas
proposições simples.
Resolução:
Uma tabela-verdade de uma proposição do tipo P(p, q) possui 22 = 4 linhas,
logo:
TAUTOLOGIA, CONTRADIÇÃO E CONTIGÊNCIA
Tautologia - A origem do termo vem do grego tautó, que significa "o
mesmo", mais logos, que significa "assunto". Portanto, tautologia é
dizer sempre a mesma coisa em termos diferentes.
É uma proposição cujo valor lógico é sempre verdadeiro.
Exemplo 1
A proposição p (~p) é uma tautologia, pois o seu valor lógico é
sempre V, conforme a tabela-verdade.
Exemplo 2
A proposição (p  q) → (p ↔ q) é uma tautologia, pois a última coluna
da tabela-verdade só possui V.
p
q
(p
 q)
(p ↔ q)
(p  q) → (p ↔ q)
V
V
V
V
V
V
F
F
F
V
F
V
F
F
V
F
F
F
V
V
Contradição
Contradição é uma proposição cujo valor lógico é sempre falso.
Exemplo 1
A proposição p  (~ p) é uma contradição, pois o seu valor lógico é sempre
F conforme a tabela-verdade. Que significa que uma proposição não pode
ser falsa e verdadeira ao mesmo tempo, isto é, o principio da não
contradição.
Exemplo 2
A proposição ~(p  q)  (p  q) é contraválida, pois a última coluna da
tabela-verdade só possui F.
~ (p  q)
p q
V
F
V
F
F
V
F
F
F
F
V
V
F
F
F
F
F
F
V
F
F
p
q
V
V
V
p
q
~ (p q) (p
q )
Contingência
Quando uma proposição não é tautológica nem contraválida, a
chamamos de contingência ou proposição contingente ou proposição
indeterminada.
Ex er c íc io
1. Ver ifique
, por meio das tabelasv er dades a
, v alidadedas
equiv alênc
ias abaix o.
a) p  q  r  p  q  r 
b ) ~ p  q   ~ p  ~ q
c ) q  p  q 
QUANTIFICADORES
Nas sentenças abertas (ORAÇÕES QUE CONTÊM VARIÁVEIS), existem
duas maneiras de transformá-las em proposições:
• atribuir valor às variáveis
• utilizar QUANTIFICADORES
Quantificador universal
É indicado pelo símbolo , que se lê: “qualquer que seja”, “para
todo” ou “para cada”.
Exemplos
1) p: ( x) (x + 1 = 7) = F
2) q: ( x) (x3 = 2x2) = F
3) r: ( x) (x2 + 1 > 0) = V
Quantificador existencial
É indicado pelo símbolo  , que se lê: “existe”, “existe pelo menos
um” ou “existe um”.
Exemplos
1) p: ( x) (x + 1 = 7) = V
2) q: (  x) (x3 = 2x2) = V
3) r: (  x) (x2 + 1 > 0) = V
Algumas vezes utilizamos outro quantificador: l, que se lê: “existe um
único”, “existe somente um”.
Exemplo
1) ( l x ) (x + 1 = 7) = V
2)( l x ) ( x + 2 > 3) = F
NEGAÇÃO DE PROPOSIÇÕES
Negação de uma conjunção
~ (p ˄ q) = ~ p ˅ ~ q
Negação de uma disjunção
~ (p ˅ q) = ~ p ˄ ~ q
Negação de uma implicação
~ (p → q) = p ˄ ~ q
Negação de proposições quantificadas
1) ~  x  px    x  ~ px 
2 ) ~  x  px    x  ~ px 
NEGAÇÃO DE ALGUNS SÍMBOLOS MATEMÁTICOS
1 ) ~    
2 ) ~    
3 )~    
4 )~    
5 ) ~    
EXEMPLOS
1) Determine a negação e o valor lógico das proposições a seguir.
a)