Fundamentos de Didáctica da Matemática
Educação Matemática Realista
Mª João Lagarto
Mª José Andrade
Nuno Longle
Sílvia Dias
05/01/2006
Educação Matemática Realista
As «ideias» de Freudenthal
Opõem-se à matemática moderna
you are …wrong if you advocate teachingf readymade axiomatics. (Freudenthal, 1973)
Inversão anti-didáctica
Matemática como actividade humana
•resolver problemas,
•procurar problemas,
•organizar fenómenos de acordo com padrões
matemáticos - «Os nossos conceitos,
estruturas e ideias matemáticas foram
inventados como ferramenta para organizar os
fenómenos do mundo físico, social e mental.»
(Freudenthal, 1983).
1905-1990
•1946 – professor da
Universidade de Utrech
(Holanda)
•1967-1970 – Presidente do
ICMI - The internacional
comission on mathematical
instruction
•1968 – Educational Studies
in Mathematics
•1970 – IOWO - «Instituto
do Desenvolvimento de
Educação Matemática»
What humans have to learn is not mathematics as a closed system, but rather as an activity,
the process of mathematizing reality and if possible even that of mathematizing mathematics.
(Freudehntal, 1968)
Matemática como actividade humana
(Re)invenção
guiada através da
Matematização
Fenomenologia
didáctica
Contextos que
possam ser
considerados como
reais para os alunos,
que estes possam
imaginar (zich
REALISEren)
Que caminho traçar para levar os alunos a
(re)inventarem o que se quer que eles (re)inventem?
Desenvolvimento Educacional
(Mudança das práticas)
Desenvolvimento curricular
Implementação do currículo (experimentação na aula)
Desenvolvimento de instrumentos de avaliação
Formação de professores
Feedback do terreno - «educational development in dialogue with the field».
Instituto Freudenthal - Grupo de investigação em educação matemática
(Faculdade de Matemática e Ciências da Computação da Univ. de Utrech)
Jan de Lange
Director do Instituto
Professor na Universidade de Utrecht Professor
convidado da Universidade de Wisconsin em
Madison (EU)
Membro do MSEB, Mathematical Sciences
Education Board (EU)
Presidente do Mathematical Functional Expert
Group do PISA (Programme for International
Student Assessment) da OECD
Coordenador do projecto «Algebra in
context, learning and assessment»:
(a) O que é a álgebra significativa e
quais as formas de ensino e aprender
álgebra que são significativas?
(b) Como é que sabemos que os alunos
aprenderam o que queríamos?
Koeno Gravemeijer
«Director» de projectos de investigação no
Instituto
Professor na Universidade de Utrecht - Research
Associate Professor (1998 – 2001) na Univ. de
Vanderbilt (EU), em colaboração com Paul Cobb e
Kay McClain
Autor de livros escolares para o ensino primário
Coordenador do projecto de
investigação sobre «Matemática e
Informação e Tecnologia de
Comunicação».
(a) O possível papel das TIC no
desenvolvimento da simbologia
matemática.
(b) Forma como as TIC pode apoiar
a aprendizagem independente.
Matematização
«tornar mais matemático»
Gravemeijer (1994) e
Treffers (1987)
Generality: generalizar
(procurando analogias,
classificando, e estruturando)
Certainty: reflectir, justificar,
demonstrar (usando uma
abordagem sistemática,
formulando e testando
conjecturas, etc.)
Exactness: modelar,
simbolizar, definir (restringindo
interpretações e validando)
Brevity: simbolizar e
esquematizar (desenvolvendo
processos standards e
notações).
Treffers (1978, 1987)
Matematização horizontal –
Os alunos utilizam recursos que lhes
permitem organizar e resolver um
problema existente numa situação da
vida real,
Matematização vertical – Processo
de reorganização, dentro do sistema
matemático em si. Por exemplo,
encontrar conexões entre conceitos,
estratégias de resolução e aplicar
essas descobertas.
Quadro teórico da Educação Matemática Realista
Teoria de domínio específico para a educação matemática realista -Gravemeijer
Treffers
(1987)
Van den HeuvelPanhuizen (1996)
1. Princípio da
orientação
1. Explorações
2. Princípio da realidade
fenomenologias
2. Construção através 3. Princípio do nível
de instrumentos
verticais
3. Contribuições e
4. Princípio da actividade
produção dos alunos
4. Interactividade
5. Princípio da
Interacção
5. Inter-relação
6. Princípio da Interrelação
Gravemeijer
(1994)
1. Princípio da
reinvenção
2. Fenomenologia
didáctica
3. Modelação
emergente
Exemplo: Recta numérica vazia
Heurística de Gravemeijer (1994)
Como levar os alunos a desenvolver estratégias flexíveis de cálculo
(aditivo e subtractivo) com números inteiros até 100?
Parte da hipótese: Os alunos baseiam os seus cálculos em relações
numéricas familiares
e da análise de processos informais dos alunos.
• Partições em dezenas e unidades
Beishuizen (1993)
(e.g., 44 + 37 = …; 40 + 30 = 70; 4 + 7 = 11; 70 + 11 = 81)
• Contagens e saltos
(e.g., 44 + 37 = …; 44 + 30 = 74; 74 + 7 = 81 )
Mais apropriado para uma
sequência de ensino.
Conduz a
mais erros
Conduz a mais
estratégias de
resolução
Estratégias
mais curtas
Exemplo: Recta numérica vazia
Recta numérica vazia como
modelo de apoio ao
desenvolvimento de estratégias
de cálculo.
38 + 24
Porquê a recta numérica vazia?
1. Princípio da reinvenção – Não é ensinar estratégias conhecidas.
Traçar um caminho de forma a que os alunos desenvolvam métodos
semelhantes.
Forma de simbolizar várias estratégias de contagem.
2. Fenomenologia didáctica
Os números organizam fenómenos quantitativos (diferentes «conceitos»
de número) (Freudenthal, 1973)
•Counting numbers (contar); numerosity number (cardinal); measurement
numbers (medir); reckoning numbers (registar)
Counting number envolvem uma representação linear
Aplicabilidade – situações do tipo linear (distâncias de viagens)
Exemplo: Recta numérica vazia
3. Modelação emergente (modelo de  modelo para)
O modelo no qual os alunos modelam a sua actividade matemática informal
se desenvolvam em modelos para um raciocínio matemático mais formal.
(Gravemeijer, 2004)
1. Modelos da situação
Raciocínio acerca da modelação da
situação contextualizada
•Contagem um a um
•Contagem em grupos de dez e um
2. Modelos para o raciocínio,
para uma aritmética mais formal
Raciocínio acerca de relações
matemáticas
• Compensação
77  29
Metodologia da investigação em educação
(Developmental Research )
teoria local de ensino conjecturada
Desenvolvimento de material de
ensino, «desenho preliminar»:
•conjunto de tarefas
para um tópico de ensino específico
(fracções, adição e subtracção,
algoritmos, etc.)
•ferramentas de avaliação
•software educativo
Filosofia da
EMR
Teorias locais
de ensino
•…
Implementação – testagem em aula
Análise, reflexão e revisão
Teoria da
EMR
Formulação de conjecturas sobre os processos de aprendizagem, onde se antecipa
como o raciocínio e a compreensão dos alunos irá evoluir quando as tarefas de ensino
são utilizadas na sala de aula.
Exemplo de Investigação
Barbara Ann van Amerom
Reinvention of early algebra (1995-2002)
Developmental research («exploratório») on the transition from arithmetic to algebra
Questões de investigação:
Hipóteses:
1. Quando e como começam os alunos a
1. Através de actividades préultrapassar a discrepância entre a aritmética e
algébricas os alunos são
a álgebra, e se ficam «atrasados», que
capazes de ultrapassar a
obstáculos é que encontram e porquê?
lacuna entre a aritmética e a
álgebra.
2. Qual o efeito de integrar a história da álgebra
numa «introdução» experimental do ensino e
aprendizagem da pré-álgebra?
2. A história da matemática
afecta positivamente o
ensino e aprendizagem da
introdução da álgebra.
As questões iniciais foram-se alterando com o decorrer da investigação.
1. Antes do projecto: análise sobre a situação baseada na questão: porque é
que o currículo existente é insatisfatório? (Gravemeijer, 1998)
Os processos algébricos relacionados com a aritmética são abandonados muito
cedo – rápida formalização da sintaxe algébrica.
Linguagem e manipulação algébrica antes da compreensão do poder e das
possibilidades da álgebra.
Exemplo de Investigação
2. Desenho preliminar: «bricolage guiada por uma teoria»
O investigador pode tirar ideias de várias fontes: currículo, textos de educação
matemática relatórios de investigação, etc.; a selecção deve ter por detrás a teoria
da educação matemática realista (Gravemeijer)
fontes:
• história da álgebra
Desenvolvimento das notações simbólicas:
descrições verbais – simbologia sincopada
– notação simbólica
Problemas práticos conduzindo a sistemas
de eq. e a eq. lineares aparecem
simultaneamente.
Reinvenção
guiada
Iniciar por problemas sobre sistemas de equações
Diagramas como modelos
Modelo da barra rectangular
Modelação emergente
•trajectória de aprendizagem da álgebra do projecto Mathematics in Context;
•várias experiências de ensino dos números de Strefland.
Não foi desenhada uma trajectória hipotética de aprendizagem completa.
Exemplo de Investigação
2. testagem em sala de aula
Ciclos de experimentação:
Fase de «orientação» (5.º ano)
Experiência piloto (5.º e 6.º)
Experiência (6.º e 7.º anos)
Preocupações:
«Validade» : o processo possa ser
reconstruído (aprendizagem do
investigador )
Descrição da evolução e da reflexão
sobre os materiais de ensino.
Exemplo de Investigação
3. Teoria local de ensino é reconstruída e assim como a sequência de ensino.
(Gravemeijer)
Conclusões:
A lacuna entre a aritmética e a álgebra só pode ser ultrapassada
parcialmente com a ajuda de estratégias pré-algébrica e processos informais
de simbolizar, mas não por todos os alunos.
Obstáculos na passagem da aritmética para a álgebra:
utilização de esquemas e outras formas de representação que apoiem o
raciocínio matemático;
Simbolizar a incógnita (o desconhecido)
Falta de compreensão da incógnitas (quantidades) e das relações entre elas.
Uma forma flexível de raciocinar acerca dos símbolos
Dificuldade em traçar a educação da álgebra de acordo com os princípios da
Ed. Matemática Realista.
Impacto nas práticas educativas
Educational development in dialogue with the field
Teorias locais
Protótipos de ensino
Developmental research
Jornais/
Conferências
Comunidade
Formadores de professores
Autores de manuais, etc.
Formação de
professores/
Manuais escolares
Professores /Prática lectiva
Um dos objectivos do Instituto Freudenthal: manter e desenvolver uma
rede de comunicação entre professores, investigadores, universidades,
os média, os políticos, etc.
Math net
Profissionalização horizontal – encontro de professores
do ensino primário para discutirem as suas práticas
profissionais, conjuntamente com peritos Instituto.