PROCESSOS ESTOCÁSTICOS
INTRODUÇÃO
• MODELOS DETERMINÍSTICOS
• MODELOS PROBABILÍSTICOS
EXEMPLOS DE APLICAÇÕES DE PROCESSOS ESTOCÁTICOS
1. TRÁFEGO TELEFÔNICO
QUAL DEVE SER O VALOR DE N PARA QUE, EM MÉDIA, 99,9% DAS
CHAMADAS DE A PARA B NÃO DEIXEM DE SER ATENDIDAS ?
N CIRCUITOS
M TERMINAIS
CENTRAL
CENTRAL
A
B
SITUAÇÃO:
Uma população de usuários solicita
em diferentes instantes de tempo
um determinado serviço.
MODELO: tráfego de entrada, fila
posto de serviço, etc.
Teoria de filas
2- RUÍDO TÉRMICO
3- SÉRIE TEMPORAIS
Previsão de valores futuros baseados no valor presente e passados
de um conjunto de variáveis.
Onde se aplica:
Vazão de um rio, demanda de
energia elétrica, inflação, etc
4- DESVANECIMENTO DE SINAIS
RÁDIOELÉTRICOS
DESVANECIMENTO DOS SINAIS
RADIOELÉTRICOS
ENLACE RADIOELÉTRICO
5- SISTEMA DE COMUNICAÇÃO
DIGITAL
6- OUTRAS APLICAÇÕES
• Modelamento de canais de
propagação para comunicação
móveis e fixas.
• Qualidade de serviço em redes
de telecomunicações.
• Confiabilidade de sistemas
• Identificação, estimação
• etc
TEORIA DAS PROBABILIDADES
MODELO PROBABILÍSTICO
1. ESPAÇO DE AMOSTRAS
1. ESPAÇO DE AMOSTRAS
2. ÁLGEBRA DE EVENTOS
3. MEDIDA DE PROBABILIDADE
É O CONJUNTO FORMADO POR
TODOS OS RESULTADOS POSSÍVEIS
DE UM EXPERIMENTO ALEATÓRIO.
1. ESPAÇO DE AMOSTRAS
RELAÇÃO ENTRE O FENÔMENO
FÍSICO E O MODELO MATEMÁTICO
EXPERIÊNCIA:
ABRIR UM LIVRO E OBSERVAR A
PRIMEIRA LETRA IMPRESSA.
S = { a, b, c, . . . , z }
observar se é vogal ou consoante
S = { vogal, consoante }
CONTAR O NÚMERO DE CHAMADAS QUE
CHEGAM A UMA CENTRAL TELEÔNICA
POR MINUTO NO HORÁRIODE DE
10:00 AS 12:00 H.
S = { 100, 97, 94, ... }
2. ÁLGEBRA DE EVENTOS
EVENTO: SUBCONJUNTO DO ESPAÇO DE AMOSTRAS QUE SATISFAZ UMA DADA
CONDIÇÃO
A = { s : uma dada condição c é satisfeita }
S = { s1 , s2 , s3 . . . , sK }
AS OPERAÇÕES COM EVENTOS OBEDECEM AS MESMAS REGRAS DAS
OPERAÇÕES COM CONJUNTOS.
1. IGUALDADE A = B
2. INCLUSÃO A  B, B  A
3. UNIÃO
A  B
4. INTERSEÇÃO A  B
5. COMPLEMENTO Ā
6. DIFERENÇA
A-B
7. EVENTO NULO 
8. EVENTOS MUTUAMENTE EXCLUSIVOS
OU DISJUNTOS
PROPRIEDADES
1. COMUTATIVA:
AB= B A e A B=BA
2. ASSOCIATIVA : A  ( B  C) = (A  B)  C
e (A  B)  C = A  (B  C)
3.DISTRIBUTIVA: A  (B  C) = (A  B)  (A  C) e A  (B  C) = (A  B)  (A  C)
4. REGRA DE DEMORGAN : (A  B)C = AC  BC
e (A  B) C = AC  BC
CLASSE DE EVENTOS
A CLASSE OU COLEÇÃO  DE EVENTOS É UMA CLASSE QUANDO SATIZFAZ:
SE A e B SÃO EVENTOS, ENTÃO
1. SE A    Ā  
2.
A  
  (A  B)  
B
PORTANTO  É FECHADA RELATIVAMENTE ÀS OPERAÇÕES DE
COMPLEMENTAÇÃO E UNIÃO.
PROPRIEDADES:
A  
  (A  B)  
B
A  
  (A - B)  
B
SE     S  
-ALGEBRA DE EVENTOS
UMA ÁLGEBRA DE EVENTOS  É UMA -ÁLGEBRA QUANDO SATISFAZ A

SEGUINTE CONDIÇÃO:
Ai  ,
i  1,2,3,... 
 A 
i
i 1
DADA UMA CLASSE QUALQUER DE EVENTOS C, HÁ PELO MENOS UMA -ÁLGEBRA
CONTENDO C, QUE É CONSTITUÍDA POR TODOS OS POSSÍVEIS SUBCONJUNTOS DE S.
É POSSÍVEL MOSTRAR QUE TODAS AS -ÁLGEBRAS CONTENDO C É TAMBÉM UMA
-ÁLGEBRA.
DEFINIÇÃO
A MENOR -ÁLGEBRA QUE CONTÉM TODOS OS EVENTOS DE UMA DADA CLASSE C
É REPRESENTADA POR A(C), QUE É UMA -ÁLGEBRA GERADA POR C.
EXEMPLO: LANÇAMENTO DE UM DADO.
S = { f1 , f2 , f 3 , f4 , f5 , f 6 }
ESPAÇO DE AMOSTRAS
SEJA C A COLEÇÃO DE EVENTOS
C = [ { f 1 } , { f 2 , f 4 , f6 } , { f 1 , f 3 , f 5 } , S ,  ]
ESTA COLEÇÃO NÃO CONSTITUI UMA ALGEBRA, POIS VIOLA A DEFINIÇÃO
{ f 1 }  { f2 , f 4 , f 6 } = { f 1 , f 2 , f 4 , f 6 }  C
{ f1 }c = { f2 , f3 , f4 , f5 , f6 }  C
ENTÃO:
[ , S , { f1 , f3 , f5 }, { f2 , f4 , f6 } , { f1 } , { f1 , f2 , f4 , f6 } , { f2 , f3 , f4 , f5 , f6 } ,
{ f3 , f5 } ] É FECHADA EM RELAÇÃO À COMPLEMENTAÇÃO E À UNIÃO.
POTANTO É UMA ÁLGEBRA. NA REALIDADE, ESTA COLEÇÃO É A MENOR
-ÁLGEBRA A(C) DEFINIDA POR C POIS NENHUM DOS TRÊS ELEMENTOS
ACRESCENTADOS PODERIA SER RETIRADO SEM VIOLAR A DEFINIÇÃO DE
ÁLGEBRA. OBSERVA-SE QUE SE A COLEÇÃO CONTÉM UM NÚMERO FINITO
DE ELEMENTOS E É UMA ÁLGEBRA ENTÃO SERÁ TRIVIALMENTE UMA
-ÁLGEBRA
EXEMPLO: REDE DE COMUNICAÇÃO COM 4 TERMINAIS ( a, b, c, d ) E
5 TRONCOS (1, 2, 3, 4, 5 ) E UMA CHAVE QUE ASSUME 3 POSIÇÕES ( I, II, III)
b
1
4
I
a
2
II
III
c
3
5
d
A EXPERIÊNCIA CONSISTE EM OBSERVAR A SITUAÇÃO DA REDE EM
UM DADO INSTANTE, VERIFICANDO A POSIÇÃO DA CHAVE E OS ESTADOS
DOS TRONCOS.
1. REPRESENTAÇÃO DO ESPAÇO DE AMOSTRAS
CADA TRONCO PODE ESTAR EM: “OPERAÇÃO” OU “NÃO OPERAÇÃO”
SEJA i UM PONTO GENÉRICO DE S , ENTÃO:
i = { C, T1 , T2 , T3, , T4 ,T5 } ; C  { I , II , III }; Ti ={ 0 , 1 } , i = 1, 2, 3, 4, 5.
NÚMERO TOTAL DE PONTOS EM S :
N = 3 x 25 = 96
2. DETERMINAR O NÚMERO DE PONTOS AMOSTRAS PARA OS EVENTOS
2.1. A = {  : a e c podem comunicar-se }
A1 = { I , 1 , x , x , 1 , x };
A = A1  A2  A3
A2 = { II , x , 1 , x , x , x };
N = 8 + 16 + 8 = 32
A3 = { III , 1 , x , 1 , x , 1 };
( EVENTOS DISJUNTOS )
2.2. B = {  : b e c podem comunicar-se }
B = { x , x , x , x , 1 , x }; N = 3 x 24 = 48
2.3. C = {  : a chave está na posição I }
C = { I , x , x , x , x , x }; N = 25 = 32
b
1
4
I
a
2
II
III
c
3
5
d
3. MEDIDA DE PROBABILIDADE
A CADA EVENTO A ASSOCIA-SE UM NÚNERO P(A) CHAMADO DE PROBABILIDADE DO EVENTO A. ESTE NÚMERO É ESCOLHIDO TAL QUE AS SEGUINTES
CONDIÇÕES SÃO SATISFEITAS :
AXIOMAS DA TEORIA DA PROBABILIDADE
1. P(A) > 0 ;
2. P( S ) = 1 ;
3. SE A  B =  , ENTÃO P(A+B ) = P(A) + P(B)
PROPRIEDADES
1. SE Ai  Bj =  ;
i, j = 1, 2, 3, . . . , n , i  j ,
n
 A )   P( A )
P(
i
i 1
2. P( Ā ) = 1 - P( A )
3. P(  ) = 0 , ENTÃO P( S ) = 1
4. P( A ) < 1
5. P( A  B) = P( A ) + P( B ) - P( AB )
n
i
i 1