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Prova de Cálculo A
1. Calcule a derivada de f em a, isto é, f 0 (a):
(a) f (x) = (sen(x))sen(x) em a = π2
x
(dica: lembre-se que xx = eln(x ) = exln(x) )
√
(x2 − 1)2
em
a= 5
x2 − 1
p
√
(c) f (x) = 1 + x em a = 1
√
(d) xf · cos(πxf ) + 1 = 0 em a = 1
(obs: note quef (1) = 1)
(b) f (x) = √
2. Calcule os limites, caso existam.
2
lim (ln(x)) − x
(a) x→∞
2
lim (sen(x))sen(x)
(b) x→0+
3
3. Seja P um ponto de coordenadas P = (x(t), 0) que percorre o eixo x ao longo do
tempo pela função
x(t) = t2 − 1.
Seja Q um ponto de coordenadas Q = (0, y(t)) que percorre o eixo y ao longo do
tempo pela função
y(t) = 2t.
(a) Calcule a taxa de variação da distância entre P e Q no instante t = 1.
(b) Calcule o instante em que a distância entre P e Q é a menor possível.Qual é a
menor distância?
4. Faça o estudo da função
f (x) = x2 · ln(x2 )
isto é,
domínio,
raizes,
lim
lim
x→∞ f (x) e x→−∞ f (x),
assíntotas verticais,
primeira derivada,
segunda derivada,
tabela de crescimento, decrescimento, concavidade
e esboço do gráco da função.
5. (Questão extra) Caso exista, calcule a derivada da função
f (x) =
no ponto a = π2 .
|sen(x)|cos(x)
|x3 |