Última atualização: 14/04/2008
ÁREA 1 - FACULDADE DE CIÊNCIA E TECNOLOGIA
FTE - FACULDADE DE TECNOLOGIA EMPRESARIAL
Engenharias: Ambiental, Computação, Elétrica, Mecatrônica e Produção
Disciplina: Cálculo Básico
Professor(a): ___________________ Data: ___ / ___ / ______
Aluno(a): ___________________________________________
3ª Lista de Exercícios
Cálculo Básico – Derivada 2a Parte e Aplicações
______________________________________________________________________________________
Questão 1.
(
Calcule a derivada das funções abaixo:
(a) f ( x ) = 2 x + 5 x − 8
3
)
3
(d) f ( x ) = 5 3 x 4 + 5 x + 1
3
(g) f ( x ) = 2 (5 − x )
(
)
4
(
)(
(c) f ( x ) = 5 x 3 + 2 x . x − x 2
(f) f ( x ) = 2e (3 x
3
2
+ 6 x +7
)
2
)
(i) f ( x ) = 3e sen ( x )
( )
(j) f ( x ) = cos e x + 1
(m) f ( x ) =
⎛ 3x − 3 ⎞
(b) f ( x ) = ⎜
⎟
⎝ 2x + 5 ⎠
(2 x − 3)3
(e) f ( x ) =
(5 − 3 x )2
(h) f ( x ) = e ( x ) .(x 3 − 5 x )
(k) f ( x ) = 2 sen x 2 . cos( x + 1) (l) f ( x ) = sen 3 ( x )
2 (2 x ). cos(3 x )
sen(5 x )
(n) y = log 2(1−3 x )
(o) y =
sen(2 x )
ln x 2
( )
⎛ x 2 sen( x ) ⎞
⎟⎟
(p) f ( x ) = ln⎜⎜
1
+
x
⎝
⎠
Calcule a equação da reta tangente à curva f ( x ) =
Questão 2.
2 sen(x 2 + 2 x ) − 3
no ponto x o = 0 .
cos(x 3 ) + 1
Derivadas das funções trigonométricas inversas
Questão 3.
Calcule a derivada das funções abaixo:
( )
(a) y = arccos(2 x + 1)
(b) y = arccos sec e x
(c) y = x 2 (arcsen( x ))
(d) y = e x arc sec( x )
3
(e) y = arctg( 2 7 x )
(f) y = arccotg(ln x )
Mostre que a reta normal à curva y = arcsen( x ) − ln( x + 1) , no ponto x o = 0 , faz com o eixo
Ox um ângulo de 90o.
Questão 4.
Determine a equação da reta tangente e da reta normal ao gráfico da função y = arctg 2 (x )
Questão 5.
no ponto de abscissa x0 = 3 .
Derivadas sucessivas.
Questão 6.
Calcule as derivadas sucessivas até a ordem n indicada.
(a) y = 3 x 4 − 2 x − 9, n = 4
(
)
(c) y = ln 1 − x 2 , n = 2
Questão 7.
(b) y = sen(− 5 x ), n = 5
(d) y = e 2 x +1 , n = 3
Sejam f ( x ) e g ( x ) funções deriváveis até 3a ordem. Mostre que:
(a) ( f .g )' ' = gf ' ' +2 f ' g' + fg' '
(b) ( f .g )' ' ' = gf ' ' ' +3 f ' ' g' +3 f ' g' ' + fg' ' '
2
Cálculo Básico – Derivada 2a Parte e Aplicações
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Questão 8.
Mostre que a função x = A. cos(ωt + α ) , onde A, ω e α são constantes, satisfaz a equação
diferencial x' ' +ω 2 x = 0 .
Derivada na forma implícita.
Questão 9.
Determine a derivada y' das curvas dadas implicitamente por:
(a) x 2 + y 2 = 4
(b) xy 2 + 2 y 3 = x − 2 y
(d) e xy = x + y − 3
(e) y 3 −
(c) x 2 y 2 + x sen( y ) = 0
(f) tg ( y ) = xy − 1
x− y
=0
x+ y
Questão 10. Determine a equação da reta tangente e da reta normal ao gráfico de cada função abaixo,
nos pontos indicados.
(a) 6 x 2 + 13 y 2 = 19 (elipse), nos pontos onde a normal é paralela à reta 26 x − 12 y − 7 = 0 . (Ver no Winplot)
(b) ln( y ) = x + y 2 no ponto P (− 1,1) .
(c) x 3 = y .2 y , no ponto em que a normal é vertical.
Questão 11.
Seja C a circunferência dada implicitamente por x 2 + y 2 = 1 e t a
reta tangente à C no ponto de abscissa xo =
Calcule o valor da área sombreada.
2 2 , como mostra a figura ao lado .
Mostre que as retas tangentes às curvas 4 y 3 − x 2 y − x + 5 y = 0 e x 4 − 4 y 3 + 5 x + y = 0 na
origem, são perpendiculares.
Questão 12.
Derivada na forma paramétrica
Questão 13.
Mostre que
Seja a função y = f (x) dada parametricamente por
⎧⎪ x = 4 cos 3 t
⎤ π⎡
,t ∈ ⎥0 , ⎢ .
⎨
3
⎪⎩ y = 4 sen t
⎦ 2⎣
dy
= −tg ( t ) .
dx
Questão 14. Determine uma equação da reta tangente e da reta normal ao gráfico de cada função
abaixo, nos pontos indicados.
⎧ x = sent
π
⎡ π π⎤
).
, onde t ∈ ⎢− , ⎥ ( t =
6
⎣ 2 2⎦
⎩ y = sen2t
(a) ⎨
⎛
⎧ x = 2 cos t
3 2⎞
⎟ ).
, t ∈ [0 ,π ] ( no ponto A = ⎜⎜ 2 ,
2 ⎟⎠
⎩ y = 3sen t
⎝
(b) ⎨
3
Cálculo Básico – Derivada 2a Parte e Aplicações
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Problemas de taxa de variação
Questão 15.
Resolva os seguintes problemas:
(a) A equação do movimento de uma partícula é s (t ) = 3 t + 2 , s em metros e t em segundos. Determine:
(a.1) o instante em que a velocidade é de 1/12 m/s.
(a.2) a distância percorrida até este instante.
(a.3) a aceleração da partícula quando t = 2 s.
(b) A receita anual de vendas pela Internet é dada aproximadamente pela função
R( t ) = 0 ,075t 3 + 0 ,025t 2 + 2 ,45t + 2 ,4 , 0 ≤ t ≤ 4 ,
onde R( t ) é medido em bilhões de dólares e
1997. Pergunta-se:
t
medido em anos, com
t =0
correspondendo ao início de
(b.1) Com que rapidez a receita anual de vendas pela Internet estava variando no início do ano de 2000?
(b.2) Qual foi a receita anual de vendas pela internet no início do ano de 2000?
(c) Um trem deixa uma estação, num certo instante, e vai para a direção norte à razão de 80 km / h . Um
segundo trem deixa a mesma estação 2 horas depois e vai na direção leste à razão de 95 km/h. Achar a taxa
na qual estão se separando os dois trens 2 horas e 30 minutos depois do segundo trem deixar a estação.
(d) Uma bola de neve esférica é formada de tal maneira que o seu volume aumenta à razão de 8 cm3/min.
Como está variando o raio no instante em que a bola tem 40 mm de diâmetro?
(Volume da esfera:
4
V = πr 3 )
3
(e) Uma escada com 10 pés de comprimento está apoiada contra uma parede vertical. Se a base da escada
desliza afastando-se da parede a uma velocidade de 2 pés/s, quão rápido está variando o ângulo entre o topo
da escada e a parede quando o ângulo é π
4
rad?
(f) Despeja-se água num recipiente de forma cônica, à razão de 8 cm3/min. O cone tem 20 cm de
profundidade e 10 cm de diâmetro em sua parte superior. Se existe um furo na base, e o nível da água está
subindo à razão de 1 mm/min, com que velocidade a água estará escoando quando esta estiver a 16 cm do
fundo?
(Volume do cone:
1
V = πr 2 h )
3
(g) Um meteorito entra na atmosfera da Terra e queima a uma taxa que, em cada instante, é proporcional a
área de sua superfície. Supondo que o meteorito é sempre esférico, mostre que o raio decresce a uma taxa
constante.
(h) O piloto de uma aeronave de patrulha de guarda costeira em uma missão de busca acaba de avistar um
barco pesqueiro avariado e decide sobrevoá-lo para melhor averiguar. Voando a uma altitude de 1000 pés e a
uma velocidade uniforme de 264 pés/s, a aeronave passou diretamente por cima do barco pesqueiro. Com
que velocidade a aeronave estava se afastando do pesqueiro quando chegou a uma distância de 1500 pés
dele?
4
Cálculo Básico – Derivada 2a Parte e Aplicações
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(i) Um câmera de televisão está posicionada a 4000 pés de uma base de lançamento de foguete. O ângulo de
elevação da câmera deve variar a uma taxa que possa focalizar o foguete. O mecanismo de foco da câmera
também deve levar em conta o aumento da distância entre a câmera e o foguete em subida. Vamos supor
que o foguete suba verticalmente e com uma velocidade de 600 pés/s quando já tiver subido 3000 pés.
(i.1) Quão rápido está variando a distância da câmera ao foguete nesse momento?
(i.2) Se câmera de televisão sempre apontar em direção ao foguete, quão estará variando o ângulo de
elevação dela nesse momento?
(j) Dois resistores variáveis R1 e R 2 são ligados em paralelo. A resistência total R é calculada pela equação
1 R = (1 R1 ) + (1 R 2 ) .
R1 e R2 estão aumentando às taxas de 0 ,01 ohm s e 0 ,02 ohm s
respectivamente, a que taxa varia R no instante em que R1=30 ohms e R 2 = 90 ohms ?
Se
(l) Pela ruptura de um navio-tanque, uma mancha de óleo espalha-se em forma de um círculo cuja área
cresce uma taxa de 6 km2/h. Com que rapidez estará crescendo o raio da mancha quando a área for de 9
km2?
Regra de L’Hospital
Questão 16.
Calcule os seguintes limites usando a Regra de L’Hospital :
− 5 x + 5 senx
x →o
2x3
e x − e−x − 2x
(d) lim
x →o
x − senx
(a) lim
(g) lim [cos (2 x )]
x→o
3
x2
x 3 − 3x + 2
x → −2
x2 − 4
⎡
⎛ 5 ⎞⎤
(e) lim ⎢ xsen⎜ ⎟⎥
x → −∞
⎝ x ⎠⎦
⎣
e4x
x → +∞ 5 x 2
(c) lim
(b) lim
(
(h) lim 2 x 2 + x
x→o
(f) lim ( x ) 5 / x
2
x → +∞
)
x
(
)
(i) lim x 2 e 1 / x − 1
x → +∞
Questão 17.
Para cada função a seguir, determine (se possível): o domínio, as interseções com os
eixos, os intervalos de crescimento e decrescimento, os máximos e mínimos relativos, os intervalos onde o
gráfico tem concavidade para cima e onde o gráfico tem concavidade para baixo, os pontos de inflexão, as
assíntotas horizontais e verticais e o esboço gráfico.
(a) f ( x ) = x 3 − 6 x 2 + 9 x + 2
(b) f ( x ) = − x 3 + 3 x − 2
x +1
4
−2
; Sabendo que: f ' ( x ) =
e f ' ' (x ) =
2
x −1
(x − 1)
(x − 1)3
(c) f ( x ) =
−x
(d) f ( x ) = e
(e) f ( x ) =
2
/2
−x
; Sabendo que: f ' ( x ) = − xe
2
/2
2
−x
e f ' ' ( x ) = ( x − 1 )e
48 x
− 2x 2 + 8
; Sabendo que: f ' (x ) =
2
x − 16
x 2 − 16
(
)
(
e f ' ' (x ) =
)
2
2
/2
− 48( 3 x 2 + 16 )
(x
2
− 16
)
3
Determine as constantes a e b tais que a função f ( x ) = ax 4 + bx 3 tenha um ponto de
inflexão em ( 2 ,−16 ) e um mínimo relativo em x = 3 .
Questão 18.
5
Cálculo Básico – Derivada 2a Parte e Aplicações
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10 y
Questão 19.
Sabe-se que: f ( x ) = ax 4 + bx 3 + cx 2 , o gráfico da
derivada f ' é representado ao lado e f tem um máximo no ponto
( 1,5 ) . Determine as constantes a , b e c .
x
−2
−1
1
2
3
4
5
−1 0
−2 0
(Otimização)
Questão 20.
Resolva cada problema a seguir:
(a) Deseja-se cercar um jardim de forma retangular com L metros de cerca. Encontre as dimensões do maior
jardim que pode ser cercado ser usado todo o material.
(b) A potência P de uma bateria de um automóvel é dada por P = VI − I 2 R , sendo I a corrente para uma
voltagem V e resistência interna da bateria R. São constantes V e R. Que corrente corresponde à potência
máxima?
(c) Uma área retangular com 288 m 2 deve ser cercado. Em dois lados opostos será usada uma cerca que
custa 1 dólar o metro e nos lados restantes, uma cerca que custa 2 dólares o metro. Encontre as dimensões
do retângulo com o menor custo.
(d) Uma fábrica produz x milhares de unidades mensais de um determinado artigo. Se o custo de produção é
dado por C( x ) = 2 x 3 + 6 x 2 + 18 x + 6 e a receita obtida na venda é dada por R( x ) = 60 x − 12 x 2 , determinar o
número ótimo de unidades que maximiza o lucro L. ( Lucro = Receita - Custo, isto é, L( x ) = R( x ) − C( x ) ).
(e) Usando uma folha de cartolina, de lado igual a 60 cm, deseja-se construir uma caixa sem tampa, cortando
seus cantos em quadrados iguais e dobrando convenientemente a parte restante. Determinar o lado dos
quadrados que devem ser cortados de modo que o volume da caixa seja o maior possível.
(f) Uma reta variável passando por P(1,2) corta o eixo Ox em A(a,0) e o eixo Oy em B(0,b) . Determine o
triângulo OAB de área mínima, para a e b positivos.
(g) O departamento de trânsito de uma cidade, depois de uma pesquisa, constatou que num dia normal da
semana à tarde, entre 2 e 7 horas, a velocidade do tráfego é de aproximadamente
V ( t ) = 2t 3 − 27 t 2 + 108 t − 35 quilômetros por hora, onde t é o número de horas transcorridas após o meio dia.
A que horas do intervalo de 2 às 7 o tráfego flui mais rapidamente e a que horas flui mais lentamente, e com
que velocidade?
(h) Um gerador de corrente elétrica tem uma força eletromotriz de ε volts e uma resistência interna de r ohms.
ε e r são constantes. Se R ohms é uma resistência externa, a resistência total é (r + R) ohms e se P watts é
a potência então, P = ( ε 2 R) (r + R) 2 . Qual o valor de R que consumirá o máximo de potência? Interprete o
resultado.
(i) Se 1200 cm 2 de material estiverem disponíveis para fazer uma caixa com uma base quadrada e sem
tampa, encontre o maior valor possível da caixa.
6
Cálculo Básico – Derivada 2a Parte e Aplicações
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Respostas
Questão 1.
(
)
(b) f ' ( x ) =
) (x − x )(− 65 x
+ 55 x 3 − 14 x 2 + 10 x ) (d) f ' ( x ) =
(a) f ' ( x ) = 3 2 x 3 + 5 x − 8
(
(c) f ' ( x ) = 5 x 3 + 2 x
(e) f ' ( x ) =
) (6 x
2
2
2
+5
2
4
(
)
( )
(n) y' =
3
+ 25 )
2 3x + 5 x + 1
4
x
+6 x +7
2
)
⎡ x 3 − 5x
⎤
+ 3x 2 − 5 ⎥
⎢
⎣ 2 x
⎦
(
(
( )
)
)
(l) f ' ( x ) = 3 sen 2 ( x ) cos( x )
]
ln(4 ) cos(3 x ) − 3.2 (2 x ) sen(3 x ) sen(5 x ) − 5.2 (2 x ) cos(3 x ) cos(5 x )
sen 2 (5 x )
3
( 3 x − 1 ) ln 2
(p) f ' (x ) =
(o) y' =
2 x cos(2 x )ln(x 2 ) − 2 sen(2 x )
x ln 2 (x 2 )
2
1
+ cot g( x ) −
x
2 + 2x
2 y − 4x + 3 = 0
Questão 2.
Questão 3.
(a) y' =
2x)
(60 x
(j) f ' ( x ) = −e x sen e x + 1
(k) f ' ( x ) = 4 x cos x 2 cos(x + 1) − 2 sen x 2 sen( x + 1)
[2 (
(2 x + 5 )5
(h) f ' ( x ) = e
(i) f ' ( x ) = 3 cos( x )e sen ( x )
(m) f ' ( x ) =
3
(f) f ' ( x ) = (12 x + 12 )e (3 x
(2 x − 3)2 (12 − 6 x )
(5 − 3 x )3
3
(g) f ' ( x ) = 2 (5 − x ) ln(2 ) − 3 x 2
84(3 x − 3)
−2
1 − ( 2x + 1 )
(
−1
(c) y = 2 x sen x
)
3
(b) y' =
2
3 x 2 (sen −1 x )
2
+
−1
e2x − 1
(d) y = e x arc sec( x ) +
1 − x2
7 ln( 2 )2 7 x
(e) y =
.
1 + 2 14 x
(f) y =
ex
x x2 − 1
−1
.
x ln 2 x + x
Questão 5.
⎛π 2
reta tangente: y − ⎜⎜
⎝ 9
Questão 6.
(a) y (4 ) = 72
(
⎞ ⎛π ⎞
⎟⎟ = ⎜ ⎟ x − 3
⎠ ⎝6 ⎠
)
⎛ π2
reta normal: y − ⎜⎜
⎝ 9
(b) y (5 ) = (− 5 ) cos(− 5 x )
5
(c) y' ' =
7
(
⎞ ⎛ −6 ⎞
⎟⎟ = ⎜
⎟ x− 3
⎠ ⎝ π ⎠
− 2 − 2x2
(1 − x )
2 2
)
(d) y' ' ' = 8 e (2 x +1)
Cálculo Básico – Derivada 2a Parte e Aplicações
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Questão 9.
(a) y' = − xy −1
(d) y' =
(b) y' =
ye xy − 1
1 − xe xy
(e) y' =
1− y2
2 xy + 6 y 2 + 2
2y
3 y (x + y ) + 2 x
2
2
(c) y' =
− 2 xy 2 − sen( y )
2 x 2 y + x cos( y )
(f) y' =
y
sec ( y ) − x
2
Questão 10.
⎧6 x + 13 y + 19 = 0 em P(− 1, − 1)
⎧6 y − 13 x − 7 = 0 em P(− 1, − 1)
R. N: ⎨
⎩6 x + 13 y − 19 = 0 em Q(1, 1)
⎩6 y − 13 x + 7 = 0 em Q(1, 1)
(a) R. T: ⎨
(b) reta tangente: y = − x
reta normal: y = x + 2
(c) reta tangente: y = 0
reta normal: x = 0
Questão 11. Área = 1 −
π
u .a.
4
Questão 14.
(a) reta tangente: 4 x − 2 3 y + 1 = 0
(b) reta tangente: y −
reta normal: 2 3 x + 4 y − 3 3 = 0
(
3 2
3
=− x− 2
2
2
)
reta normal: y −
(
3 2 2
= x− 2
2
3
)
Questão 15.
(a) (a.1) 6 s
(a.2) 2m
(a.3) −
1
3
36 2
m/s 2
(c) 119 ,09 km / h
(d)
8(5 − π )
cm 3 / min
5
(i) (i.1) 360 pés / s
1
cm/ min
2π
(i.1) 0 ,096 rad / s
11
ohm/s
1600
(l) 1
π
km / h
Questão 16.
+∞
(a) − 5 / 12
(b) − 5 / 2
(c)
(d) 2
(e) − 5
(f) 1
(h) 1
(i) + ∞
(g)
e3
8
(b.2) R $ 12 bi
(e)
(h) 88 5 ≅ 196 ,8 pés / s
(f)
(j)
(b) (b.1) R $ 4 ,625 bi / ano
2
5
rad/s
Cálculo Básico – Derivada 2a Parte e Aplicações
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Questão 17.
(a) D( f ) = R ; interseção com Oy: P (0 ;2 ) ; não tem assíntotas; crescente: (− ∞ ,1] ∪ [3 ,+∞ ) ; decrescente: [1,3] ;
máx.: Q(1,6 ) ; mín.: R(3 ,2 ) ; C.V.B: ( −∞ ,2] ; C.V.C: [2 ,+∞ ) ; P.I: M (2 ,4 ) .
(b) D( f ) = R ; interseção com Oy: P (0 ;−2 ) ; não tem assíntotas; crescente: [− 1,1];
decrescente: (− ∞ ,−1] ∪ [1,+∞ ) ; máx.: Q(1,0 ) ; mín.: R (− 1,−4 ) ; C.V.C: ( −∞ ,0 ] ; C.V.B: [0 ,+∞ ) ; P.I: M (0 ,−2 ) .
(c) D( f ) = R − {1} ; interseção com Ox P( − 1,0) e com Oy Q(0,−1) ; assíntotas: x = 1 e y = 1 ;
decrescente em R − {1} ; não possui máximo nem mínimo relativos; C.V.C: (1,+∞) ; C.V.B: ( − ∞ ,1) ;
não tem ponto de inflexão.
(d) D( f ) = R ; interseção com Oy: N ( 0,1) ; assíntota y = 0 ; crescente: ( − ∞ ,0] ; decrescente: [0,+∞) ;
máx.: N ( 0,1) ; não tem mín.; C.V.C: ]− ∞ , − 1] ∪ [1, + ∞[ ; C.V.B: [ − 1, 1] ; P.I: P (− 1;0 ,6 ) e Q(1;0 ,6 ) .
(e) D ( f ) = R − {− 4 ,4}; interseção: com Oy:
N (0 ,−1 / 2 ) e com Ox: P(− 2 ,0 ) e Q(2 ,0 ) ; assíntotas
x = 4 , x = −4 , y = −2 ; crescente: [0 , 4 ) ∪ (4 ,+∞ ) ; decrescente: (− ∞ ,−4 ) ∪ (− 4 ,0 ] ; mín.: N (0 ,−1 / 2 ) ; não tem
máx..; C.V.C: ]− 4 ,4[ ; C.V.B: (− ∞ ,−4 ) ∪ (4 ,+∞ ) .
Questão 18. a = 1 , b = −4
Questão 19. a = 3 , b = −16 , c = 18
Questão 20.
(a) um quadrado de lado L / 4
(b) I = V/2R
(c) 24 m ($1) e 12 m($2)
(d) x = 1000 unidades
(e) 10 cm
(f) base = 2 e altura = 4
(g) Mais rapidamente às 3 horas com velocidade de 100 km/h
e mais lentamente às 6 horas com velocidade de 73 Km/h.
(h) r = R
(i) 4000 cm 3
9