Correção
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2ª fase - Matemática
feita pelo Intergraus.
13.01.2010
UNICAMP 2010 - MATEMÁTICA
1. Uma confeitaria produz dois tipos de bolos de festa. Cada quilograma do bolo do tipo A consome 0,4 kg
de açúcar e 0,2 kg de farinha. Por sua vez, o bolo do tipo B consome 0,2 kg de açúcar e 0,3 kg de farinha
para cada quilograma produzido. Sabendo que, no momento, a confeitaria dispõe de 10 kg de açúcar e 6 kg
de farinha, responda às questões abaixo.
a) Será que é possível produzir 7 kg de bolo do tipo A e 18 kg de bolo do tipo B? Justifique sua resposta.
b) Quantos quilogramas de bolo do tipo A e de bolo do tipo B devem ser produzidos se a confeitaria pretende gastar toda a farinha e todo o açúcar de que dispõe?
RESOLUÇÃO:
a) Para a produção pedida serão consumidos 7  0,4 + 18  0,2 = 6,4 kg de açúcar e 7  0,2 + 18  0,3 = 6,8 kg
de farinha.
Como a confeitaria só dispõe de 6 kg de farinha, não será possível realizar tal produção.
b) Produzindo x quilogramas de bolo do tipo A e y quilogramas de bolo do tipo B, temos:
0,4x + 0,2y = 10
+
0,2x + 0,3y = 6 • (–2)
–0,4y = –2
0,2x + 0,3y = 6
Assim, y = 5 e x = 22,5.
RESPOSTA:
a) Não, a quantidade de farinha não é suficiente.
b) 22,5 kg do tipo A e 5 kg do tipo B.
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2. Uma peça esférica de madeira maciça foi escavada, adquirindo o
formato de anel, como mostra a figura ao lado. Observe que, na
escavação, retirou-se um cilindro de madeira com duas tampas em
formato de calota esférica. Sabe-se que uma calota esférica tem
h 2
volume V cal 
(3R – h), em que h é a altura da calota e R é o raio
3
da esfera. Além disso, a área da superfície da calota esférica
(excluindo a porção plana da base) é dada por A cal  2Rh.
Atenção: não use um valor aproximado para .
h
R
a) Supondo que h = R/2, determine o volume do anel de madeira, em
função de R.
b) Depois de escavada, a peça de madeira receberá uma camada de
verniz, tanto na parte externa, como na interna. Supondo, novamente, que h = R/2, determine a área sobre a qual o verniz será aplicado.
RESOLUÇÃO:
O cilindro retirado tem raio da base r e altura R.
R
h=—
2
r
R/2
R
R/2
R
a) No triângulo destacado, temos:
2
R 3
 R
r 2     R2  r 
2
 2
2
2
 R
 
R
R3
2 
 R – 2     3R –   V anel 
3 
2
6
R 3 
4 3

R –  

3
 2 
R 3 
R
 R   4R2 – 2  2R    S anel  (2 
b) S anel  2 

2
2



V anel 
RESPOSTA:
a)
R3
6
b) (2 
3)R2
3)R2
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3. Um artesão precisa recortar um retângulo de couro com 10 cm  2,5 cm. Os dois retalhos de couro
disponíveis para a obtenção dessa tira são mostrados nas figuras abaixo.
a) O retalho semicircular pode ser usado para a obtenção da tira? Justifique.
b) O retalho triangular pode ser usado para a obtenção da tira? Justifique.
6 cm

12 cm
RESOLUÇÃO:
a)

16 cm
A
6
B
10
5
C
No triângulo ABC temos que (AB)2 = (AC)2 + (BC)2  BC 
b)
6 2 – 5 2  BC  11 cm.
Portanto, o maior retângulo que podemos inscrever no setor circular tem medidas 10 cm 
mo 11 cm  2,5 cm, o retalho semicircular pode ser usado para obtenção da tira.
11 cm. Co-
A
6–x
D
B
6 cm
E
x

10 cm

C
16 cm

ADE ~ ABC:
6 – x 10
9

 x 
cm
6
16
4
Portanto, o maior retângulo que podemos inscrever no triângulo tem medidas 10 cm 
9
cm  2,5 cm, o retalho triangular não pode ser usado para a obtenção da tira.
4
RESPOSTA:
a) Sim.
b) Não.
9
cm. Como
4
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4. Laura decidiu usar sua bicicleta nova para subir uma rampa. As figuras abaixo ilustram a rampa que terá
que ser vencida e a bicicleta de Laura.
a) Suponha que a rampa que Laura deve subir tenha ângulo de inclinação , tal que cos(  )  0,99. Suponha, também, que cada pedalada faça a bicicleta percorrer 3,15 m. Calcule a altura h (medida com relação ao ponto de partida) que será atingida por Laura após dar 100 pedaladas.
b) O quadro da bicicleta de Laura está destacado na figura à direita. Com base nos dados da figura, e sabendo que a mede 22 cm, calcule o comprimento b da barra que liga o eixo da roda ao eixo dos pedais.
h

26°
24°
a
77°
30° b
RESOLUÇÃO:
a) De sen 2   cos 2   1, vem que sen 2   ( 0,99) 2  1; logo, sen   0,1.
No triângulo ABC, temos que:
B
h

A
C

AB = 100  3,15 = 315 m

sen  
h
AB

0,1 
h
315

h  31,5 m
b) Calculando os ângulos do quadro da bicicleta, temos a figura abaixo:
26°
75°
79°
24°
a = 22 cm
30°
77°
b

sen 75° = sen (30° + 45°) = sen 30° cos 45° + sen 45° cos 30° =

Aplicando a lei dos senos:

a
b

sen 30 sen 75
RESPOSTA:
a) 31,5 m.
b) 11( 2 
6) cm.

sen 75  a
b

sen 30
( 2 
4
6)
1
2
 22

1
2
2
3



2 2
2
2
b  11( 2 
6) cm

sen 75 
2 
4
6
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5. O valor presente, Vp, de uma parcela de um financiamento, a ser paga daqui a n meses, é dado pela
fórmula abaixo, em que r é o percentual mensal de juros (0  r  100) e p é o valor da parcela.
p
Vp 
n
r 

1

100 
a) Suponha que uma mercadoria seja vendida em duas parcelas iguais de R$ 200,00, uma a ser paga à
vista, e outra a ser paga em 30 dias (ou seja, 1 mês). Calcule o valor presente da mercadoria, Vp, supondo uma taxa de juros de 1% ao mês.
b) Imagine que outra mercadoria, de preço 2p, seja vendida em duas parcelas iguais a p, sem entrada, com
o primeiro pagamento em 30 dias (ou seja, 1 mês) e o segundo em 60 dias (ou 2 meses). Supondo, novamente, que a taxa mensal de juros é igual a 1%, determine o valor presente da mercadoria, Vp, e o
percentual mínimo de desconto que a loja deve dar para que seja vantajoso, para o cliente, comprar à
vista.
RESOLUÇÃO:
a) O valor presente da parcela a ser paga daqui a 1 mês é
200
(1  0,01)1
 198,02. Assim, o valor presente da
mercadoria é 200 + 198,02 = 398,02 reais.
p
p
b) O valor presente da mercadoria é

 0,99p + 0,98p =1,97p.
1
(1  0,01)
(1  0,01) 2
Desse modo, o percentual de desconto que a loja deve dar para que seja vantajoso para o cliente com2p – 1,97p 0,03
prar à vista deve ser superior a

 0,015  1,5%.
2p
2
RESPOSTA:
a) Aproximadamente R$ 398,02.
b) 1,97p; superior a 1,5%.
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6. Uma empresa fabricante de aparelhos que tocam músicas no
formato MP3 efetuou um levantamento das vendas dos modelos que
ela produz. Um resumo do levantamento é apresentado na tabela ao
lado.
Modelo
Preço
(R$)
Aparelhos
vendidos
(milhares)
A
150
78
a) Em face dos ótimos resultados obtidos nas vendas, a empresa reB
180
70
solveu sortear um prêmio entre seus clientes. Cada proprietário de
C
250
52
um aparelho da empresa receberá um cupom para cada R$ 100,00
gastos na compra, não sendo possível receber uma fração de
D
320
36
cupom. Supondo que cada proprietário adquiriu apenas um aparelho e que todos os proprietários resgataram seus cupons, calcule o
número total de cupons e a probabilidade de que o prêmio seja entregue a alguma pessoa que tenha adquirido um aparelho com preço superior a R$ 300,00.
b) A empresa pretende lançar um novo modelo de aparelho. Após uma pesquisa de mercado, ela descobriu que o número de aparelhos a serem vendidos anualmente e o preço do novo modelo estão relacionados pela função n(p) = 115 – 0,25p, em que n é o número de aparelhos (em milhares) e p é o preço de
cada aparelho (em reais).
Determine o valor de p que maximiza a receita bruta da empresa com o novo modelo, que é dada por n  p.
RESOLUÇÃO:
a) Cada comprador do modelo A recebeu 1 cupom; cada comprador do modelo B também recebeu 1
cu pom; cada comprador do modelo C recebeu 2 cupons e cada comprador do modelo D recebeu 3
cupons. Assim, o número total de cupons é 78 000 + 70 000 + 2  52 000 + 3  36 000 = 360 000.
3  36 000
3
A probabilidade pedida é

.
360 000
10
b) A receita bruta R em função do preço p é dada por R(p) = (115 – 0,25p)  p = –0,25 p2 + 115p, que atinge
–115
seu máximo para p 
 230.
2  (–0,25)
Assim, o valor de p que maximiza a receita é R$ 230,00.
RESPOSTA:
a) 360 000 cupons;
b) R$ 230,00
3
.
10
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7. Sejam dadas as funções f(x) = 8 / 42x e g(x) = 4x .
a) Represente a curva y = f(x) no gráfico abaixo, em que o eixo vertical fornece log2(y).
= g(y)
 f(z)
b) Determine os valores de y e z que resolvem o sistema de equações 
 f(y) / g(z) = 1
Dica: converta o sistema acima em um sistema linear equivalente.
RESOLUÇÃO:
log2(y)
a) y =
10
6
4
3
–2
–4
–6
–8
–10
= 23 – 4x. Assim, log2 y = log2 23 – 4x = 3 – 4x
 8 = 4 y + 2z


2y + z
8 = 4
RESPOSTA: a) Gráfico.
2
0
(2 2 ) 2x
 8
y
 4 2z = 4
b) 

8
z

=
4
 4 2y
8
–1
23
b) y = z =
31
4
2
3
x
1
2
 2 3 = 2 2y + 4z

 3
4y + 2z
2 = 2
 2y + 4z = 3
1
y=z=

4y
+
2z
=
3
2

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A
8. O papagaio (também conhecido como pipa, pandorga ou arraia) é um brin-
B
RESOLUÇÃO:
A
S=
E
D
B
cm
30° 30°
cm
50
O
C
RESPOSTA:
a) 625( 3 + 1) cm2.
b)
25 2
cm.
2
50 2  3
= 625 3 cm2
4
DB = 50 cm, DE = AE = 25 cm.
ADB é retângulo e isósceles e sua área é: S =
R
50
R
C
a) DCB é equilátero de lado 50 cm e sua área é:
45° 45°
30°
50
cm
b) Calcule o comprimento da vareta de bambu que liga os pontos B e D.
D
50
a) Calcule a área do quadrilátero de papel que forma o papagaio.
45°
cm
quedo muito comum no Brasil. A figura ao lado mostra as dimensões de um papagaio simples, confeccionado com uma folha de papel que tem o formato do
quadrilátero ABCD, duas varetas de bambu (indicadas em cinza) e um pedaço
de linha. Uma das varetas é reta e liga os vértices A e C da folha de papel. A outra, que liga os vértices B e D, tem o formato de um arco de circunferência e tangencia as arestas AB e AD nos pontos B e D, respectivamente.
1
 50  25 = 625 cm2
2
A área do quadrilátero é A = 625 3 + 625 = 625( 3 + 1) cm2
b) A vareta de bambu que liga os pontos B e D é um arco de circunferência de
centro no ponto O (ver figura), raio R = 25 2 e ângulo central de 90°. Seu
90
comprimento é C =
 2 (25 2).
360
25 2
cm.
C=
2
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a11 a12 a13 
9. Considere a matriz A = a 21 a 22 a 23 , cujos coeficientes são números reais.
a 31 a 32 a 33 
a) Suponha que exatamente seis elementos dessa matriz são iguais a zero. Supondo também que não há
nenhuma informação adicional sobre A, calcule a probabilidade de que o determinante dessa matriz não
seja nulo.
b) Suponha, agora, que aij = 0 para todo elemento em que j > i, e que aij = i – j + 1 para os elementos em
que j  i. Determine a matriz A, nesse caso, e calcule sua inversa, A–1 .
RESPOSTA:
a) Os 3 elementos diferentes de zero podem ocupar quaisquer 3 das 9 posições da matriz e isto pode ser
9 8 7
= 84 modos.
feito de C9,3 =
3!
Para que tenhamos det A  0 é necessário que todas as filas de A sejam não nulas. Como temos somente 3 elementos diferentes de zero, devemos dispor cada um deles em cada uma das linhas da matriz A,
de modo que cada um fique em uma das colunas. Assim, o elemento diferente de zero que ocupar a primeira linha tem 3 posições possíveis. Colocado o da primeira. linha, o da segunda linha tem 2 posições
possíveis e o da terceira terá tem 1 posição possível.
Temos então 3  2  1 = 6 formas de se obter det A  0.
6
1
Logo, a probabilidade pedida é
= .
84 14
b) Temos a12 = a13 = a23 = 0 e os demais elementos valem:
a11 = 1 – 1 + 1 = 1
a 31 = 3 – 1 + 1 = 3
a 21 = 2 – 1 + 1 = 2
a 32 = 3 – 2 + 1 = 2
a 22 = 2 – 2 + 1 = 1
a 33 = 3 – 3 + 1 = 1
–1
Sendo A
a b c 
 1 0 0  a b c   1 0 0



 
 

–1
=  d e f , temos A  A = I   2 1 0    d e f  =  0 1 0 . Daí:
g h i 
 3 2 1  g h i   0 0 1



 
 

a = 1, b = 0, c = 0.
2a + d = 0  d = –2
2b + e = 1  e = 1
2c + f = 0  f = 0
 3a + 2d + g = 0  g = 1
3b + 2e + h = 0  h = –2
3c + 2f + i = 1  i = 1
RESPOSTA:
1
a)
14


 1 0 0
 1 0 0




–1
b) A =  2 1 0  e A =  –2 1 0 .
 1 –2 1
 3 2 1




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10. Suponha que f : IR  IR seja uma função ímpar (isto é, f(–x) = –f(x)) e periódica, com período 10 (isto é,
f(x) = f(x + 10)). O gráfico da função no intervalo [0, 5] é apresentado abaixo.
a) Complete o gráfico, mostrando a função no intervalo [–10, 10], e calcule o valor de f(99).
b) Dadas as funções g(y) = y2 – 4y e h(x) = g(f(x)), calcule h(3) e determine a expressão de h(x) para 2,5  x  5.
RESOLUÇÃO:
f(x)
5
–10
–5
0
–5
5
10
x
a) Como f é ímpar, o gráfico em [–5, 0] é o simétrico,
em relação à origem, do gráfico em [0, 5]. Por ser
periódica, de período 10, em [–5, 5] temos um período completo, o que permite construir a continuação do gráfico para a direita ou para a esquerda. Como o período é 10, temos também:
f(99) = f(89) = f(79) = ... = f(9) = f(–1)
 5 5
 5
Como no intervalo – ,  f é linear com f   = 5,
 2 2
 2
temos f(x) = 2x. Então, f(–1) = –2, logo f(99) = –2.
b) Para 2,5  x  5, temos f(x) = –2x + 10. Assim: h(3) = g(f(3)) = g(4) = 42 – 4  4 = 0.
h(x) = g(f(x)) = [f(x)]2 – 4  f(x) = (–2x + 10)2 – 4 (–2x + 10) = 4x2 – 32x + 60
RESPOSTA:
a) gráfico; –2.
b) 0; h(x) = 4x2 – 32x + 60.
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11. No desenho abaixo, a reta y = ax (a > 0) e a reta que passa por B e C são perpendiculares,
interceptando-se em A. Supondo que B é o ponto (2, 0), resolva as questões abaixo.
y
a) Determine as coordenadas do ponto C em função de a.
b) Supondo, agora, que a = 3, determine as coordenadas do ponto A e a equação
da circunferência com centro em A e tangente ao eixo x.
C
RESOLUÇÃO:
M a 
–1

OA
a) 
  M 


a
BC
OA  BC

 A equação de BC é y – 0 =
 2
Logo, C =  0,  .
 a

A
–1
2
(x – 2). Fazendo x = 0, temos y = .
a
a
O

–1
(x – 2).
3
 As coordenadas do ponto satisfazem:
b)  OA: y = 3x e BC: y =
 y  3x
1
3


 1 3
 x 
e y  . Logo, A =  ,  .

–1
5
5

 5 5
 y  3 (x – 2)
3
A circunferência centrada em A e tangente ao eixo x possui raio igual a . Logo, sua equação é
5
2
2
1
3
9


.
x –   y –  
5
5
25


RESPOSTA:
 2
a) C  0, 
 a
2
2
3
9
1
 1 3 

b) A  ,  ;  x –    y –  
.
5
25
5
 5 5 

y=
B
ax
x
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12. Dois sites de relacionamento desejam aumentar o número de integrantes usando estratégias
agressivas de propaganda.
O site A, que tem 150 participantes atualmente, espera conseguir 100 novos integrantes em um período
de uma semana e dobrar o número de novos participantes a cada semana subsequente. Assim, entrarão
100 internautas novos na primeira semana, 200 na segunda, 400 na terceira, e assim por diante.
Por sua vez, o site B, que já tem 2 200 membros, acredita que conseguirá mais 100 associados na primeira semana e que, a cada semana subsequente, aumentará o número de internautas novos em 100 pessoas. Ou seja, 100 novos membros entrarão no site B na primeira semana, 200 entrarão na segunda, 300
na terceira, etc.
a) Quantos membros novos o site A espera atrair daqui a 6 semanas? Quantos associados o site A espera
ter daqui a 6 semanas?
b) Em quantas semanas o site B espera chegar à marca dos 10 000 membros?
RESOLUÇÃO:
a) O número de novos participantes do site A, na n-ésima semana, é dado por 100  2n–1. Desta forma, na
sexta semana, o site atrairá 100  26 – 1 = 3 200 membros.
A quantidade de associados daqui a 6 semanas será:
150 + 100 + 200 + 400 + 800 + 1 600 + 3 200 = 6 450
b) A quantidade de associados ao site B daqui a n semanas é dada por:
2 200 + 100 + 200 + 300 + ... + 100n
Temos: 2 200 + 100(1 + 2 + 3 + ... + n) = 10 000  100(1 + 2 + 3 + ... + n) = 7 800 
(n  N)
(1+ n)  n
= 78  (n + 1)  n = 156 = 13  12  n = 12

2
RESPOSTA:
a) 3 200; 6 450.
b) 12 semanas.