Problemas de Sistemas e Sinais
Transformadas de Fourier
1. Considere um sinal x definido por:
∀t ∈ ’, x(t) = sin(ω0 t)
Mostre que a sua CTFT pode ser expressa por:
∀ω ∈ ’, X(ω) = − jπ[δ(ω − ω0 ) − δ(ω + ω0 )]
2. Considere um sinal contı́nuo x com transformada de Fourier X. Sendo y:
∀t ∈ ’, y(t) = x(at)
em que a é um número real. Mostre que a transformada de Fourier de y é:
∀ω ∈ ’, Y(ω) =
1
X(ω/a)
|a|
3. Calcule a equação e desenhe o gráfico de amplitude das transformadas de Fourier dos seguintes sinais
contı́nuos:
(a) ∀t ∈ ’, xa (t) = e−2(t−1) u(t − 1)
(b) ∀t ∈ ’, xb (t) = e−2|t−1|
4. Calcule a transformadas de Fourier dos seguintes sinais discretos:
(a) ∀n ∈ š, xa (n) =
(b) ∀n ∈ š, xb (n) =
n−1
1
2
u(n − 1)
|n−1|
1
2
5. Determine a equação dos sinais contı́nuos cuja transformada de Fourier vale:
(a) ∀ω ∈ ’:
X1 (ω) = 2πδ(ω) + πδ(ω − 4π) + πδ(ω + 4π)
(b) ∀ω ∈ ’:



−2, −2 ≤ ω < 0




X2 (ω) = 
2,
0≤ω≤2




0,
|ω| > 2
6. Determine a equação dos sinais discretos cuja transformada de Fourier vale:
(a) ∀ω ∈ ’:
X1 (ω) =
+∞
X
(2πδ(ω − 2πk) + πδ(ω − π/2 − 2πk) + πδ(ω + π/2 − 2πk))
k=−∞
1
(b) ∀ω ∈ ’:



0<ω≤π
2 j,
X2 (ω) = 

−2 j, −π < ω ≤ 0
7. Sabendo que a transformada de Fourier do sinal contı́nuo x(t) é X(ω), expresse a transformada dos seguintes
sinais em termos de X(ω):
(a) x1 (t) = x(1 − t) + x(−1 − t)
(b) x2 (t) = x(3t − 6)
(c) x3 (t) =
d2
x(t
dt2
− 1)
8. Sabendo que a transformada de Fourier do sinal discreto x(n) é X(ω), expresse a transformada dos seguintes
sinais em termos de X(ω):
(a) x1 (n) = x(1 − n) + x(−1 − n)
(b) x2 (n) = 12 (x∗ (−n) + x(n))
(c) x3 (n) = (n − 1)2 x(n)
9. Considere um sistema linear e invariante no tempo, causal e com resposta em frequência:
H(ω) =
1
jω + 3
Observou-se que para uma dada entrada x(t) a saı́da do sistema valia:
y(t) = e−3t u(t) − e−4t u(t)
Determine a entrada x(t).
10. Considere um sistema linear e invariante no tempo, causal caracterizado pela seguinte equação às diferenças:
1
1
y(n) − y(n − 1) − y(n − 2) = x(n)
6
6
(a) Determine a sua resposta em frequência H(ω).
(b) Determine a sua resposta impulsiva.
11. Considere um sinal discreto x com transformada de Fourier X. Mostre que cada um dos sinais seguintes tem
a transformada de Fourier indicada.
(a) Se y1 for:



 x(n/N) n = kN
∀n ∈ š, y1 (n) = 

0
caso contrário
em que k e N são inteiros. A transformada de Fourier de y1 vale:
∀ω ∈ ’, Y1 (ω) = X(ωN)
(b) Se y2 for:
∀n ∈ š, y2 (n) = x(n)e jαn
em que α é um número real. A transformada de Fourier de y2 vale:
∀ω ∈ ’, Y2 (ω) = X(ω − α)
(c) Se y3 for:
∀n ∈ š, y3 (n) = x(n) cos(αn)
em que α é um número real. A transformada de Fourier de y3 vale:
∀ω ∈ ’, Y3 (ω) = (X(ω − α) + X(ω + α))/2
2