Princípios de Comunicações
Prof. Daniel Hasse
AULA 03
Análise de Fourier
Prof. Daniel Hasse
Sinais e espectros
• Os sinais são compostos de várias
componentes senoidais (Série de Fourier)
• Generalização → Transformada de Fourier
Aplicações
• A análise da largura de faixa permitirá o
dimensionamento do sistema e o seu
adequado projeto.
• Determinação da distribuição espectral de
um sinal de microondas e do ângulo de
chegada, através de uma transformada de
Fourier espacial.
Operação transformada
• A fim de se realizar uma operação de
transformação, deve-se inicialmente modelar
matematicamente o sinal.
•
-
Objetivo:
Série de Fourier;
Transformada de Fourier;
Relação entre ambas.
Série de Fourier
- Nivelamento de conhecimento:
1) Características dos sinais periódios;
2) Números complexos;
3) Fasores;
4) Espectros.
Sinais Periódicos





Sinais periódicos são aqueles que se repetem ao
longo do tempo.
Deve obedecer a propriedade: g(t )= g(t + T)
O valor T é chamado período.
O período representa o menor intervalo de
tempo no qual o sinal se repete.
Também definimos a amplitude de pico ou
amplitude máxima (sempre positiva).
Sinais Periódicos

A quantidade de vezes por segundo que o sinal se
repete é chamada de freqüência.

Definimos:

O deslocamento de um sinal em relação a outro é
chamado de fase ou defasagem.
A defasagem pode ser expressa em unidades de
tempo ou de ângulo.

Função Seno: A⋅sen(ω⋅t+Φ)
Função Seno
Cálculo de Defasagem
Cálculo de Defasagem
Co-Seno: A⋅cos(ω⋅t+Φ)
Domínio da Freqüência


O eixo horizontal (variável) representa a
freqüência de um sinal.
Por exemplo, gráfico da amplitude em
função da freqüência.
Espectro Unilateral de
Amplitude


Espectro  Gráfico da amplitude em
função da freqüência.
Exemplo
Fasores e espectro de linhas
• Seja um sinal senoidal dado pela seguinte
expressão:
v( t ) = A cos(ωo t + φ)
• Utilizando-se da relação de Euler, tal que:
jθ
e = cos(θ) + j sen(θ)
Representação fasorial
• Podemos expressar o sinal senoidal por um
fasor, tal como na figura abaixo:
Espectro de amplitudes e
espectro de fases
• Alternativamente, pode-se representar o
sinal senoidal pelos seus espectros de
amplitudes e de fases, tal como na figura.
Espectro de linhas ou de raias: (a) espectro de amplitudes; (b) espectro
de fase
• Observações:
i. A amplitude (magnitude), no espectro de amplitudes, deve
ser sempre positiva . Assim, um sinal descrito por v(t ) = − A cos(ω 0 t + φ )
deve ser re-escrito como v(t ) = A cos(ω0 t + φ ± π) . É indiferente
se é utilizado +π ou -π.
ii. φ tem a dimensão radianos e, portanto, a fase deve ser
expressa em radianos. Lembrar que ω = 2.π.f em rad/s e f
em Hz.
iii. Ângulos e rotação positiva são medidos a partir do eixo
real, no sentido anti-horário.
iv. Formas de onda cosseno e seno são genericamente
denominadas de forma de onda senoidais. Lembrar que
, ou seja, o sinal seno é um
sen (ωt) = cos(ωt− π / 2)
sinal cosseno atrasado de π/2 (ou, 900 ).
Exemplo
• Dado o sinal:
s (t ) = 7 − 10 cos(40π t − 60° ) + 4sen(120π t )
• Cuja forma de onda é:
• Determinar o seu espectro de freqüência
(amplitude e fase)
Solução
• O sinal pode ser reescrito como:
s( t ) = 7 cos(2π0 t ) + 10 cos(2π20 t + 120°) + 4 cos(2π60 t − 90°)
• Assim, o seu espectro de freqüências será:
Atenção!
A Série de Fourier aplica-se
somente a sinais
periódicos!
Tabela de Séries de Fourier
Tabela de Séries de Fourier
Tabela de Séries de Fourier
Exemplos
Exemplos
m(t)= Adc+ A1⋅cos(ω1⋅t)+ A2⋅cos(ω2⋅t)
Exemplo 1
• Determinar a série de Fourier do sinal
− 1
f (t) = 
1,
- T/2 < t < 0
0 < t < T/2
• Cujo gráfico em função do tempo é dado
por:
2
1.5
1
0.5
0
-0.5
-1
-1.5
-2
-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
Exemplo 1
• Como o sinal é periódico, é possível o
cálculo da série de Fourier.
•
A tarefa é portanto o cálculo dos
coeficientes da série de Fourier, lembrando
que:
2
T
an =
2
∫ f (t ). cos(nω t )dt
T −T
0
n = 0,1,2,...
2
T
2 2
b n = ∫ f ( t ).sin (nω0 t )dt n = 1,2,...
T −T
2
T
2 2
a 0 = ∫ f ( t )dt
T −T
2
Exemplo 1
• Cálculo do a0 e an
T
0

2


2
2
a 0 = ∫ f ( t ).dt =  ∫ − 1.dt + ∫ 1.dt  = 0
T T
T T

0
−
−
2
 2

T
2
T
0

2


2
2
a n = ∫ f ( t ). cos(nω0 t ).dt =  ∫ − 1. cos(nω0 t ).dt + ∫ 1. cos(nω0 t ).dt  =
T T
T T

0
−
2
−2

T
2
0
=
T
2


2
1
2 1
 −
sin (n.ω0 .t )  + 
sin (n.ω0 .t ) 
T  n.ω0
 −T T  n.ω0
0
2
Lembrando que ω0 =
an = 0 ∀ n ∈ N
2π
, a integral acima é nula. Portanto :
T
Exemplo 1
• Cálculo de bn
T
0

2


2
2
b n = ∫ f ( t ).sin (nω0 t )dt =  ∫ − 1.sin (nω0 t ).dt + ∫ sin (nω0 t ).dt  =
T T
T T

0
−
2
−2

T
2
T
2
0


2 1
2 1

cos(nω0 t )  +  −
cos(nω0 t )  =
T  nω0
 − T T  nω0
0
2
0, se n par
2

(1 − cos(nπ)) =  4
nπ
 nπ , se n ímpar
Exemplo 1
• A série de Fourier fica então assim:
sin (3ω0 t ) sin (5ω0 t )
4 ∞ 1
4

ω
=
ω
+
+
+
f (t) =
sin
(
n
t
)
sin
(
t
)
...


∑
0
0
π n =ímpar n
π
3
5

• A seguir façamos uma análise da série de
Fourier tomando-se um número de termos
cada vez maior
Exemplo 1
• Supondo uma onda quadrada de freqüência
angular ω=2π rad/s e tomando-se somente o
primeiro termo da série de Fourier,
4
tem-se a seguinte forma de onda: f ( t ) = sin (2πt )
π
1.5
1
0.5
0
-0.5
-1
-1.5
-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
Exemplo 1
• Tomando-se os dois primeiros termos:
4
sin (6πt )
f ( t ) = (sin (2πt ) +
)
π
3
• Cuja forma de onda é:
1.5
1
0.5
0
-0.5
-1
-1.5
-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
Exemplo 1
• Tomando-se os três primeiros termos
4
sin (6πt ) sin (10πt )
f ( t ) = (sin (2πt ) +
+
)
π
3
5
• Cuja forma de onda é:
1.5
1
0.5
0
-0.5
-1
-1.5
-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
Exemplo 1
• Tomando-se os 5 primeiros termos
f (t) =
4
sin (6πt ) sin (10πt ) sin (14πt ) sin (18πt )
(sin (2πt ) +
+
+
+
)
π
3
5
7
9
• Cuja forma de onda é dada por:
1.5
1
0.5
0
-0.5
-1
-1.5
-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
Exemplo 2
• Determinar a série de Fourier da função f(t)
definida por:
0,

f (t) =  1
 π t ,
1.5
1
0.5
0
-0.5
-8
-6
-4
-2
0
2
4
6
8
-π < t < 0
0<t<π
Determinação dos coeficientes
an e b n
a0 1
=
2 T
T
2
1
∫T f (t ).dt = 2π
−
π 1
 1
 ∫ t.dt  =
 π
 4
0

2
T
2
π

2
2  1
 ∫ t. cos(nω0 t ).dt  =
a n = ∫ f ( t ). cos(nω0 t ).dt =

T T
2π  0 π

−
2
π
π
 t

 1 
 =
−
sin
(
n
.
t
)
sin
(
n
.
t
)
dt
)



∫


n
n
0

0

1
1
π
(
)
=
cos(
n
.
t
)
(cos(nπ) − 1)
0
2 2
2 2
πn
πn
1
= 2
π
0, se n par

an =  2
- π 2 n 2 , se n ímpar
Determinação dos coeficientes
a n e bn
T
2
π

2
2  1
 ∫ t.sin (nω0 t ).dt  =
b n = ∫ f ( t ).sin (nω0 t ).dt =

T T
2π  0 π

−
2
π
π
 t

 1 
 − cos(n.t )  +  ∫ cos(n.t )dt )  =
0 n  0
 n

1
1
cos(nπ) = − (−1) n
−
πn
πn
1
= 2
π
• Tomando-se os seis primeiros termos em
senos e cossenos, tem-se que:
f (t ) =
−
1 2 
cos(3t ) cos(5t ) cos(7t ) cos(9t ) cos(11t ) 
− 2  cos(t ) +
+
+
+
+
−
4 π 
9
25
49
81
121 
1
sin( 2t ) sin(3t ) sin( 4t ) sin(5t ) sin(6t ) 
−
+
−
+

 − sin(t ) +
π
2
3
4
5
6 
• Cuja forma de onda é dada por:
1.5
1
0.5
0
-0.5
-8
-6
-4
-2
0
2
4
6
8
• Tomando-se mais termos, tem-se o gráfico
abaixo, onde se pode observar o efeito de
Gibbs nas transições da função.
Generalização




A generalização da Série de Fourier é a
Transformada de Fourier.
Pode ser usada com sinais periódicos e
não-periódicos.
Pode ser visto como um caso particular da
Transformada de Laplace com s=j⋅ω
Se o sinal no tempo for não-periódico, o
espectro será contínuo.
Exemplo
Transformada de Fourier
Definição

Definimos a Transformada e a Transformada
Inversa de Fourier por:
Exemplo 1
Achar a FT de um pulso exponencial
−t
=
e
unilateral dado por f (t)
⋅u(t) .
Exemplo 1
Exemplo 2
Achar a FT de um pulso retangular dado por:
Exemplo 2
Tabela de
Transformada de Fourier
Tabela de
Transformada de Fourier
Características da
Transformada de Fourier

A Transformada é uma função complexa,
ou seja, tem parte real e parte imaginária.

Ela mostra o comportamento de um sinal
com a freqüência.
O gráfico de f (t ) e de F (ω ) representam o
mesmo sinal, porém vistos de formas
diferentes.

Transformada de Fourier
Aplicações
•Circuitos elétricos.
•Filtros elétricos, eletrônicos, mecânicos e digitais.
•Sistemas de comunicação.
•Engenharia biomédica.
•Astrônomia.
•Sismologia.
•Vibro-acústica.
•Finanças, óptica, radares, ….
Transformada de Fourier
Propriedades
Transformada de Fourier
Propriedades
Transformada de Fourier
Propriedades