A Transformada de Co-seno
Discreta (DCT)
 A DFT é um exemplo de uma classe mais geral
de transformadas:
N 1
A[k ]   x[ n] [n]
*
k
n 0
1
x[ n] 
N
N 1
 A[k ] [n]
k
k 0
Para a DFT temos:
 k [ n]  e
2
1, m  k
1 N 1
*
k [n]m [n]  

N n0
0, m  k
Bases da
transformada
Outra transformada:
kn
j
N
DCT
1
A transformada de Co-seno
Discreta (DCT)
 As bases da transforma são co-senos
 Implica periodicidade e simetria
O resultado da transforma é uma função real
2
Definições da DCT
 A DCT resulta da expansão de uma sequência
finita em sequência periódicas e simétricas.
DCT-1
DCT-2
DCT-3
DCT-4
Existem outras formas de
estender x[n].....
3
DCT-1
~
x1 [n]  x [(( n)) 2 N 2 ]  x [(( n)) 2 N 2 ]
x [n]   [n]x[n]
1 / 2 n  0 e N  1
1 n  N  2
 1
 [ n]  
  kn 
X [k ]  2[n]x[n] cos
, 0  k  N  1
 N 1 
n0
N 1
c1
1 N 1
  kn 
c1
x[n] 

[
k
]
X
[
k
]
cos

 0  n  N 1

N  1 k 0
 N 1 
4
DCT-2
~
x2 [n]  x[(( n)) 2 N ]  x[(( n  1)) 2 N ]
  k (2 n  1) 
X [k ]  2 x[n] cos
, 0  k  N  1
2N


n0
N 1
c2
1
x[n] 
N
N 1
k 0
1 / 2
 1 1  k  N 1
 [k ]  
  k (2n  1) 
 0  n  N 1
2N


  [k ]X c2[k ] cos
k 0
5
Relações da DCT-1 com a DFT
~
x1 [n]  x [(( n)) 2 N 2 ]  x [(( n)) 2 N 2 ]
X c1[k ]  X 1[k ]  X  [k ]  X * [k ]  2 Re[ X  [k ]]
X  [k ]  FT [ x [(( n)) 2 N 2 ]]
DCT-1
Extensão de xa
com N-2 zeros
6
Relações da DCT-2 com a DFT
~
x2 [n]  x[(( n)) 2 N ]  x[(( n  1)) 2 N ]
X 2 [ k ]  X [ k ]  X [ k ]e
*
e
j
k
2N
2 Re X [k ]
j 2
k
2N
e
j
k
2N
k
k

 j
j
 X [k ]e 2 N  X *[k ]e 2 N


DCT-2




Extensão de xa
com N zeros
X [k ]  DFT[ x[((n))2N ]]
7
Propriedade de Compactação de
Energia de DCT-2
 Para muitos sinais práticos a energia dos
coeficientes no domínio da DCT está mais
compactada.
Tempo
DCT-2
8