Integração por Partes
Em geral, não é verdade que
Proposição: Temos,
Exemplo 1:
u = x Þ du = dx
dv = cos(x)dx Ü v = sen(x)
I = x.sen(x) + cos(x) + C
Exemplo 2:
u = x2 + 3x Þ du = (2x + 3)dx
u = 2x + 3 Þ du = 2.dx
dv = cos(x)dx Ü v = sen(x)
(Tente inverter a escolha. O que acontece?)
dv = sen(x)dx Ü v = -cos(x)
Observação 1: De modo geral, em integrais das formas
onde f(x) é um polinômio, usamos a integração por partes fazendo, respectivamente,
u = f(x) Þ du = f´(x).dx
dv = cos(x)dx Ü v = sen(x) ou
u = f(x) Þ du = f´(x).dx
dv = sen(x)dx Ü v = -cos(x)
Exemplo 3:
u = x Þ du = dx
dv = exdx Ü v = e
Observação 2: De modo geral, em integrais da forma
onde f(x) é um polinômio tomamos
u = f(x) Þ du = f´(x).dx
dv = axdx Ü v = ax/ln(a)
Exemplo 4:
u = ln(x) Þ du = dx/x
dv = dx Ü v = x
Exemplo 5:
u = ln(x) Þ du = dx/x
dv = dx Ü v = x
Observação 3: De modo geral, em integrais da forma
onde f(x) é uma função polinomial, tomamos
dv = f(x) Ü v = uma primitiva de f(x)
Exemplo 6:
u = arctg(x) Þ du = dx/(x2 +1)
dv = dx Ü v = x
Exemplo 7:
u = arctg(x) Þ du = dx/(x2 +1)
dv = dx Ü v = x
Exemplo 8:
dv = dx Ü v = x
Exemplo 9:
u = eax Þ du = a.eax.dx
u = eax Þ du = a.eax.dx
Exemplo 10:
Apêndice
Demonstração da proposição:
(u.v)´= u´.v + u.v´ Þ