Questão 1
Um tapete deve ser bordado sobre uma tela
de 2 m por 2 m, com as cores marrom, mostarda, verde e laranja, da seguinte forma: o
padrão quadrado de 18 cm por 18 cm, mostrado abaixo, será repetido tanto na horizontal quanto na vertical; e uma faixa mostarda,
de 5 cm de largura, será bordada em toda a
volta do tapete, como na figura.
b) A área mostarda no padrão é igual à área de
dois triângulos de base 6 e altura 9, ou seja,
6 ⋅9
2 ⋅
= 54.
2
A borda tem área igual à diferença entre as áreas
de quadrados de lados 190 cm e 180 cm, ou seja,
190 2 − 180 2 = (190 − 180)(190 + 180) =
= 3 700 cm 2 .
Logo a área mostarda total no tapete é 3 700 +
9 100
= 22,75 , o
+ 100 ⋅ 54 = 9 100 cm 2 e, sendo
400
número mínimo de novelos procurado é 23.
Questão 2
Um comerciante compra calças, camisas e
saias e as revende com lucro de 20%, 40% e
30% respectivamente. O preço x que o comerciante paga por uma calça é três vezes o
que ele paga por uma camisa e duas vezes o
que ele paga por uma saia.
Um certo dia, um cliente comprou duas calças, duas camisas e duas saias e obteve um
desconto de 10% sobre o preço total.
a) Quanto esse cliente pagou por sua compra,
em função de x?
b) Qual o lucro aproximado, em porcentagem,
obtido pelo comerciante nessa venda?
a) Qual o tamanho do maior tapete quadrado,
como descrito acima, que pode ser bordado na
tela? Quantas vezes o padrão será repetido?
b) Se com um novelo de lã pode-se bordar
400 cm 2 , qual é o número mínimo de novelos
de lã mostarda necessário para confeccionar
esse tapete?
Resposta
a) Para obtermos um tapete quadrado, utilizamos
n 2 cópias do padrão, n ∈ N ∗ . Considerando ainda
a borda de 5 cm, obtemos um tapete quadrado de
lado 18n + 2 ⋅ 5 cm, que deve ser menor ou igual
do que 2 m = 200 cm.
Assim, 18n + 2 ⋅ 5 ≤ 200 ⇔ n ≤ 10 e, portanto, o
maior tapete quadrado que pode ser bordado na
tela tem lado 18 ⋅ 10 + 2 ⋅ 5 = 190 cm. O padrão
será repetido n 2 = 100 vezes.
Resposta
O preço pago pelo comerciante por uma camisa é
x
x
e por uma saia é .
3
2
a) O comerciante vende cada calça por
x(1 + 20%) = 1,2x , cada camisa por
x
1,4x
e cada saia por
(1 + 40%) =
3
3
x
1,3x
.
(1 + 30%) =
2
2
Assim, na compra, considerando o desconto de
10% dado, o cliente pagou
1,4x
1,3x ⎞
⎛
+2 ⋅
⎜ 2 ⋅ 1,2x + 2 ⋅
⎟ ⋅ (1 − 10%) =
⎝
3
2 ⎠
= 4,17x.
b) O comerciante pagou, pelas 2 calças, 2 camix
x
11x
.
sas e 2 saias, 2 ⋅ x + 2 ⋅
+2 ⋅
=
3
2
3
matemática 2
4,17x −
A porcentagem de lucro obtida é
≅ 13,73% sobre o preço de custo.
11x
3
11x
3 ≅
Temos área OBC = 3 ⋅ área OAB ⇔
BC ⋅ OA
AB ⋅ OA
=3 ⋅
⇔ BC = 3AB. Logo
⇔
2
2
AC = BC − AB = 3AB − AB = 2AB.
Pelas relações métricas no triângulo retângulo
OBC, OA 2 = AB ⋅ AC ⇔ OA 2 = AB ⋅ 2AB ⇔
⇔ OA = AB 2 .
Questão 3
Logo, no triângulo OAB, tg α =
Uma função f satisfaz a identidade f(ax) = af(x)
para todos os números reais a e x. Além disso, sabe-se que f(4) = 2. Considere ainda a
função g(x) = f(x − 1) + 1 para todo número
real x.
a) Calcule g(3).
b) Determine f(x), para todo x real.
c) Resolva a equação g(x) = 8.
Resposta
⎛1
⎞
a) g(3) = f(3 − 1) + 1 = f(2) + 1 = f ⎜ ⋅ 4 ⎟ + 1 =
⎝2
⎠
1
1
=
⋅ f(4) + 1 =
⋅ 2 +1 = 2
2
2
b) Substituindo a por 4, temos:
f(4x) = f(x ⋅ 4) ⇔ 4 ⋅ f(x) = x ⋅ f(4) ⇔
x
⇔ 4 ⋅ f(x) = x ⋅ 2 ⇔ f(x) =
2
x −1
c) g(x) = 8 ⇔ f(x − 1) + 1 = 8 ⇔
=7 ⇔
2
⇔ x = 15
V = {15}
Questão 4
=
AB
AB
=
=
OA
AB 2
2
e, portanto, o coeficiente angular de s é
2
2
.
2
Questão 5
Na figura abaixo, O é o centro da circunferência de raio 1, a reta AB é secante a ela, o
3
ângulo β mede 60o e sen α =
.
4
$ em função de AB.
a) Determine sen OAB
b) Calcule AB.
Resposta
A reta s passa pela origem O e pelo ponto A
do primeiro quadrante. A reta r é perpendicular à reta s, no ponto A, e intercepta o eixo
x no ponto B e o eixo y no ponto C. Determine
o coeficiente angular de s se a área do triângulo OBC for o triplo da área do triângulo OAB.
Resposta
a) Aplicando a lei dos senos ao triângulo OAB,
OB ⋅ sen α
AB
OB
$
=
⇔ sen(OAB)
=
=
$
sen α
AB
sen(OAB)
=
3
.
4 ⋅ AB
$
b) Poderíamos também ter calculado sen(OAB)
considerando a figura a seguir:
Como o triângulo BOC é isósceles e
$
m (BOC)
= 60o , este triângulo é eqüilátero e, as$
sim, m (OBA)
= 180 o − 60o = 120o .
matemática 3
Logo m (OÂB) = 60o − α e sen(OÂB) =
o
o
o
= sen(60 − α) = sen 60 ⋅ cos α − sen α ⋅ cos60 =
=
⎛ 3 ⎞
3
⎟
⋅ 1−⎜
2
⎝ 4 ⎠
Assim,
2
−
3 1
3
⋅
=
⋅ ( 13 − 1).
4
2
8
3
3
=
⋅ ( 13 − 1) ⇔
4 ⋅ AB
8
⇔ AB =
2
13 + 1
⋅
=
13 − 1
13 + 1
13 + 1
.
6
Questão 6
Um torneiro mecânico dispõe de uma peça de
metal maciça na forma de um cone circular
reto de 15 cm de altura e cuja base B tem
raio 8 cm (Figura 1). Ele deverá furar o cone,
a partir de sua base, usando uma broca, cujo
eixo central coincide com o eixo do cone. A
broca perfurará a peça até atravessá-la completamente, abrindo uma cavidade cilíndrica,
de modo a obter-se o sólido da Figura 2. Se a
área da base deste novo sólido é 2/3 da área
de B , determine seu volume.
Sejam B’ a base do cilindro retirado, h, a altura
do cone menor e Ab , a área de B. Como a área
2
da base do novo sólido é da área de B , a área
3
2
1
de B’ é Ab −
A . Assim, a razão de
A =
3 b
3 b
semelhança k entre as medidas dos cones me1
Ab
1
2
3
.
nor e maior é tal que k =
⇔k =
Ab
3
Assim,
a
altura
do
cilindro
é
1
15 − h = 15 − 15k = 15 − 15 ⋅
=
3
= 5(3 − 3 ) cm.
1
1
Sendo V =
π ⋅ 8 2 ⋅ 15 =
A ⋅ 15 =
3 b
3
= 320 π cm 3 o volume do cone maior, o volume do
novo sólido é dado por:
V − Vcone menor − Vcilindro =
⎛1
⎞
= V − k 3V − ⎜ Ab ⎟ ⋅ 5(3 − 3 ) =
⎝3
⎠
320 π
1
= 320 π −
−
⋅ 64 π ⋅ 5 ⋅ (3 − 3 ) =
3
3 3
640 3 π
=
cm 3
9
Questão 7
No paralelogramo ABCD abaixo, tem-se que
$ = 30o. Além disso, sabe-se que
AD = 3 e DAB
o ponto P pertence ao lado DC e à bissetriz
do ângulo DÂB.
Resposta
Observe a figura:
a) Calcule AP.
b) Determine AB sabendo que a área do quadrilátero ABCP é 21.
Resposta
30o
= 15 o e,
2
$ = m (PAB)
$
sendo AB//CD, m (DPA)
= 15 o (alternos internos). Logo o triângulo APD é isósceles
com DP = AD = 3 .
$
$
a) Temos m (DAP)
= m (PAB)
=
matemática 4
Sendo M o ponto médio de AP, AM = MP =
= AD cos15 o = 3 ⋅ cos(45 o − 30o ) =
= 3 ⋅ (cos 45 o ⋅ cos 30o + sen 45 o ⋅ sen 30o ) =
⎛ 2
3
2
1 ⎞ 3( 6 + 2 )
.
= 3⎜
⋅
+
⋅ ⎟ =
2
2
2⎠
4
⎝ 2
3( 6 + 2 )
.
Logo AP = 2 ⋅ AM =
2
b)
⇔
a2 + b 2 = 4
a2 + (a + 2) 2 = 4
⇔
⇔
b =a+2
b =a+2
⇔
a(a + 2) = 0
⇔
b =a+2
(a = 0 e b = 2)
ou
⇔
(a = −2 e b = 0)
⇔ z = 2i ou z = −2 .
Questão 9
Seja CE uma altura do trapézio ABCP. Sendo
ABCD paralelogramo, temos BC = AD = 3 ,
$
$
CD = AB e m (EBC)
= m (BAD)
= 30o . Assim, no
$ =3 ⋅ 1 = 3.
triângulo BCE, CE = BC ⋅ sen EBC
2
2
A área do trapézio ABCP é, então,
⎛ AB + (AB − 3) ⎞ 3
⎛ AB + CP ⎞
=
⎜
⎟CE = 21 ⇔ ⎜
⎟ ⋅
⎝
⎠
⎝
⎠ 2
2
2
31
.
= 21 ⇔ AB =
2
Questão 8
Lembretes: i2 = −1; se w = a + bi, com a e b
a2 + b2 e Im(w) = b.
Resposta
Seja z = a + bi , a e b reais,
(a + bi − i) (1 − i)
z −i
=
⋅
=
1+i
(1 + i)
(1 − i)
=
a − ai + bi + b − i − 1
=
1 − ( −1)
=
a + b − 1 + (b − a − 1)i
.
2
b − a −1
⎛z −i ⎞
Assim, Im⎜
. Portanto
⎟ =
⎝1 +i ⎠
2
|z | = 2
⎧ x + (cos2 a )y + (sen2 a )z = 0
⎪⎪
2
2
⎨ x + (cos b)y + (sen b)z = 0
⎪
(cos2 c )y + (sen2 c )z = 0
⎪⎩
a) Calcule o determinante da matriz dos coeficientes do sistema linear.
b) Para que valores de a, b e c o sistema linear admite soluções não triviais?
c) Calcule as soluções do sistema quando
sen2 a = 1 e cos2 c = 1/5 .
Resposta
Determine os números complexos z que satisfazem,
simultaneamente,
e
|z| = 2
z − i⎞
1
.
Im⎛⎜
=
⎟
⎝1+ i⎠
2
reais, então|w| =
Considere o sistema linear nas variáveis x, y
e z:
a2 + b 2 = 2
1 ⇔ b − a −1
⎛z −i ⎞
1 ⇔
Im⎜
⎟ =
=
⎝1 +i ⎠
2
2
2
a) A matriz dos coeficientes do sistema linear é:
⎡1 cos 2 a sen 2 a ⎤
⎢
2
2 ⎥
⎢1 cos b sen b ⎥
⎢0 cos 2c sen 2c ⎥
⎣
⎦
Logo o determinante pedido é:
1 cos 2 a sen 2 a
1 cos 2 b sen 2 b
0 cos 2c sen 2c
c3 + c2
=
1 1 sen 2 a
1 1 sen 2 b =
0 1 sen 2c
= sen 2 a − sen 2 b = (sen a − sen b)(sen a +
⎛a −b⎞
⎛a +b⎞
+ sen b) = 2 ⋅ sen ⎜
⎟ cos ⎜
⎟ ⋅2 ⋅
⎝ 2 ⎠
⎝ 2 ⎠
⎛a +b⎞
⎛a −b⎞
⋅ sen ⎜
⎟ cos ⎜
⎟ = sen(a − b) ⋅ sen(a + b)
⎝ 2 ⎠
⎝ 2 ⎠
b) Como o sistema é homogêneo, ele admite soluções não triviais se, e somente se, o determinante da matriz dos coeficientes é igual a zero, ou
seja,
sen(a − b) = 0 ou
sen(a − b) ⋅ sen(a + b) = 0 ⇔
⇔
sen(a + b) = 0
⇔
a − b = kπ ou
⇔ b = ±a + kπ(k ∈ Z).
a + b = kπ (k ∈ Z)
matemática 5
Assim, o sistema linear admite soluções não triviais
se, e somente se, a ∈ R e b = ±a + kπ, k ∈ Z e
c ∈ R.
c) Temos que:
sen 2 a = 1 ⇔ 1 − cos 2 a = 1 ⇔ cos 2 a = 0 e
1
1
4
⇔ 1 − sen 2c =
⇔ sen 2c = .
5
5
5
Logo o sistema é equivalente a:
cos 2c =
x +z =0
x + (cos 2 b)y + (sen 2 b)z = 0 ⇔
1
4
y +
z =0
5
5
x = −z
⇔ y = −4z
⇔
2
2
−z + (cos b)( −4z) + (1 − cos b)z = 0
x = −z
⇔ y = −4z
( ∗)
Resposta
a) Os pontos A e B correspondem às soluções do
sistema:
12
12
y =
−1
y =
−1
6 −y
⇔
⇔
x
x + y −6 =0
x =6 − y
y(6 − y) = 12 − (6 − y)
y 2 − 5y + 6 = 0
⇔
⇔
x =6 − y
x =6 − y
(x = 4 ∧ y = 2)
⇔
∨
(x = 3 ∧ y = 3)
Assim podemos ter A = (4; 2) e B = (3; 3).
⇔
b) Como os coeficientes angulares de AB e OB
2 −3
3 −0
são iguais a
= −1 e
= 1, respectiva4 −3
3 −0
mente, o triângulo ABO é retângulo de hipotenusa OA. Assim, circunferência de diâmetro
⎛4 2⎞
OA = 4 2 + 2 2 = 2 5 e centro P = ⎜ ; ⎟ =
⎝2 2 ⎠
= (2; 1) passa por O, A e B.
2
(cos b)z = 0
Portanto, nas condições dadas:
• se cos b ≠ 0, (∗) equivale a x = y = z = 0, ou seja,
V = {(0, 0, 0)};
• se cos b = 0, então V = {(−z, −4z, z) ∈ R 3 t.q.
z ∈ R}.
Questão 10
a) Determine os pontos A e B do plano carte12
siano nos quais os gráficos de y =
−1 e
x
x + y − 6 = 0 se interceptam.
b) Sendo O a origem, determine o ponto C no
$ = ACB
$ e
quarto quadrante que satisfaz AOB
que pertence à reta x = 2.
x
y
=2
B
3
A
2
P
1
O
2
3
4
x
C
$ = ACB
$ , o ponto C é a intersecção, no
Como AOB
quarto quadrante, da circunferência com a reta
x = 2 , que contém o centro P. Sendo
OA
PC =
= 5 , a ordenada de C é 1 − 5 e,
2
portanto, C = (2; 1 − 5 ).