NÚMEROS COMPLEXOS
Quando estudamos um conjunto numérico, percebemos a necessidade
de efetuarmos algumas operações.
No conjunto dos números reais (R), algumas operações não são
permitidas.
Exemplo: Radicais com índices pares de números negativos.
Para que esses resultados fossem possíveis, os matemáticos
ampliaram , mais uma vez, o conceito numérico, criando um
número, que indicaram por i e denominaram UNIDADE
IMAGINÁRIA.
2
i   1  i  i  i  1
E aí surgiram os números complexos, que são do
tipo:
a  bi, com a,b  R.
Então podemos ter :
 4  4  (1)  4   1  2i
A expressão a  bi, com {a, b}  R
é chamada de FORMA ALGÉ BRICA
do número complexo, em que a é a PARTE REAL
e b é a PARTE IMAGINÁRIA do complexo.
O conjunto dos números complexos é indicado por C, isto é:
C  a  bi, com a e b reais
Exemplos:
1. No número complexo 3 + 2i a parte real é 3 e a parte imaginária é 2.
2. No número complexo 5i, que pode ser representado por 0 + 5i, a
parte real é 0 (zero) e a parte imaginária é 5.
3. No número complexo 7, que pode ser representado por 7 + 0i, a parte
real é 7 e a parte imaginária é 0 (zero).
Observação:
1. Todo número complexo com parte real zero e parte imaginária diferente
de zero é denominado NÚMERO IMAGINÁRIO PURO.
2. Todo número complexo com parte imaginária diferente de zero é
denominado NÚMERO IMAGINÁRIO.
3 . Todo número complexo com parte imaginária zero é denominado um
NÚMERO REAL.
4 . Todo número real a é também número complexo, pois pode ser
representado por a + 0i.
Assim temos que: R  C
IGUALDADE ENTRE NÚMEROS COMPLEXOS.
Sendo a  bi e c  di dois números complexos
com {a, b, c, d}  R, define - se :
a  bi  c  di  a  c e b  d
POTÊNCIAS DE i
Existem quatro, e somente quatro, valores para
potências de i com expoentes inteiros. São eles:
EXEMPLOS:
1.
Identifique a parte real e a imaginária de z, em cada caso:
a)
Z = 9i
b)
Z=4
c)
Z = 2 – 3i
d)
Z=–1 –i
e)
Z=–i
f)
Z = 2i – 3
g)
Z = – 2i + 4
Respostas:
a) P.R. = 0 e P.I. = 9
b) P.R. = 4 e P.I. = 0
c) P.R. = 2 e P.I. = – 3
d) P.R. = – 1 e P.I. = – 1
e) P.R. = 0 e P.I. = – 1
f) P.R. = – 3 e P.I. = 2
g) P.R. = 4 e P.I. = – 2
2. Determine os valores reais de x e y, para que os números complexos sejam
imaginários puros.
a) Z = 2x + 3yi
b) W = (1 – 2y) + 10i
3. Seja z = (3m + n + 1) + (2m – 3n – 2)i, calcule m e n, reais, para que
z seja zero.
4. Resolva as equações, para x real.
a) 2x + (x – 3)i = 12 + 3i
b) (2x + 10) + (x2 - 25)i = 0
c) (x3 + 8) + (x + 2)i = 0
5. Resolva, em C, as equações do 2º grau.
a) x2 + 4 = 0
b) x2 – 5x + 6 = 0
c) x2 – 6x + 13 = 0
OPERAÇÕES COM NÚMEROS COMPLEXOS
1. ADIÇÃO E SUBTRAÇÃO
Soma-se ou subtrai-se, respectivamente, as
partes reais e imaginárias, separadamente.
(a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i
2. MULTIPLICAÇÃO
Multiplica-se de acordo com as regras da
multiplicação de binômios, lembrando que i2 = - 1.
(a + bi). (c + di) = (ac – bd) + (ad + bc)i
CONJUGADO DE UM COMPLEXO
Sendo z = a + bi, define-se como complexo conjugado de z o
complexo z  a  bi
Então teremos: z  a  bi  z  a  bi
Exemplos:
z  4  3i  z  4  3i
z  1  2i  z  1  2i
z  7i  z  7i
Podemos observar que dois números complexos conjugados têm,
respectivamente, partes reais iguais e partes imaginárias simétricas
ou opostas.
OPERAÇÃO DA DIVISÃO:
A divisão de dois complexos z1 = a + bi e z2= c + di pode ser obtida,
escrevendo-se o quociente sob forma de fração pelo conjugado do
denominador. Isto é:
z1 z1  z 2

z 2 z 2  z2
Exemplo:
1. Sendo z1 = 3 + 2i e z2 = 1 + i, obter z1:z2.
2. Efetue:
a) i1035
25
c)
b) (i)16
18
i
i
22
i
d) 1  2i
5
3. Determine o inverso multiplicativo de z, sabendo
que z = 1 – 3i.
4. Efetue as seguintes operações:
1
a)
3  2i
1 i
b)
i
5. Escreva na forma z = a + bi o número complexo:
 1 i 
z

 2i 
4