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Educação Profissional Técnica de Nível Médio em Enfermagem
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Diretoria de Ensino Região LESTE – 5
Atividade
Lista nº ____
Nome:____________________________nº.:______Série: 3º EM - Turma: A
Disciplina: MATEMÁTICA
Prof._____________
Nota:_________
Data:______/_______/_______
CONJUNTO DOS NÚMEROS COMPLEXOS
NÚMEROS IMAGINÁRIOS
A primeira ideia que nos ocorre ao ouvirmos alguém mencionar números imaginários, é de que são números que não
existem, que fazem parte de um mundo de fantasia. Algo que é criado por nós mesmos no nosso subconsciente.
Talvez prevaleça a ideia de que cada um de nós faz a sua própria representação de um determinado tipo de
números. Ou melhor, cada um de nós representa o número consoante a nossa imaginação.
Pois bem... não é isso o número imaginário.
Antes de explicar o que é o número imaginário, será melhor refletir sobre a representação que nós fazemos de
número em geral. Ou seja, até que ponto é algo que foi inventado ou construído pelo homem, ou se este existe
independentemente do mundo e do sujeito.
A origem do conceito de número surgiu como expressão de uma quantidade de elementos, isto é, como resultado do
processo de contar. Mas com o decorrer dos tempos, a definição foi sofrendo alterações, já que do conceito original
eram obtidas novas definições e interpretações mais gerais. O conceito de número é de fundamental importância na
Matemática, pois pode dizer-se que esta “(...) ciência nasce com a descoberta (...) [dos números] e a sua evolução
está ligada ao seu desenvolvimento e estudo; por outro lado, o conceito de número é a primeira abstração da
realidade na história da humanidade.” (Moderna Enciclopédia Universal, vol. XIV, p. 69).
Da natureza do número, há quem defenda que o número é uma ideia. O número não é um símbolo escrito
como 2 ou dois, é uma ideia que é simbolizada por 2 ou dois. É algo inatingível. É algo que só existe mentalmente, e
quando falamos ou escrevemos o número, parece-nos mais alcançável ou real, mas é apenas a representação de
uma ideia. A representação dos primeiros números, os naturais, surgiu para responder a questões de quantidades.
Mas, os números não se reduzem aos naturais. A criação de números mais sofisticados, teve a mão do homem, pois
as exigências cotidianas a tal o obrigaram. Com isto, surgem os números negativos e o zero, dando lugar aos
números inteiros. Como era algo novo houve alguma relutância em aceitar a existência de números negativos,
números que são inferiores ao zero, ao nada. Mas, as diversas utilidades que estes proporcionaram, ajudaram à
aceitação. Digamos que, no senso comum, não é muito usual falar em - 2 flores. No entanto, ao falarmos de
temperaturas negativas, saldos bancários negativos, entre outros aspectos do dia-a-dia, já nos parece credível
aceitar a existência de números negativos.
O surgimento dos números fracionários ou racionais provocou alguma dificuldade. O seu significado é facilmente
compreendido, já que estão intimamente ligados à vida real e à linguagem cotidiana. Intuitivamente, temos a ideia de
fração ligada a algo que é repartido: meia garrafa, um quarto de laranja, um terço do terreno, etc. Contudo, a sua
representação suscitou algumas barreiras. Estes números são, fundamentalmente, a exteriorização de conceitos
abstratos que representam a razão entre as quantidades de dois conjuntos.
O conjunto dos números reais é constituído pelos naturais, inteiros, racionais e irracionais e possui à seguinte
definição de número real “(...) é uma distância, medida em termos de uma dada unidade, com um sentido que lhe é
conferido pelo sinal.” (Conway, 1999, p.230).
Essencialmente, com o correr dos tempos e à medida que se tornava necessário, cada um dos conjuntos dos
números abordados foi surgindo como uma ampliação do conjunto anterior. Desta forma, o raciocínio feito até aqui
leva-nos a pensar que os números são representações criadas pelo homem. O conjunto dos números complexos não
é exceção.
O conjunto dos complexos é uma ampliação dos números reais, ou seja, do conjunto R. E é com este alargamento
que vai ser possível resolver equações do tipo:
2
x + a = 0, com a > 0
Mas antes de falarmos concretamente destes números, devemos definir o que é a unidade imaginária i.
Quando resolvemos a equação
2
x +1=0
aplicando o método geral da resolução da equação deste género, temos
2
x = -1  x = ±
Mas como não conhecemos raízes quadradas de números negativos, tornou-se necessário inventar um número cujo
quadrado seja igual a - 1. Este número é designado por i.
Assim, podemos escrever que:
i=±
2
e de acordo com a definição dada, i = -1.
Além disto, o conceito de unidade imaginária é ampliada para os seus múltiplos. Por exemplo,
x=±
 x = ± 3i.
Assim, o homem foi capaz de produzir ou criar um número que até então era uma barreira intransponível no cálculo
de raízes com números negativos.
Por outro lado, o surgimento destes números teve como engenho, a necessidade de calcular distâncias no plano
cartesiano, sem ser da esquerda para a direita e vice-versa, ao longo de uma dada linha (no caso da reta real).
Então, esta procura levou à criação dos números complexos. Estes números, cuja notação é
z = a + ib
são constituídos por uma parte real (a) e uma parte imaginária (b).
Desta forma, é possível ao homem representar distâncias entre dois pontos quaisquer do plano, sem se preocupar
com a direcções que toma. Ou seja, definem-se números complexos “(...) como distâncias ao longo de direções
arbitrárias num plano fixado.” (Conway, 1999, p. 230).
EXERCÍCIOS
1) Qual deve ser o valor de p para que o número complexo z =(2p – 7) + 3i,seja imaginário puro?
2) Dado o número complexo z =(3x – 1) + (x² – 3x)i , calcule o valor de x de modo que se tenha um número real.
3) Calcule o valor de x e y de modo que:
a) 3x + 5yi = 12 – 10i
b) (x + y) + (3‐ y)i = 9 + 7i
c) (x2 +1) + (3y‐5)i = 5 + i
d) (x‐y) + (x + y)i = 6
4) (Mackenzie-SP) O valor da expressão y = i + i2 + i3 + ... + i1001 é:
5) Se os números complexos z e w são tais que z = 2-5i e w = a+bi , sabendo-se que z+w é um número real e
z.w .é um imaginário puro , pede-se calcular o valor de b2 - 2a.
6) (UEFS) Simplificando-se a expressão E = i7 + i5 + ( i3 + 2i4 )2 , obtêm-se:
a) -1+2i
b) 1+2i
c) 1 - 2i
d) 3 - 4i
e) 3 + 4i
7) Se f(z) = z2 - z + 1, então f(1 - i) é igual a:
8) Sendo i a unidade imaginária, (1 - i )-2 é igual a: