Números Complexos
1- Definição: Um número complexo z pode ser
definido como um par ordenado (x, y) de números
reais x e y,
z = (x, y)
(1) sujeito às regras e leis de operações dadas a
seguir: itens (2) a (5).
(2) O par (x, 0) é identificado como o número real
x, ou seja, (x, 0) = x; (0, 1) = i é chamado de
unidade imaginária; (x, y), juntos e nessa ordem,
representam a parte real e a parte imaginária, isto
é, R(z) = x e Im(z) = y.
(3) (x1, y1) = (x2, y2)  x1 = x2 e y1 = y2
Se z1 = (x1, y1) e
z2 = (x2, y2), então:
(4) z1 + z2 = (x1+ x2 , y1 + y2) = (x1, y1) + (x2, y2)
(5) z1 z2 = (x1 y1) . (x2 y2) = (x1 x2 - y1 y2, x1 y2 +x2 y1)
(6) Cada número complexo (não real) pode ser escrito
como a soma de um número real e um número
complexo puro z = (x, y) = x + yi
Como consequência da equação (6), pode se
escrever a fórmula (5) como:
(x1+ y1i) . (x2+ y2i) = x1 x2 + (x1 y2)i + (x2 y1)i + (y1 y2)i2
= x1 x2 - y1 y2 + (x1 y2 + x2 y1)i
Exemplo: Dados os números z1 = (2,1) e z2 = (3, 0),
Calcular z1 + z2 , z1 . z2 e z12
Solução:
z1 + z2 = (2, 1) + (3, 0) = (2 + 3, 1 + 0) = (5, 1)
z1 z2 = (2, 1) . (3, 0) = (2.3 - 1.0, 2.0 + 3.1) = (6, 3)
z12 = (2, 1) . (2, 1) = (2.2 – 1.1, 2.1 + 2.1) = (3, 4)
2 - Propriedades
P1) Subtração (inverso da adição)
z1 - z2 = z 3
z1 = z2 + z3 ou
(x2 , y2) + (x3 , y3) = (x1 , y1)
Assim,
z1 - z2 = (x1 - x2, y1 - y2) = (x1 - x2) + (y1 - y2)i
P3) Divisão (inversa da multiplicação)
(z1 / z2) = z3
se z1 = z2 z3, (z2  0)
(x2 x3 - y2 y3 , x2 y3 + x3 y2) = (x1 , y1)
ou
Logo, igualando os pontos correspondentes e
resolvendo em relação a x3, y3, temos:
z1/z2 = x1x2 + y1y2 + (x2y1 - x1y2)i , com: z2  0.
x22 + y22
x22 +y22
Assim:
z1 : z2 = z1 . 1 , _ 1 _ = 1 . 1 , com: z2  0 e z3  0.
z2 z2.z3 z2 z3
Ex2): Determine o valor da expressão:
[(-1 + 3i).(1 + 2i)] / (2 - i) + 2i
= [(-1- 6 + i) / (2 - i)]+ 2i = [(-7 + i) / (2 - i)] + 2i
= [(- 14 -1) / (4 +1)] + [(2 -7)i /5] + 2i =
-3 + i
Leis para adição e subtração:
a) z1 + z2 = z2 + z1
(comutativa)
b) z1 + (z2 + z3) = (z1 + z2)+ z3 (associativa)
c) z1 (z2 z3) = (z1 z2) z3
(associativa)
d) z1 (z2 + z3) = z1 z2+ z1z3
(distributiva)