Conceitos de Sinais e Sistemas
Mestrado em Ciências da Fala e da Audição
António Teixeira
AT 2004
1
•
Aula
Análise em frequência de
sinais
–
–
–
•
Análise espectral de sinais
digitais
–
•
a DFT e FFT
MATLAB
–
AT 2004
Síntese
Análise
Conceito de espectro
fft
2
Análise de Fourier
Para sinais analógicos periódicos
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3
Fourier
• Joseph Fourier foi um matemático Francês
– do sec XIX
• Descoberta importante:
– Qualquer sinal (periódico) pode ser decomposto
num conjunto de sinusóides com frequências
múltiplas da frequência do sinal
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Exemplo
• Frequência fundamental
= 2.5 Hz
– Cada período dura 0.4
segundos
T
soma de 3 sinusóides de 2.5, 5 e 7.5 Hz de amplitutes 1,0.5 e 0.3
2
0
-2
1
0
0.5
1
1.5
0
0.5
1
1.5
0
0.5
1
1.5
0
0.5
1
1.5
0
-1
0.5
0
-0.5
0.5
0
-0.5
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Espectro
• Representando as
amplitudes das várias
sinusóides
• obtém-se o espectro de
riscas (line spectrum)
1
0.9
0.8
0.7
0.6
0.5
1/T
0.4
0.3
0.2
0.1
0
2
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4
6
8
10
12
14
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6
Harmónicos
• Sons periódicos apenas podem ter sinusóides
que sejam múltiplas da sua frequência
fundamental
– Ex:
• frequência fundamental: 100 Hz
• Contem sinusóides de 100, 200, 300, etc Hz
• As componentes de sons periódicos chamamse harmónicos
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Exemplo: síntese onda dente de serra
n
F (Hz)
Amplitude (V)
2
0
1
2
3
4
5
6
100
200
300
400
500
600
1.00
½=0.5
1/3=0.33
¼=0.25
1/5=0.2
1/6=0.17
-2
20
20
40
60
80
100
120
140
160
180
200
20
40
60
80
100
120
140
160
180
200
20
40
60
80
100
120
140
160
180
200
20
40
60
80
100
120
140
160
180
200
20
40
60
80
100
120
140
160
180
200
20
40
60
80
100
120
140
160
180
200
0
-2
20
0
-2
20
0
-2
20
0
-2
20
0
-2
0
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Espectro
•Representação das amplitudes (fases) dos
harmónicos
1
Amplitude (V)
0.8
0.6
0.4
0.2
0
0
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100
200
300
400
Frequência (Hz)
500
600
700
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Que acontece se reduzir a freq. Fundamental ?
• Os harmónicos ficam
mais próximos
Pitch=100 Hz
Amplitude (V)
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
0
100
200
300
400
Frequência (Hz)
Pitch=100 Hz
500
600
700
– ...
1
Amplitude (V)
– No primeiro estão
espaçados de 100 Hz
– No segundo caso
espaçados de 50 Hz
0.8
0.6
0.4
0.2
0
0
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100
200
300
400
Frequência (Hz)
500
600
700
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E se os sinais não forem periódicos ?
• O período de repetição será infinito
• As riscas do espectro ficam separadas de 1/T
que neste caso será zero
– Tem-se assim neste caso um número infinito de
riscas
– O sinal pode conter todas as frequências desde 0
até infinito
– Trata-se da chamada Transformada de Fourier
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Análise de Fourier
• Normalmente não sabemos quais as sinusóides
e amplitudes que devemos somar
• Temos de obter com base no sinal
– o Teorema de Fourier diz como se faz
• um sinal periódico apenas contem frequências que são
múltiplos inteiros de uma frequência base ou
“fundamental”
– conhecidas por harmónicos (ou componentes espectrais)
• Esta sequência de termos relacionados é conhecida por
série
– Sendo o processo conhecido por Série de Fourier
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fseriesdemo
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Análise de Fourier de sinais
digitais
DFT, FFT
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DTF e FFT
• Vimos que a série de Fourier converte uma
onda num conjunto de sinusóides, tal que
quando somadas, se obtém o sinal original
• A operação que converte uma onda digital em
sinusóides (digitais) é a Discrete Fourier
Transform (DFT)
– A FFT é um algoritmo rápido de cálculo da DFT
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Exemplo
• Considere-se o sinal
– x = [ -8 –8 –4 5 –2 4 7 9]
• Aplicando a DFT
– Obtém-se 8 sinusóides – tantas como o número de
amostras do sinal – de 0, 1, 2 ... 7 ciclos
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20
0
-20
20 1
2
3
4
5
6
7
2
3
4
5
6
7
2
3
4
5
6
7
2
3
4
5
6
7
2
3
4
5
6
7
2
3
4
5
6
7
2
3
4
5
6
7
2
3
4
5
6
7
0
-20
20 1
0
-20
20 1
0
-20
20 1
0
-20
20 1
0
-20
20 1
0
-20
20 1
0
-20
10 1
0
-10
1
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2
3
4
5
6
7
8
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Exemplo
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Aplicação a uma vogal
0.1
0
-0.1
0
100
200
300
400
500
600
0
100
200
300
400
500
600
0
50
100
150
200
250
300
4
2
0
50
0
-50
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Aplicação de análise de Fourier
ao sinal de voz
cujas características variam no tempo
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Segmentos (Frames)
• A análise pela DFT assume que o sinal
mantém as suas características a seguir ao
bloco analisado
– O que não se verifica no sinal de voz
• A análise é efectuada em pequenos segmentos
em que o sinal tem características estáveis
– Cerca de 10 a 20 ms
• Cada segmento é designado em Inglês por
frame
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Janelas
• Ao obter-se um segmento está implícito que se
colocam a zero todos os valores fora do
segmento
– Isto corresponde à aplicação do que se chama
janela rectangular
• Problema: o que se vê na FFT não são apenas as
componentes devidas ao sinal mas também
componentes devidas à janela
• Para evitar parcialmente este problema utilizam-se
outras janelas, como as de Hamming e Hann
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Janelas
• Hamming
1
0.9
0.8
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0
0
50
100
150
200
250
300
sinal aplicando janela rectangular de 256 pontos
0.1
0.05
0
-0.05
-0.1
• Aplicada ao sinal
0
50
100
150
200
250
300
sinal aplicando janela de hamming de 256 pontos
0.1
0.05
0
-0.05
-0.1
0
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50
100
150
200
250
300
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Efeito na FFT
10
0
-10
-20
-30
-40
-50
0
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20
40
60
80
100
vermelho= rectangular preto=hamming
120
140
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Tamanho das janelas
• Para se usar DFT deve ser potência de 2
– 32, 64, 128, 256, 512, 1024
• Resolução na frequência pretendida
– N amostras resultam em N pontos na frequência
entre 0 e a freq. Amostragem
• Intervalo entre frequências= fa/N
– N=fa/intervalo
– Intervalo = 45 Hz => 10000/45=222 => 256 amostras
– Intervalo = 300 Hz => 10000/300=34 => 32 amostras
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Próxima semana ...
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Espectrograma
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O que é ?
• Até agora analisamos um segmento apenas
• Se analisarmos vários segmentos ao longo do
sinal e visualizarmos a forma como as
componentes na frequência variam temos um
gráfico em função do tempo e da frequência
• O espectrograma representa esta informação a
2 dimensões
– Usando cores para representar a amplitude das
várias sinusóides
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Como se constrói
• Para os vários segmentos do sinal
– Calcula-se a FFT
• depois de aplicar janela ao sinal
– Converte-se para cores ou tons de cinzento
– Com esta informação cria-se uma coluna de uma
imagem
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0.1
50
0
1
1.5
100
20
40
60
80
100
120
200
0.5
1
1.5
100
20
40
60
80
100
120
200
0.5
1
1.5
0
-0.1
-50
0
200
400
0.1
0
50
0
0
-0.1
-50
0
200
400
0.1
0
50
0
0
-0.1
-50
0
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100
20
40
60
80
100
120
200
0.5
200
400
0
30
Narrow band
• Resolução na frequência aprox. 45 Hz
– Tons de 50 Hz e 150 Hz diferenciam-se
• Podem distinguir-se os harmónicos
– Já vimos que janelas (para 10 kHz) são de 256
amostras
– Mau para ver onde ocorrem mudanças bruscas no
sinal
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Wide band
• Resolução na frequência aprox. 300 Hz
– Tons de 50 Hz e 150 Hz não se diferenciam
– Não se podem seguir os harmónicos
individualmente de adultos do sexo masculino
• Frequência fundamental por volta dos 100 Hz
– Já vimos que janelas (para 10 kHz) são de 32
amostras
– Boa resolução no tempo
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Exemplo usando SFS
Qual é o Wide e o
Narrow ?
wide
narrow
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