Sistemas Lineares e Invariantes: Tempo Contínuo e Tempo Discreto Prof. José Maurício Neto [email protected] 1 Definição de Sistemas • Um sistema pode ser definido como um processo que realiza a transformação de sinais (Entrada/Saída) por uma Função de Transformação T{.} Sistema no Tempo Contínuo Sistema no Tempo Discreto x(t) y(t) x[n] y[n] 2 Sistemas Lineares e Invariantes de Tempo Contínuo 3 Sistemas Lineares de Tempo Contínuo • Um sistema Linear satisfaz o Princípio da Superposição, ou seja, satisfaz as propriedades de: Aditividade Homogeneidade. • O princípio de superposição é a base para o estudo aproximado de sistemas em diversas áreas da engenharia: Sistemas de Controle, Sistemas Preditores, Modelagem, etc. 4 Propriedade da Aditividade y ( t ) T x ( t ) 1 1 y ( t ) y ( t )y ( t ) T x ( t ) x ( t ) 1 2 1 2 y ( t ) T x ( t ) 2 2 5 Propriedade da Homogeneidade y ( t ) T x ( t ) a y ( t ) T a x ( t ) 6 Sistemas Invariantes de Tempo Contínuo • Um sistema é invariante no tempo se para um deslocamento no tempo do sinal de entrada, este causa um deslocamento no tempo na sinal de saída yt ()T{() xt } 0 0 y ( t t0) T { x ( t t0) } Deslocamento na entrada Deslocamento na saída 7 Representação de Sistemas Lineares e Invariantes • Os sistemas lineares e invariantes (LIT) no tempo contínuo são descritos utilizando equações diferenciais com coeficientes constantes. k k d y ( t) M d x ( t) a b k k k d t d tk k 0 k 0 N • Para comprovar que um sistema LIT é linear e invariante pode se aplicar as provas de linearidade ou de invariância no tempo em cada operação. 8 Exemplo – Sistema Mecânico Equação Diferencial x(t) 2 y y m2 b ku ( t) t t y(t) 1 0 0 tempo (s) x(t-t0) tempo (s) y(t-t0) 1 0 0 tempo (s) tempo (s) É um sistema Invariante no tempo 9 O sistema mecânico é Linear? 2 y y m2 b ku ( t) t t Aditividade Homogeneidade 2y1 y1 m 2 b kx1() t t t 2y2 y2 m 2 b kx2() t t t ( y y ) ( y y ) 1 2 m b 2( k x tx ) ( t ) 1 2 t t 2 12 2 2y y am b ka xt () 2 t t 2(a y) (a y) m 2 b a ka xt () t t 2 () a y () a y m2 b a ka x ( t ) t t É um sistema Não Linear 10 Exemplo - Circuito Elétrico Linear Invariante no Tempo d it () 2 3 it () v () t d t Não Linear Não Linear Variante no Tempo d it () 2 d it () d it () 2 3( i t) v ( t) 2 3 t it () v ( t) 3 it () 4v ( t) 2 d t d t d t 11 Características de Sistemas Lineares e Invariantes • A aplicação da superposição em sistemas lineares constitui a base para a análise de sistemas, tais como: A representação de um sinal arbitrário x(t) como uma soma ponderada de impulsos, é a base para o método de convolução. A representação de um sinal x(t) como uma combinação linear de sinais harmônicos é a base para as séries de Fourier. A representação de um sinal x(t) como uma série ponderada de exponenciais complexas é a base para as transformadas de Fourier e de Laplace. 12 Características de Sistemas Lineares e Invariantes • Os sistemas lineares e invariantes no tempo contínuo podem ser analisados através de equações diferenciais. • Para sistemas LIT é possível realizar o cálculo das respostas usando superposição mesmo tendo condições iniciais diferentes de zero. • A desvantagem é que a medida que se incrementa a ordem do sistema, a formulação das equações diferenciais e a avaliação das condições iniciais torna-se muito complexa. 13 Características de Sistemas Lineares e Invariantes • A representação de um sinal x[n] como uma soma ponderada de impulsos deslocados, é a base para o método de convolução discreta. • A representação de um sinal x[n] como uma combinação linear de harmônicas ou exponenciais complexas, é a base da transformada de Fourier em tempo discreto (DTFT) e a transformada z. 14 Sistemas Lineares e Invariantes de Tempo Discreto 15 Sistemas Lineares de Tempo Discreto • Um sistema linear satisfaz o teorema da superposição e implica que o sistema tem condições iniciais iguais a zero e que a equação do sistema envolva apenas operadores lineares. • Pode–se utilizar a superposição para um sistema com condições iniciais distintas de zero, se o sistema for linear. – Neste caso, deve-se considerar o sistema como tendo entradas múltiplas e as condições iniciais como entradas adicionais. 16 Sistemas Lineares de Tempo Discreto • Como resultado, a resposta de um sistema pode ser obtida a partir da soma de uma resposta de entrada zero (devido apenas às condições iniciais) e uma resposta de estado zero (devido apenas à entrada). • Este princípio de decomposição, permite analisar sistemas lineares na presença de condições iniciais distintas de zero. Tanto a entrada quanto a resposta de estado zero obedecem à superposição. 17 Sistemas Invariante de Tempo Discreto • Em um sistema invariante de tempo discreto a forma da resposta y[n] depende unicamente da forma da entrada x[n] e não do instante de tempo que é aplicada. 1 10 y [n ]sin (. ax [n ]) 8 6 0.5 0 4 -0.5 2 0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 n 8 9 10 11 12 13 14 15 8 9 10 11 12 13 14 15 n 10 1 8 0.5 6 0 4 -0.5 2 0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 n Deslocamento na entrada duas unidades de tempo 9 10 11 12 13 14 15 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 n Deslocamento na saída duas unidades de tempo 18 Causalidade de um Sistema LIT • A saída de um sistema causal somente depende dos valores atuais e passados da entrada . • Para que um sistema LIT seja causal, y[n] não deve depender de x[k], para k>n: y [] n x [][ kh nk ] k então, os coeficientes h[n-k] que multiplicam a x[k] para k>n devem ser zero, portanto h[n]=0 para n<0 19 Causalidade de um Sistema LIT • Para um sistema LIT discreto causal, como h[n]=0, para n<0: n y [] n x [][ kh nk ] k • Ou de forma equivalente: y [] n h [][ kxnk ] k 0 20 Representação de Sistemas Lineares e Invariantes • Para saber se um sistema é linear ou invariante no tempo discreto, deve-se considerar que: Os termos que contêm produtos da entrada e/ou saída trazem como consequência a não linearidade do sistema. Um termo constante também torna não linear o sistema. Os coeficientes da entrada ou da saída que são funções explícitas de “n” tornam o sistema variante no tempo. As entradas ou saídas multiplicadas no tempo por um escalar, por exemplo y[2n], também tornam o sistema variante no tempo. 21 Representação de Sistemas Lineares e Invariantes • Uma sequência discreta x[n] pode ser expressa em termos de uma somatória de impulsos unitários escalados e deslocados no tempo. 22 Representação de Sistemas Lineares e Invariantes x[n]= …+ 7[n+2] + 5[n+1] + 3[n] + 5[n1] +... x[n]= …+x[2][n+2] + x[1][n+1] + x[0][n] + x[1][n1] +... x [] n x [][ kn k ] k 23 Representação de Sistemas Lineares e Invariantes • A resposta ao impulso é a resposta de um Sistema Linear a um impulso localizado no instante k [n-k] T{ } hk[n] hknT nk • Sendo o sistema invariante no tempo: h n T n k h n k k 24 Representação de Sistemas Lineares e Invariantes Se a entrada x[n] é uma sequência representada por uma somatória de impulsos x[n] x n x kn k k T{ } y[n] y n T x k n k k n y n x kT k k y n x kh n k k 25 Representação de Sistemas Lineares e Invariantes Somatoria da Convolução k k y n x k h n k h k x n k y nx n h nh [ n ] * x [ n ] Conhecida a resposta ao impulso h[n], é possível calcular a resposta a qualquer sinal de entrada, através da somatória da Convolução. 26