Mecânica Aplicada- N2- Oscilações Amortecidas e amortecidas forçadas – Prof. Dr. Cláudio S. Sartori
o fluido hidráulico na câmara abaixo. O ciclo da extensão
ocorre quando o pistão se move acima do tubo de pressão,
comprimindo o fluido na câmara acima. Um carro comum
terá maior resistência durante o ciclo da extensão do que
no ciclo da compressão, pois esse ciclo controla o
deslocamento do peso não-suspenso do veículo; o ciclo de
distensão controla o mais pesado, o suspenso.
Todos os amortecedores modernos são sensíveis
à velocidade: ao se mais rápido a suspensão movimentar,
maior a resistência que o amortecedor fornece, permitindo
ajustarem-se às condições da estrada controlando todos
os movimentos indesejados que ocorrem num veículo em
marcha, incluindo balanço, oscilação, mergulho na
frenagem e agachamento na aceleração.
Vibrações amortecidas
1
O Amortecedor
Se não houvesse amortecedores em um carro, a
mola aumentaria e dissiparia a energia absorvida em um
impacto
vertical
descontroladamente
e
continuaria oscilando na sua freqüência natural até que
toda a energia originalmente aplicada a ela dissipasse.
Uma suspensão que consiste apenas de molas
ficaria balançante e, dependendo do terreno, seria
impossível de controlar o carro.
O amortecedor é um dispositivo que controla o
deslocamento indesejado da mola pelo processo
conhecido como amortecimento. Ele reduz a magnitude
dos deslocamentos oscilatórios. Isso ocorre quando o
equipamento transforma a energia cinética do movimento
da suspensão em calor, energia dissipada através do fluido
hidráulico. Para entender como isso funciona, observemos
sua estrutura e função.
 Colunas de suspensão e barras estabilizadoras
Uma outra estrutura de amortecimento bastante
comum é a coluna de suspensão, conhecida por
suspensão MacPherson. É um amortecedor montado
dentro da coluna e geralmente de uma mola helicoidal
externa a ela. As colunas de suspensão têm duas funções:
fornecem uma função de amortecimento como os
amortecedores e, apoio estrutural para a suspensão do
veículo. Isso significa que a coluna de suspensão faz mais
do que os amortecedores, que não suportam o peso do
veículo - eles somente controlam a velocidade na qual o
peso é transferido em um carro, mas não o peso em si.
Um amortecedor consiste basicamente de uma
bomba de óleo posicionada entre o chassi do carro e as
rodas. Sua parte superior fixa-se ao chassi e inferior fixase ao eixo, próximo à roda. No amortecedor tipo de dois
tubos, (mais comuns), a parte de cima é fixa a uma haste
e esta ligada a um pistão. O amortecedor está inserido em
um tubo contendo fluido hidráulico. O tubo interno é
conhecido é o tubo de pressão. O externo é o tubo de
reserva, que armazena o excesso do fluido hidráulico.
Quando a roda do carro encontra um obstáculo
via, se comprime e se distende. Sua energia transfere-se
ao amortecedor através da parte de cima e segue-se
pela haste para dentro do pistão. Os orifícios no pistão
permitem que o fluido passe através dele movendo-se
para cima e para baixo no tubo de pressão. Os orifícios
são relativamente pequenos; assim, somente uma pequena
quantidade de fluido passa sob grande pressão causando
desaceleração do pistão, desacelerando assim a mola.
Os amortecedores operam em dois ciclos: o de
compressão e o de distensão. O ciclo da compressão
ocorre quando o pistão se move para baixo, comprimindo
Os amortecedores e as colunas de suspensão são
essenciais para a estabilidade do carro e são considerados
itens de segurança. Amortecedores e colunas gastas podem
permitir uma excessiva transferência veículo-peso de um
lado para outro e de frente para trás, reduzindo a aderência
do pneu ao solo, a estabilidade e o desempenho na
frenagem.
As barras anti-oscilação (conhecidas como barras
estabilizadoras) são usadas junto com as colunas de
suspensão
ou braços
triangulares para
fornecer
estabilidade adicional ao veículo em movimento. É uma
haste metálica, que se estende sobre todo o eixo e se
conecta a cada um dos lados da suspensão.
Quando a suspensão em uma roda se move para
cima e para baixo, a barra estabilizadora transfere o
movimento para a outra roda, fazendo com que o carro
ande mais nivelado lateralmente e com menos inclinação
1
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
nas curvas e evitando que o carro role sobre a sua
suspensão nas curvas. Por esse motivo, quase todos os
carros possuem as barras estabilizadoras instaladas como
item de série. No entanto, caso não estejam colocadas, os
kits tornam fácil a instalação a qualquer momento.
AMORTECIMENTO (PRESSÃO DO ÓLEO)
O amortecimento (pressão do óleo) é feito no
cilindro cheio de óleo do amortecedor. O pistão restringe o
fluxo de óleo quando o amortecedor entra e sai. A taxa de
pressão é uma combinação da viscosidade do óleo (peso) e
da restrição do pistão.
As características da viscosidade do fluido e seu tipo
são características da constante de amortecimento c do
fluido existente no pistão.
A unidade da constante de amortecimento c é o
Newton.segundo/metro:
Unidade de c: Constante de amortecimento:
N.s/m
Adaptado de:
http://carros.hsw.uol.com.br/suspensoes-dos-carros1.htm
2
As barras estabilizadoras permitem que o carro
tenha molas mais macias, causando maior conforto de
rodagem, sem que sofra os efeitos da inclinação nas
curvas.
 Tipos de suspensão
As quatro rodas de um carro funcionam juntas
em dois sistemas independentes - as duas rodas fixadas
pelo eixo dianteiro e as duas rodas fixadas pelo eixo
traseiro o que significa que o carro pode ter tipos
diferentes de suspensão na frente e atrás. Um único eixo
rígido pode conter as duas rodas ou elas podem se mover
independentemente. O primeiro arranjo é conhecido como
sistema de eixo rígido, enquanto o segundo é conhecido
como sistema independente.
As suspensões dianteiras de eixo rígido
possuem um rígido eixo ao qual se montam as rodas da
frente. Basicamente, ele se parece com uma barra sólida
sob a parte dianteira do carro, mantida no lugar pelo feixe
de molas e amortecedores. Comuns em picapes, as
suspensões dianteiras por eixo rígido não são usadas em
carros há muitos anos.
Em um sistema independente de suspensão
dianteira, as rodas podem se mover independentemente.
A coluna MacPherson, desenvolvida em 1947 por Earle
S. McPherson, da General Motors, é o sistema de
suspensão dianteira mais utilizado, especialmente em
carros originados na Europa.
A coluna MacPherson combina um amortecedor e
uma mola helicoidal numa mesma peça fazendo com que
o sistema de suspensão seja mais compacto, leve e
podendo ser usado em veículos com tração nas rodas
dianteiras.
 Funções dos AMORTECEDORES
Os amortecedores, portanto, são muito importantes
para a regulagem do chassis. Eles têm três funções:
absorver choques (pressão do óleo)
distribuir a transferência de peso (pressão do
óleo e molas)
ajustar a tensão da mola (molas).
2
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Vibrações livres e amortecidas:
Em geral todos os sistemas vibrantes apresentam
amortecimento, seja por atrito fluido, quando corpos
rígidos se movem num fluido, sejam por atrito interno,
entre as moléculas de um corpo aparentemente elástico.
Um tipo de amortecimento é o amortecimento
viscoso, causado pelo atrito fluido a baixas velocidades.
Esse atrito é caracterizado pelo fato da força de atrito ser
diretamente proporcional à velocidade:
Fa t
3
k
m
0
k
m
2
0
k
é a freqüência angular natural,
m
0
depende apenas da massa da suspensão e da constante
elástica da mola k.
A solução proposta para essa equação diferencial
t
homogênea é do tipo e
característica:
c x
com
c
m
2
c
é
determinado
de
coeficiente
de
amortecimento viscoso.
Considere um corpo de massa m suspenso por
uma mola de constante k e preso ao êmbolo de um
cilindro.
satisfazendo a equação
2
0
0
(Vide Apêndice).
Teremos, resolvendo a equação do 2º grau:
c
m
2
c
m
2
4
2
0
Podemos escrever:
c
2m
equilíbrio
x
2
c
2m
2
0
Definimos como coeficiente de amortecimento
crítico cc o valor que torna nulo o radicando acima:
cc
2m
0
Podemos distinguir três casos de amortecimento,
dependendo do valor do coeficiente c:
1.
k
x
est
Amortecimento supercrítico c > cc:
As raízes da equação característica são reais e
distintas e a solução da equação diferencial homogênea é:
x(t) A e 1 t B e 2 t
v
P = m.g
Ou
x(t ) e
t
Be
t
c
2
0
2m

Características:
Movimento
não
vibratório. A posição x tende a zero quando t vai a infinito:
Com:
Utilizando a segunda lei de Newton, a equação
de movimento será:
mx P k(x
Ae
2
- c.v
F
c
t
2m
e
) cx
lim x(t ) lim e
t
Podemos escrever:
c
t
2m
t
Ae
t
Be
t
0
O sistema, na realidade retorna à sua posição de
equilíbrio depois de um tempo finito.
As constantes A e B dependem das condições
iniciais da posição da suspensão (x0) e da velocidade
inicial (v0).
Para acharmos a velocidade instantânea,
encontramos a derivada de x(t):
mx cx kx 0
c
k

x
x
x 0 ou
m
m
d 2 x c dx
2
0
0 x
2
dt
m dt
Com:
v t
dx
dt
A
1
e 1t B
2
e 2t
A aceleração instantânea será dada por:
3
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dv
dt
a t
e 1t B
2
1
A
2
2
2.
e 2t
A equação característica tem raiz dupla:
= - c/2m
A solução geral da equação diferencial é:
Assim, para acharmos as constantes A e B
devemos resolver o sistema:
v0
A
B
1
x0
2
A B
2
2
v0
B
4
v0

Características: Movimento também
não vibratório. Esses sistemas são de interesse desde que
retornem à posição de equilíbrio após um tempo finito.
As constantes A e B dependem das condições
iniciais da posição da suspensão (x0) e da velocidade
inicial (v0).
Novamente, para acharmos a velocidade
instantânea, encontramos a derivada de x(t):
1
x0
2
1
1
Assim, podemos resumir:
x0
2
x0
v(t )
v0
2
e 1t
v0
1
2
v0
e 1t
1
2
c
t
2m
x(t ) ( A B t )e
x0
A
x(t )
Amortecimento crítico c = cc:
x0
1
2
1
v0
x0
e
1
2
1
2
2
t
v t
e
2
t
dx
dt
v t
( B) e
c
t
2m
c
t
2m
e
c
t
2m
c
e
2 m
B
1
A Bt
c
A B t
2 m
A aceleração instantânea será dada por:
2
1
a(t )
x0
2
2

v0
e
1
t
v0
2
2
1
x0
2
1
e
2
a t
t
c
e
2 m
1
a t
Parâmetros:
c
2m
1,2
dv
dt
c
2m
e
c
t
2m
c
t
2m
2
c
A B t
2 m
B
c
2 m
2 B
 Gráfico x versus t:
Exemplo para:
m =0.5kg, k = 200 N/m e c = 40 N.s/m
x0 = 0.1 m e v0 = 0 m/s
v0
c
A
2 m
x0 A
Gráficos
B
x(t)
v(t)
a(t)
Series4
Series5
0,08
v0
x0
c
x0
2 m
Assim:
0,07
x(t)
c
A B t
2 m
B
A
0,09
x(t ) ( x0
0,06
v0
c
x0 t )e
2 m
0,05

0,04
Parâmetros:
0,03
0,02
0
0,05
0,1
0,15
0,2
t(s)
0,25
0,3
0,35
c
t
2m
Assim, para acharmos as constantes A e B devemos
resolver o sistema:
2
0
0,1
c
B e
2 m
0
0,4
k
m
A,B, = -c/2m
 Gráfico x versus t:
Exemplo para:
m =0.5kg, k = 200 N/m e c = 20 N.s/m
x0 = 0.1 m e v0 = 0 m/s
4
c
t
2m
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Gráficos
0,1
 Gráfico x versus t:
Exemplo para:
m =0.5kg, k = 200 N/m e c = 2 N.s/m
x0 = 0.1 m e v0 = 0 m/s
x(t)
v(t)
a(t)
Series4
Series5
0,09
0,08
0,07
x(t)
0,06
0,05
Gráficos
0,04
0,1
0,03
0,08
0,02
0,06
x(t)
v(t)
a(t)
+Exp(-c/2m)t
-Exp(-c/2m)t
0,04
0,01
0,05
0,1
0,15
0,2
t(s)
0,25
0,3
0,35
x(t)
0,02
0
0,4
0
-0,02
-0,04
5
-0,06
-0,08
-0,1
0,1
3. Amortecimento subcrítico c < cc
As raízes da equação característica são
complexas e conjugadas. Mostramos no Apêndice, com o
auxílio da teria de série de potências que a solução da
equação diferencial é dada por:
x(t )
e
c
t
2m
A cos
Com:
t
c
2m
2
0
B sen
t
2
Pode-se escrever também:
0
1
c
cc
2

Características: Movimento vibratório
de amplitude decrescente. Podemos escrever a solução na
forma:
x(t ) xm e
c
t
2m
sen(
t
)
Chamamos de período da vibração amortecida,
apesar do movimento não se repetir nesse caso, ao valor:
2

2 m
x0
2 m v0 c x0
tg
xm
Parâmetros:
2
0
x
2 m v0 c x0
2 m
2
5
0,2
0,3
0,4
0,5
t(s)
0,6
0,7
0,8
0,9
1
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Casos possíveis de amortecimento:
Resumo:
c
k
x
x 0
m
m

x
k
m
0

x
c
x
m
cc
2m
2
0
x 0
0
1. Amortecimento supercrítico: c > cc:
x(t )
x0
v0
2
2
6
v0
e 1t
x0
1
2

e
2
t
1
Parâmetros:
c
2m
1,2
1
2
c
2m
2
0
Gráficos mostrando os três tipos de
amortecimento.
2. Amortecimento crítico: c = cc:
x(t )
x0
c
x0
t e
2m
v0

c
t
2m
 Analogia: Circuito RLC alimentado por
uma fonte de tensão alternada V(t)=V0cos t.
Parâmetros:
k
m
0
3. Amortecimento subcrítico: c < cc
x(t ) e
c
t
2m
A cos
q
x(t )
0
xm e
t
c
cc
1
c
t
2m
Bsen
t
2
Ou
sen(
t
)

Parâmetros:
2mqx0
tg
2mv0 cx0
xm
x02
2mv0 cx0
2mq
2
2
A equação diferencial associada é:
d 2I
dI I dV (t )
L 2 R
dt C
dt
d t
A equação diferencial homogênea é:
d 2I
d 2t
R dI
L dt
1
I 0
LC
Propondo uma solução do tipo emt teremos:
6
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m2
R
L
1
LC
m
L q R q
0
Teremos como solução:
R
L
m
2
R
L
2
R
L
1
LC
4
R2
4 L2
4
1
LC
2
m
7
R2
4L2
1
LC
4i 2
I (t ) {Ae
i
nt
Be
i
nt
I H (t ) {Ae
i
2
m
nt
}e
Be
i
R
t
2L
nt
R
I p (t )
}e
2
L
C
Definimos como impedância, ao termo:
2
1
LC
R
4 L2
Z
R
2
a bi
L
C
Exemplos
1. A figura representa o modelo de um
amortecedor de um automóvel cuja massa da suspensão é
de 80kg e é suportado por uma mola de constante elástica
de 32 kN/m, e um amortecedor de constante de
amortecimento de c = 3000 Ns/m. O proprietário do
automóvel esqueceu-se de trocar o amortecedor, portanto
sua constante de amortecimento c tornou-se menor que a
constante de amortecimento crítica cc .O valor da
constante de amortecimento crítica cc e a solução da
equação diferencial são dadas por:
Substituindo em I(t) teremos:
I H (t) {a ei
nt
i
e
nt
bi ei
nt
e
i
nt
}e
R
t
2L
Observe:
cos
sen
n
t
nt
ei
nt
ei
nt
e
i
nt
e
2i
i
nt
2
Analogia Elétrica
Dados:
A analogia entre sistemas elétricos e mecânicos é
válida tanto para oscilações transitórias como para o
estado estacionário.
m
c
k
Sistema Mecânico
Massa
Coeficiente de
amortecimento viscoso
Constante da mola
q
Circuito Elétrico
L
Indutância
R
Resistência
x(t ) e
Inverso da
Capacitância
x
Deslocamento
q
Carga
v
Velocidade
i
Corrente
F
Força aplicada
E
Tensão
aplicada
Usando a Lei de Kirchhoff, a soma algébrica da
tensão aplicada e das quedas de potencial ao longo de um
circuito é nula, podemos escrever a equação da carga no
circuito RLC alimentado por uma tensão alternada Em
sen t por:
Em sen
t
L
2
1
A a bi
A
2
1
R
t
2L
Podemos considerar ainda que
B
2
R
Em
im
Aqui IH(t) a solução da equação diferencial
homogênea, com:
n
2
1
L
C
R
i n
2
2L
Pode-se mostrar que a solução é dada por:
t
Em
im
Logo:
R
L
1
q Em sen
C
1/C
di
1
Ri
q 0
dt
C
7
0
2
0
c
t
2m
k
;c
m c
p
c
2m
2
0
1
2m
c
cc
0
2
A cos qt Bsenqt
:
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0
cc
32000
20 rads ;
80
2 80 20 3200 Nms
p
2m
0
2
c
2m
2
0
0
3000
3200
20 1
2
cc
6.96 rad
s
x(t ) e
A cos6.96t Bsen6.96t
mx P k x
25
1,2
x0
x(t )
2
v0
2
0
x 0
0
0
x(t )
v0
2
2
v0 x0
e 1t
1
1,2
2
c
2m
c
2m
1
cc
2t
e
x0
v0 x0
1
2
2
0
c
t e
2m
0
t
c. Amortecimento subcrítico c < cc
x(t )
e
c
t
2m
q
x(t )
tg
A cos
0
xm e
t
c
t
2m
2m x0
; xm
2mv0 cx0
Bsen
t
2
c
cc
1
Ou
sen(qt
2
0
x
1
625 400
10;
40
1
v0 x0
2
1
e
2t
1
0.1 0.05 10 40t
e
40 10
10t
0.02e
40t
20000
0.5
200 rads
2 0.5 200 200 Nms
0
1
2
3
4
5
6
250
205
200
195
50
100
x(t)
(m)
v(t)
(m/s)
10Caso:
c = 250 > cc amortecimento supercrítico
 Parâmetros:
)
2mv0 cx0
2m
2m
3.3 - As condições iniciais posição inicial x0 e
velocidade inicial v0 são dadas na tabela. Para cada caso,
classifique o amortecimento, dando a solução para:
 A posição x(t).
 A velocidade instantânea v(t).
 A aceleração instantânea a(t).
Dado: Condições iniciais: x0 = 5 cm e v0= 1m/s
b. Amortecimento crítico c = cc :
x(t )
202
3.2 – Determine a constant de amortecimento
crítica cc.
a. Amortecimento supercrítico c > cc:
x0
25
e 1t
Parâmetros
2m
2
0
0.07e
k
m
Classificação
amoortecimo
cc
2
3. Um sistema de massa-mola amortecedor possui
m = 0.5 kg e constante elástica k = 20000N/m.
A constante de amortecimento do sistema é c,
dada pela tabela.
3.1 – Encontre a freqüência angular natural 0 do
sistema.
c
(N.s/m)
0
c
x
m

x
50
21
1
x(t)
k
m
x 0
2
0.05 40 0.1 10t
e
40 10
x(t )
c
k
x
x 0
m
m
50
21
2
0
25 15
2

x
2
c
2m
225
iniciais x0 = 0.05m e v0= 0,1m/s é:
Dados:
2
0
400
20 rads
0
1
cc 40 Ns
50 Ns
m ;c
m
c
2m
c
2m
1,2
cx , nas condições
est
c
2m
1,2
2. Para um sistema de massa m = 1 kg, c = 50
N.s/m e constante elástica k = 400N/m a solução para a
equação:
c
x
m

x
Amortecimento supercrítico c > cc :
Caso i
8
18.75t
k
m
2m 0
0
2
c
cc
1
c
k
x
x 0
m
m

x
2
1,2
8
c
2m
c
2m
2
2
0
v(t)
(m/s)
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250
2 0.5
1,2

1,2
250
1,2
250 150
2002
30Caso:
c = 200 = cc amortecimento crítico
 Parâmetros:
22500
1
100 Hz
2
400 Hz
Posição x(t):
x0
x(t )
2
2
9
2
250
2 0.5
x(t)
v0
e 1t
v0 x0
1
2
0.02 e
400 t
0
1
e
2t
x(t )
1
0.07 e
x(t )
d
x t
dt
c
x0
t e
2m
0.05 11.5 t e
v t
v(t )
 Aceleração instantânea a(t):
a(t)
v0
200 rads
c
t
2m
200 t
 Velocidade instantânea v(t):
v(t) 8 e 400 t 7 e 100 t
a t
x0
20000
0.5
100 t
 Velocidade instantânea v(t):
v t
k
m
d
x t
dt
11.5 200 0.05 11.5 t
e 200 t
Aceleração instantânea a(t):
d
a t
v t
dt
d
v t
dt
3200 e 400 t 700 e 100 t
a(t )
 Gráficos:
4600 40000 0.05 11.5t
 Gráficos:
9
e 200 t
Mecânica Aplicada- N2- Oscilações Amortecidas e amortecidas forçadas – Prof. Dr. Cláudio S. Sartori
50Caso:
c = 50 = cc submortecimento
 Parâmetros:
q
0
180
200
200 1
tg
10
2
193 rads
2m x0
2mv0 cx0
tg
2.766
1.22rad
2
x02
xm
xm
x(t )

2
c
cc
1
xme
0.032s
2
2mv0 cx0
2m
0.053m
c
t
2m
sen(
t
)
Posição x(t):
x(t )
xme
c
t
2m
sen(
t
)
x(t ) 0.053 e 50 t sen 193 t 1.22
 Velocidade instantânea v(t):
v t
d
x t
dt
v(t ) e 50 t 10.2956 cos 193.6 t 1.22
2.65 sen 193.6 t 1.22
 Aceleração instantânea a(t):
a t
d
v t
dt
a(t ) e 50 t 1029.56 cos 193.6 t 1.22 1860.8 sen 193.6 t 1.22
10
Mecânica Aplicada- N2- Oscilações Amortecidas e amortecidas forçadas – Prof. Dr. Cláudio S. Sartori
4. No caso do amortecimento subcrítico, os
deslocamentos x1, x2,..., xn, etc., ilustrados na Fig. 19.11,
podem ser supostos iguais aos deslocamentos máximos.
Mostre que a razão entre dois deslocamentos sucessivos,
xn e xn+1 .é constante e que o logaritmo natural desta
razão, chamado de decremento logarítmico, é
x
ln n
xn 1
2
c cc
1
c cc
xn
xn 1
c
tn
2m
xm e
e
c
tn
2m
1
1
tn
Observando a figura:
tn
xm
xn
xm e
xn
xn 1
2
c
tn
2m
xn+1
11
1
2
tn
xn
xn 1
e
c 2
2m
Aplicando o logaritmo natural:
tn
x
ln n
xn 1
tn+1
ln e
c 2
2m
Utilizando a propriedade dos logaritmos:
log B a n
τ
n log B a
E: ln e = 1
 Solução:
ln
Teremos nesse caso a considerar:
x(t )
c
t
2m
xme
xn
xn 1
c 2
2m
Substituindo:
sen(
t
)
Para dois máximos consecutivos, ocorrendo nos
instantes tn e tn+1, teremos, lembrando a função senθ:
tn
tn
0
ln
2
2
1
x(tn )
xme
xn
2
c
tn
2m
xn
sen(
xm e
xn
x(tn 1 )
xme
xn
1
c
tn
2m
c
tn
2m
1
xme
tn
)
sen
2
1
1
2
Como:
tn
sen
0
c
cc
1
1
sen(
c
tn
2m
c
cc
2 c
2 m
xn
xn 1
ln
1
2
2
cc
c
tn
2m
2
c
2m
0
c
tn
2m
xme
xm e
1
5
xn
xn 1
c
cc
1
1
2 m
0
)
5
2
ln
xn
xn 1
c
cc
2
1
1
Fazendo a razão entre xn e xn+1:
ln
11
xn
xn 1
2
c cc
1
c cc
c
cc
2
2
2
Mecânica Aplicada- N2- Oscilações Amortecidas e amortecidas forçadas – Prof. Dr. Cláudio S. Sartori
5. Desloca-se o bloco mostrado na figura,
posicionando-o 20 mm abaixo de seu ponto de equilíbrio,
quando, então, é solto. Depois de oito ciclos o
deslocamento máximo do bloco é 12mm. Determinar
(a) o fator de amortecimento c/cc e
(b) o valor do coeficiente do amortecimento
viscoso c.
c cc
196
 Solução:
c cc
2
x
ln n
xn 1
12
c cc
1
196
ln
Note que:
ln
ln
x1
x2
x1
x2
2
c cc
1
c cc
ln
x2
x3
x2
x3
ln
2
7
c
x7
x8
 ln
x7
x8
 ln
196
2
c cc
1
c cc
ln
2
c
Mostre que, usando agora a propriedade:
196
A
ln A ln B
B
x
 ln 7
ln x1 ln x8
x8
ln
ln
x1
x2
x1
x2
ln
x2
x3
ln
x2
x3
ln
x1
x8
ln
x
ln 1
x8
c cc
2
2
c cc
1
c cc
7
49
4
2
1
x
ln 1
x8
2
x
ln 1
x8
c cc
x7
x8
2
x
ln 1
x8
1
 ln
ln
x1
x8
2
c cc
c cc
2
2
2
2
196
c cc
2
2
c cc
2
196
x
ln 1
x8
2
196
2
2
c cc
2
2
x
ln 1
x8
x1
x8
2
12
2
2
x1
x8
ln
x1
x8
x1
x8
ln
2
x
ln 1
x8
2
2
c cc
2
x
ln 1
x8
2
ln
Do exemplo anterior:
2
x
ln 1
x8
x1
x8
2
2
cc
2 m
k
m
Mecânica Aplicada- N2- Oscilações Amortecidas e amortecidas forçadas – Prof. Dr. Cláudio S. Sartori
Exercícios
13
1. O movimento do pistão no interior do motor
de um carro é aproximadamente um MHS.
(a) Sabendo que o percurso (o dobro da
amplitude) é igual a 0.100m e que o motor gira a 3500
rpm, calcule a aceleração do pistão no ponto final do
percurso.
(b) Sabendo que a massa do pistão é 0.45 kg,
qual é a força resultante exercida sobre ele nesse ponto?
(c) Calcule a velocidade e a energia cinética do
pistão no ponto médio do percurso.
(d) Qual é a potência média necessária para
acelerar o pistão do repouso até a velocidade calculada no
item (c)?
(e) Se o motor gira com 7000 rpm, quais são as
respostas dos itens (b), (c) e (d)?
constante de amortecimento c (em termos de k e de m) é a
aceleração para t = 0 negativa, nula e positiva?
Discuta cada caso em termos do gráfico de x
versus t nas vizinhanças de t = 0.
5. Quatro passageiros com massa total igual a 250
kg comprimem 4.00 cm as molas de um carro com
amortecedores gastos. Modele o carro e os passageiros
como um único corpo sobre uma única mola ideal.
Sabendo que o período da oscilação do carro com os
passageiros é igual a l.08 s, qual é o período da oscilação
do carro vazio?
6. Um cavaleiro executa um MHS com amplitude
A; sobre um trilho de ar. Você freia o cavaleiro de modo
que sua amplitude é reduzida à metade do valor inicial. O
que ocorre com os valores:
(a) do seu período, freqüência e freqüência
angular?
(b) da sua energia mecânica total?
(c) da sua velocidade máxima?
(d) da sua velocidade no ponto x = ±A/4?
(e) da sua energia potencial e energia cinética
no ponto x = ±A/4?
7. Você pendura um peso desconhecido na
extremidade de uma mola e, segurando o peso, deixa-o
descer suavemente até que ele estique a mola a uma
distância L na posição de equilíbrio.
Se a mola possui massa desprezível, prove que o
peso pode executar um MHS com o mesmo período de um
pêndulo simples de comprimento L.
2. Uma força de amortecimento F = - cv atua
sobre um rato infeliz de 0,300 kg que se move preso na
extremidade de uma mola cuja constante é k = 2.50 N/m.
(a) Se a constante c possui um vaior igual a
0.900 kg/s, qual é a freqüência da oscilação do rato?
(b) Para qual valor da constante c o movimento é
criticamente arnortecido?
3. Um ovo de 50,0 g fervido durante muito
tempo está preso na extremidade de uma mola cuja
constante é k = 25.0 N/m. Seu deslocamento inicial é
igual a 0.300 m. Uma força de amortecimento F = -c v
atua sobre o ovo e a amplitude do movimento diminui de
0.100 m em 5.00 s. Calcule o módulo da constante de
amortecimento c.
4. O movimento de um oscilador com
subamortecimento é descrito pela Equação descrita na
teoria. Considere o ângulo de fase igual a zero.
(a) De acordo com esta equação, qual é o valor
de x para t = 0?
(b) Qual é o módulo, a direção e o sentido da
velocidade para t = 0? O que este resultado informa sobre
a inclinação do gráfico de x contra t nas vizinhanças de t =
0?
(c) Obtenha uma expressão para a aceleração a
para t = O. Para que valores ou intervalo de valores da
8. Uma criança irrequieta faz deslizar em uma
mesa horizontal seu prato de jantar de 250 g com MHS
com amplitude 0.100 m. Em um ponto situado a 0.060 m
da posição de equilíbrio a velocidade do prato é igual a
0.300 m/s.
(a) Qual é o período?
(b) Qual é o deslocamento quando a velocidade é
igual a 0.160 m/s?
(c) No centro do prato existe um pedaço de
cenoura de 10.0 g. Se o pedaço de cenoura está na
iminência de escorregar no ponto final da trajetória, qual o
coeficiente de atrito estático entre o pedaço de cenoura e o
prato?
9. Um touro mecânico se move verticalmente
com MHS de amplitude igual a 0.250 m e freqüência igual
a l.50 Hz, que permanecem as mesmas independentemente
de existir ou não alguém montado no touro. Um vaqueiro
monta no touro e diz que para um macho não é necessário
segurar em nenhuma parte do touro,
(a) Ele abandona a sela quando o touro está se
movendo para cima. Qual é o módulo da aceleração da
sela para baixo quando ele perde o contato com ela?
(b) Em que altura está a sela acima de sua posição
de equilíbrio quando ele perde o contato com ela pela
primeira vez?
(c) Qual é o módulo da sua velocidade quando ele
perde o contato com a sela?
13
Mecânica Aplicada- N2- Oscilações Amortecidas e amortecidas forçadas – Prof. Dr. Cláudio S. Sartori
(d) Ele está em queda livre até retomar para a
sela. Mostre que isto ocorre 0.538 s mais tarde.
(e) Qual é a velocidade relativa entre ele e a sela
no momento em que ele retoma?
10. Um bloco de massa M repousa sobre uma
superfície sem atrito e está preso a uma mola horizontal
cuja constante é k, a outra extremidade da mola está presa
a uma parede. Um segundo bloco de massa m repousa
sobre o primeiro. O coeficiente de atrito estático entre os
blocos é s. Ache a amplitude máxima da oscilação para
que o bloco superior não deslize sobre o bloco inferior.
14
Uel
1
k
2
l x
2
(b) Seja x = x0 a coordenada para a qual a energia
potencial gravitacional é igual a zero. Mostre que a
energia potencial total é dada por:
Uel
1 2
kx
2
1
k
2
l
2
mgx0
(c) A expressão para a energia potencial da parte
(b) é da forma
dada por
C
U
1 2
kx C , onde a constante C é
2
1
k
2
l
2
mgx0 . Explique por que o
comportamento do sistema não depende do valor desta
constante, de modo que o MHS vertical não é
fundamentalmente diferente do que o MHS horizontal
para o qual
11. Um bloco de massa igual a 0.200 kg está
submetido a uma força restauradora elástica e a constante
da força é igual a 10.0 N/m.
(a) Faça um gráfico da energia potencial U em
função do deslocamento x no intervalo de x = - 0.300 m
até x = +0.300 m. Em seu gráfico adote a escala l cm =
0.05 J no eixo vertical e l cm ~ 0,05 m no eixo horizontal.
O bloco inicia o movimento oscilatório com uma energia
potencial igual a 0.140 J e uma energia cinética igual a
0.060 J. Examinando o gráfico, responda às perguntas
seguintes:
(b) Qual é a amplitude da oscilação?
(c) Qual é a energia potencial quando o
deslocamento é igual à metade da amplitude?
(d) Para qual deslocamento a energia potencial é
igual à energia cinética?
(e) Qual é o valor do ângulo de fase sabendo que
a velocidade inicial é positiva e o deslocamento inicial é
negativo?
12. A Figura indica um corpo de massa m
suspenso a uma mola vertical cuja constante é k. O
sentido positivo do eixo Ox está orientado de baixo para
cima e x = 0 é a posição de equilíbrio do corpo.
U
1 2
kx .
2
13. Um fio de l.80 m de comprimento é suspenso
verticalmente. Quando uma bola de aço de 60.0 kg é
suspensa na extremidade do fio, este se dilata 2.00 m. Se a
bola for puxada para a baixo a uma distância adicional e
libertada, com que freqüência ela oscilará? Suponha que a
tensão no fio seja menor do que o limite de
proporcionalidade.
14. Uma perdiz de 5.00 kg está pendurada em
uma pereira presa na extremidade de uma mola ideal com
massa desprezível. Quando a perdiz é puxada para baixo a
uma distância de 0.100 m abaixo da sua posição de
equilíbrio e libertada, ela oscila com um período igual a
4.20 s.
(a) Qual é sua velocidade quando ela passa pela
posição de equilíbrio?
(b) Qual é sua aceleração quando ela está a 0.050
m acima da posição de equilíbrio?
(c) Quando ela está se movendo para cima,
quanto tempo é necessário para que ela se mova de um
ponto 0.050 m abaixo da posição de equilíbrio até um
ponto 0.050 m acima do equilíbrio?
(d) O movimento da perdiz é interrompido e ela
é removida da mola. De quanto a mola se encurta?
14. Um prego de 0.0200 kg executa um MHS
com amplitude igual a 0.240 m e período igual a l.500 s. O
deslocamento do prego é igual a +0.240 m quando t = 0.
Calcule:
(a) o deslocamento do prego quando t = 0.500 s;
(b) o módulo, a direção e o sentido da força que
atua sobre o prego quando t = 0,500 s;
(c) o tempo mínimo necessário para que o prego
se desloque da posição inicial até um ponto x = -0.180 m;
(d) a velocidade do prego quando x = -0.180m.
(a) Mostre que quando o corpo está na
coordenada x, a energia potencial elástica da mola é dada
por:
15. Uma mola de massa desprezível e constante k
= 400 N/m está suspensa verticalmente e um prato de
0.200 kg está suspenso em sua extremidade interior.
Um açougueiro deixa cair sobre o prato de uma
altura de 0.40 m uma posta de carne de 2.2 kg. A posta de
14
Mecânica Aplicada- N2- Oscilações Amortecidas e amortecidas forçadas – Prof. Dr. Cláudio S. Sartori
carne produz uma colisão totalmente inelástica com o
prato e faz o sistema executar um MHS. Calcule:
(a) a velocidade do prato e da carne logo após a
colisão;
(b) a amplitude da oscilação subsequente;
(c) o período do movimento.
15
15. Uma força de 40,0 N estica 0,250 m uma
mola vertical.
(a) Qual é o valor da massa que deve ser
suspensa da mola para que o sistema oscile com um
período igual a l.00 s?
(b) Se a amplitude do movimento for igual a
0.050 m e o período for o especificado na parte (a), onde
estará o objeto e em qual sentido ele estará se movendo
0.35 s depois de ele atravessar a posição de equilíbrio de
cima para baixo?
(c) Qual é o módulo, a direção e o sentido da
força que a mola exerce sobre o objeto quando ele esta
0.030 m abaixo da posição de equilíbrio, movendo-se para
cima?
16. Um pequeno barco de excursão com um
convés largo oscila verticalmente com MHS em virtude
das ondas de um lago. A amplitude do movimento é de
0.200 m e o período é igual a 2.80 s. Uma doca estável
está próxima do barco em um nível igual ao nível mais
elevado da oscilação do convés. As pessoas desejam
descer do barco para a doca, mas isto só pode ser feito
confortavelmente quando o nível do convés estiver a uma
distância menor do que 0.100 m do nível da doca. Quanto
tempo as pessoas dispõem para descer confortavelmente
do barco durante cada período do MHS?
17. Um exemplo interessante de oscilação,
embora fortemente impraticável, é o movimento de um
objeto lançado em um furo que passa através do centro da
Terra, oscilando de um lado até o outro da Terra. Usando
a hipótese (que não é realista) de que a Terra seja uma
esfera com densidade uniforme, prove que a oscilação
constitui um MHS e determine seu período.
(c) De acordo com o resultado obtido na parte
(b), verifique se o período depende da amplitude do
movimento. Este movimento constitui um MHS?
20. Para medir o valor de g de modo não
ortodoxo, uma estudante coloca uma bola de bilha sobre o
lado côncavo de uma lente. Ela coloca a lente sobre um
oscilador harmônico simples (fornecido efetivamente por
um pequeno (alto-falante estéreo) cuja amplitude A e cuja
freqüência f podem variar. Ela pode medir A usando a luz
de um estroboscópio.
(a) Se a bola possui massa m, ache a força normal
exercida pela lente sobre a bola de bilha em função do
tempo. Seu resultado deve ser dado em função de A, f, m, g
e do ângulo de fase .
(b) A freqüência é aumentada lentamente.
Quando ela atinge um valor fb, sua oscilação pode ser
ouvida. Qual é o valor de g em termos de A e de fb?
21. Dois cilindros homogêneos de raio R e massa
total M são conectados ao longo de seu eixo comum por
uma barra leve e curta e estão em repouso sobre o topo de
uma mesa horizontal. Uma mola cuja constante é k possui
uma extremidade presa na mesa por uma braçadeira e sua
outra extremidade é ligada a um anel sem atrito no centro
de massa dos cilindros (Figura 13.31). Os cilindros são
puxados para a esquerda esticando a mola até uma
distância .c e a seguir são libertados. Existe entre o topo da
mesa e os cilindros um atrito suficiente para fazer os
18. Seja t, o tempo necessário para que um corpo
que executar MHS se desloque de x = 0 (para t = 0) até x
= A. Obtenha uma equação para t do seguinte modo. Na
Equação, substitua v por dx/dt. Separe as variáveis
deixando todas as grandezas contendo x em um dos
membros da equação e todas as grandezas contendo t no
outro membro. Integre a equação entre os limites de t
desde 0 até t, e os limites de x desde 0 até A e, a partir
daí,
obtenha uma expressão para t1. Como t1 se compara com
o
período T?
19. Para um certo oscilador a força resultante
sobre um corpo de massa m é dada por F = -cx3.
(a) Qual é a função energia potencial deste
oscilador se considerarmos U = O para x =0?
(b) Um quarto do período é o tempo
necessário para o corpo se deslocar de x = 0 até x = A.
Determine este tempo e, portanto, o período.
15
Mecânica Aplicada- N2- Oscilações Amortecidas e amortecidas forçadas – Prof. Dr. Cláudio S. Sartori
Vibrações Forçadas e amortecidas:
2
Se o sistema considerado anteriormente é
submetido a uma força periódica F Fm sen t , a
tg
c
cc
0
2
1
equação de movimento torna-se:
0
Fazendo
em [1] teremos:
mx cx kx Fm sen t
A solução da equação diferencial acima é dada
pela soma da solução da correspondente homogênea (xH
(t), já discutida anteriormente) com a solução particular
xp(t).
x(t )
16
x H (t )
c xm
2
0
Substituindo
equação
diferencial,
m
2
xm sen t
xm sen t
xm
k xm sen t
2
Como:
2
cos t
k
m
0
2
0
sen t
k xm
mxm
k
m
cos t
)
2
0
c xm
sen cos
1
Fm sen t
Fm sen t
Utilizando as relações:
sen(
0
cos cos
sen sen
2
0
sen t cos
cos tsen
cos t cos
sen tsen c xm
2
2
c
2
cc
2
0
Os gráficos abaixo ilustram esse comportamento,
c
1.00;0.50;0.25;0.125;0 (de baixo para
cc
para
)
Fm
k
Esta equação pode ser usada para determinar a
amplitude do estado estacionário produzido por uma força
excitadora de intensidade F Fm sen t .
sen cos
e:
cos(
2
m
c xm
2
1
Fm sen t
Reagrupando os termos, teremos:
m
c
m
Ou:
Chamando de:
m
c xm cos t
sen t
2 2
2
0
xm cos t
xp (t )
2
Fm cos
Fm
m
x p (t ), x p (t ), xp (t ) teremos:
x p (t )
mxm
xm
x m sen t
na
2
Fm sen
Elevando ao quadrado ambos os termos:
x p (t )
A solução particular pode ser dada por:
x p (t )
t sucessivamente ser igual a 0 e a /2,
cima).
xm
mxm
m
Fm sen t
Reagrupando os termos, teremos:
2
0
sen t
2
0
cos t
2
m cos
c sen xm
2
msen
cos c xm Fm sen t
Para a equação acima validar-se em qualquer
instante de tempo t, teremos:
2
0
2
2
0
m cos
2
c sen xm
msen
cos c
Fm
xm
0
[1]
2
0
2
msen
cos c
xm
0
tg
0
c
m
2
0
2
1
0
Podemos ainda escrever:
Observe que a amplitude de uma oscilação
forçada pode ser mantida pequena escolhendo um
coeficiente de amortecimento viscoso c grande ou
mantendo bem diferentes as freqüência natural e forçada.
16
Mecânica Aplicada- N2- Oscilações Amortecidas e amortecidas forçadas – Prof. Dr. Cláudio S. Sartori
Exemplos
1. Um motor de M = 400kg é suportado por 8
molas, cada uma com constante elástica de k = 20 kN/m, e
possui um amortecedor de constante de amortecimento de
c = 8000 Ns/m, e pode-se mover verticalmente. O
desbalanceamento do rotor é causado por uma massa de m
= 20g a r = 30 mm do eixo de rotação. Numa freqüência
de vibração de f =5000 rpm, qual a deformação máxima xm
?
m
Dados: xm
17
2
2
c
2
cc
1
0
Fm
2
m
r;
2 f
m
2
0
Fm
ke
M = 400kg; ke = 8.20000=160000N/m
p
0
cc
2m
0
160000
20 rads
400
2 400 20 16000 Nms
m = 0.02kg; r = 0.03m
2 f
2
5000
523.59 rad
s
60
2
Fm
m 2r
m
17
5000
0.03 164.49 N
60
164.49
0.001028m
160000
0.02 2
Fm
ke
Mecânica Aplicada- N2- Oscilações Amortecidas e amortecidas forçadas – Prof. Dr. Cláudio S. Sartori
m
xm
2
2
c
2
cc
1
0
0
0.001028
xm
18
2
2
2
1
523.29
20
xm
0.001028
1.503 10 6 m
684.08
2
8000 523.29
16000 20
2
18
Mecânica Aplicada- N2- Oscilações Amortecidas e amortecidas forçadas – Prof. Dr. Cláudio S. Sartori

Oscilações
forçadas:
Exercícios
amortecidas, e amortecidas
e
k = 120 N/m
19.107 Mostre que, no caso do amortecimento
supercrítico (c > cc); um corpo nunca passa por sua
posição de equilíbrio O (a) se é liberado com velocidade
inicial nula de uma posição arbitrária ou (b) se parte de O
com uma velocidade inicial arbitrária.
19
c
4 kg
19.108 Mostre que, no caso do amortecimento
supercrítico (c>cc), um corpo liberado de uma posição
arbitrária não pode passar mais de uma vez por sua
posição de equilíbrio.
19.109 No caso do amortecimento subcrítico, os
deslocamentos x1, x2,..., xn, etc., ilustrados na Fig. 19.11,
podem ser supostos iguais aos deslocamentos máximos.
Mostre que a razão entre dois deslocamentos sucessivos,
xn e xn+1 .é constante e que o logaritmo natural desta
razão, chamado de decremento logarítmico, é
ln
xn
xn 1
2
c cc
1
c cc
2
19.110 Na prática é muitas vazes difícil
determinar o decremento logarítmico definido no
Problema 19.109 medindo-se dois destacamentos
máximos sucessivos. Mostre que o decremento
logarítmico pode ser expresso como (1 / k) ln (xn / xn+k ),
onde k é o número de ciclos entre as leituras do
deslocamento máximo.
19.111 Num sistema com amortecimento
subcrítico (c < cc), o período de vibração é comumente
definido como o intervalo de tempo
= 2 /q que
corresponde a dois pontos sucessivos onde a curva
deslocamento-tempo toca uma das curvas-limites
ilustradas na Fig. 19.11. Mostre que um intervalo de
tempo
(a) entre um deslocamento máximo positivo e o
deslocamento máximo negativo seguinte é /2,
(b) entre dois deslocamentos nulos sucessivos é
/2 e
(c) entre um deslocamento máximo positivo e o
deslocamento nulo seguinte é maior que /4.
19.112 Deslocamentos máximos sucessivos de
um sistema massa-mola-amortecedor, semelhante àquele
ilustrado na Fig. 19.10, são 50, 40, 32 e 25,6 mm.
Sabendo-se que m = 12 kg e k = 1500 N/m, determine
(a) o fator de amortecimento c/cc e
(b) o valor do coeficiente do amortecimento
viscoso c (Sugestão: Ver os Problemas 19.109 e 19.110).
19.113 Desloca-se o bloco mostrado na figura,
posicionando-o 20 mm abaixo de seu ponto de equilíbrio,
quando, então, é solto. Depois de oito ciclos o
deslocamento máximo do bloco é 12mm. Determinar
(a) o fator de amortecimento c/cc e
(b) o valor do coeficiente do amortecimento
viscoso. (Sugestão: ver os Problemas 19.109 e 19.110).
19.114 O cano de um canhão de campanha peso
6,23 kN e retorna à posição de tiro, após recuar, graças a
um recuperador de constante k = 1,75 x 106 N/m.
(a) Determine o valor do coeficiente de
amortecimento do mecanismo de recuo que fez o cano
retornar à posição de tiro, no menor tempo possível, sem
oscilação,
(b) Calcule o tempo gasto pelo cano para moverse da sua posição e máximo recuo até o ponto médio de
seu percurso total.
19.115 Supondo-se que se efetuou uma alteração
do cano do canhão tratado no Problema 1.114, resultando
num aumento de peso de 1,78 kN, determine
(a) a constante k que deve ser empregada para
manter o cano criticamente amortecido e
(b) o tempo gasto pelo cano modificado para
deslocar-se de sua posição de máximo recuo ao ponto
médio de seu percurso total.
19.116 No caso da vibração forçada com um
dado fator de amortecimento c/cc , determine a razão entre
as freqüências /p para que a amplitude de vibração seja
máxima.
19.117 Mostre que, para um valor pequeno do
fator de amortecimento c/cc
(a) a amplitude máxima de uma vibração forçada
quando = p, e
(b) o valor correspondente o fator de ampliação é
aproximadamente (cc/2)/c.
19.118 Um motor de 13,6 kg é sustentado por
uma viga leve horizontal que apresenta uma deflexão
estática de 1,27 mm causada pelo peso do motor. Sabendose que o desbalanceamento do rotor é equivalente a uma
massa de 28,3 g localizada a 0,191 m do eixo de rotação,
determine a amplitude das vibrações do motor a uma
velocidade de 900 rpm, supondo
(a) ausência de amortecimento e
(b) que o fator de amortecimento é c/cc = 0,075.
19.119 Um motor de 22,7 kg é sustentado por
quatro molas, cada uma possuindo uma e de 1,75. l05 N/m.
O desbalanceamento do rotor é equivalente a uma massa
de 28,3g situada a 127 mm do eixo de rotação. Sabendo-se
que o motor é obrigado a se mover verticalmente,
19
Mecânica Aplicada- N2- Oscilações Amortecidas e amortecidas forçadas – Prof. Dr. Cláudio S. Sartori
determine a amplitude de vibração do estado estacionário
do motor numa velocidade de n, supondo
(a) que não há amortecimento,
(b) que o fator de amortecimento c/cc é igual a
0.125.
19.120 Resolva o Problema 19.94, supondo que
se conectou ao motor e ao solo um amortecedor de
coeficiente de amortecimento c = 200 Ns/m.
20
(b) a freqüência, em rpm, da força periódica
correspondente ao valor máximo do fator de ampliação,
supondo amortecimento, e
(c) a amplitude do movimento real da plataforma
para cada uma das freqüências encontradas nos itens (a) e
(b).
F = Fmsen t
19.121 Um motor de 50 kg é sustentado
diretamente por uma viga leve horizontal que a deflexão
estática de 6 mm devida ao peso do motor. O
desbalanceamento do rotor é equivalente a uma massa de
100 g localizada a 75 mm do eixo de rotação. A amplitude
das vibrações do motor é 0,9 mm a uma velocidade de
400 rpm. Determine
(a) o fator de amortecimento c/cc
(b) o coeficiente de amortecimento.
19.125 Resolva o problema anterior, supondo-se
que o coeficiente de amortecimento é 3 kN.s/m.
19.122 Um elemento de máquina de 400 kg é
sustentado por duas molas, cada uma possuindo uma
constante de 38 kN/m. Uma força periódica, de valor
máximo igual a 135N, é aplicada ao elemento com uma
freqüência de 2,5 ciclos por segundo. Sabendo que o
coeficiente de amortecimento é 1400 N.s/m, determine
(a) a amplitude de vibração do estado
estacionário do elemento.
(b) o coeficiente de amortecimento.
19.126 A suspensão de um automóvel pode ser
representada pelo sistema simplificado mola mortecedor
como ilustrado,
(a) Escreva a equação diferencial que define o
movimento absoluto da massa m, quando o sistema se
desloca a uma velocidade v sobre uma estrada de seção
longitudinal senoidal, como indica a figura,
(b) Deduza uma expressão para a amplitude do
movimento absoluto de m.
F = Fmsen t
19.123 No Problema 19.122, determine o valor
do coeficiente de amortecimento para que a amplitude de
vibração do estado estacionário do elemento seja de 3,5
mm.
19.124 Uma plataforma de 90,7 kg, sustentada
por duas molas, cada uma de constante k = 4,38 x 10
N/m, é submetida a uma força periódica de 556N de
módulo máximo. Sabendo que o coeficiente de
amortecimento é 1,75 kN s/m, determine
(a) a freqüência natural, em rpm, da plataforma,
se não há amortecimento,
20
Mecânica Aplicada- N2- Oscilações Amortecidas e amortecidas forçadas – Prof. Dr. Cláudio S. Sartori
19.127 Duas cargas, A e B, cada uma de massa
m, estão suspensas, como ilustrado, por meio de cinco
molas de mesma contanto k e conectadas por um
amortecedor de coeficiente de amortecimento c. A carga
B está submetida a uma força de intensidade F= Fmsen t.
Escreva as equações diferenciais que definem os
deslocamentos xA e xB das duas cargas, medidos a partir
das posições de equilíbrio.
F = Fmsen t
19.132 e 19.133 Escreva as equações diferenciais que
definem
(a) os deslocamentos da massa m e do ponto A e
(b) as correntes nas malhas correspondentes do
análogo elétrico.
21
A
xA
k1
A
c
B
xB
m
F = Fmsen t
19.128 Determine a faixa de valores da
resistência R, para os quais aparecerão oscilações no
circuito ilustrado quando a chave S for fechada.
k2
19.134 e 19.135 Desenhe o análogo elétrico do sistema
mecânico ilustrado.
k1
c1
m1
19.129 Considere o circuito do Problema 19.128,
quando a capacitância é igual a zero. Se a chave S for
fechada no instante t = 0, determine
(a) o valor final da corrente no circuito e
(b) o instante t em que a corrente atingirá
(1 - 1/e) de seu valor final (este valor de t é
conhecido por constante de tempo do circuito).
k2
m2
19.130 e 19.131 Desenhe o análogo elétrico do
sistema mecânico ilustrado. (Sugestão: trace as malhas
correspondentes ao corpos livres).
c2
21
Mecânica Aplicada- N2- Oscilações Amortecidas e amortecidas forçadas – Prof. Dr. Cláudio S. Sartori
19.136e19.137 Escreva as equações diferenciais
que definem (a) os deslocamentos das massas m1 e m2
as correntes nas malhas correspondentes do análogo
elétrico.
(a) Mostre que o ponto material executará um
movimento harmónico simples de período de oscilação
igual ao de um pêndulo simples de comprimento igual ao
raio da Terra,
(b) Calcule numericamente o período,
(c) Mostre que o resultado obtido em (a) também
é igual ao período
19.142 Um cursor de 1,5 kg, preso a uma mola
de constante k =750 N/m, 20 mm, comprimindo a mola
(a) Calcule a máxima velocidade que o cursor
adquirirá dep
(b) Determine também a posição e a velocidade
do cursor 0,08 s após a sua liberação.
22
F = Fmsen t
Problemas de Recapitulaçâo
19.138 Um bloco pesando 17,8 N está preso à
carcaça de um motor que gira a 1250 rpm. O rotor é
desbalanceado e a amplitude do movimento do bloco é de
10,2 mm. Sabendo-se que a constante do sistema de
molas é k = 2,62.104 N/m, determine a amplitude do
movimento do motor.
19.139 Uma barra delgada de comprimento l
está articulada por um pino sem atrito a um cursor de
massa desprezível. Determine o período de pequenas
oscilações da barra, supondo que o coeficiente de atrito
entre o cursor e a barra horizontal
(a) é suficiente para impedir qualquer
movimento do colar, e
(b) é zero.
19.143 Uma barra de massa m e comprimento l
repousa sobre duas polias giram nos sentidos indicados.
Denotando por C , o coeficiente de atrito cinético entre as
barras e as polias, determine a frequência de vibração se
for dado à barra um pequeno deslocamento para a direita,
soltando-a em seguida.
19.144 Um pêndulo de torção pode ser usado
para determinar experimentalmente o momento de inércia
de um dado objeto. A plataforma horizontal P é sustentada
por várias barras rígidas, que estão ligadas a um arame
vertical. O período de oscilação da plataforma é igual a τ0
quando a plataforma está vazia e igual a τA quando um
objeto de momento de inércia conhecido é colocado na
plataforma, de modo que seu centro de massa esteja
diretamente acima do centro da placa,
(a) Mostre que o momento de inércia I0 da
plataforma e seus suportes pode ser expresso por:
I0
IA
2
0
2
A
2
0
(b) Se um período de oscilação, τB é medido
quando
um
objeto
B
de
inércia
IB
desconhecido é colocado na plataforma, mostre que
19.140 A barra AB de 10 kg está presa aos
discos de 4 kg cada um, como ilustrado. Sabendo que os
discos rolam sem escorregar, detfrmine a frequência de
pequenas oscilações do sistema.
IB
IA
2
B
2
0
2
A
2
0
450 min .
19.141 Coloca-se um ponto material sem
velocidade inicial sobre um plano tangente à superfície da
Terra,
19.145 Uma viga de 15 kg é suportada por dois
discos homogêneos, cada um com 10 kg de raio de 100
22
Mecânica Aplicada- N2- Oscilações Amortecidas e amortecidas forçadas – Prof. Dr. Cláudio S. Sartori
mm. Sabendo que os discos rolam sem escorregar,
determine o período de vibração do sistema se se der à
viga um pequeno deslocamento para a direita, sendo
abandonada a seguir,
19.146 Resolva o Problema 19.145 supondo-se
que se removeu a mola presa à viga.
23
19.147 Um certo vibrômetro usado para medir
amplitudes de vibração consiste essencialmente numa
caixa contendo uma barra delgada que tem presa numa
das extremidades umbloquinho de massa m. O sistema
barra-bloquinho tem uma frequência natural de 8 Hz.
Quando se prende rigidamente a caixa à carcaça de um
motor que gira a 960 rpm, o bloquinho vibra com
amplitude de 2.03 m relativamente à caixa. Determine a
amplitude do movimento vertical do motor.
19.148 Um aro fino de raio r e massa m está
suspenso por meio de uma barra áspera como ilustrado.
Determine a frequência das pequenas oscilações do aro
(a) no plano do aro, e
(b) numa direção perpendicular ao plano do aro.
Suponha que o atrito é suficientemente grande para
impedir o deslizamento em A.
19.149 Um volante de 181 kg tem um diâmetro
de 0,812 m e um raio de giraçâo de 0,356m. Uma correia
é colocada ao redor da borda e presa a duas molas, cada
uma de constante k = 1.05 x 10 N/m. A tensão inicial na
correia é suficiente para impedir escorregamento. Se a
extremidade C da correia é puxada 0.0318m para baixo e
liberada, determine
(a) o período de vibração e
(b) a máxima velocidade angular do volante.
Figura.P19.149
23
Mecânica Aplicada- N2- Oscilações Amortecidas e amortecidas forçadas – Prof. Dr. Cláudio S. Sartori
 Trabalho – Opcional
1. Reproduzir em laboratório de informática, usando
o programa interactive physics.
2. Encontrar para cada tipo de amortecimento, os
valores de:
p
cc
24
2m
k
m
2m p
0
0
3. Escrever a solução de y(t) para cada caso animado.
4. Elaborar os gráficos de velocidade versus tempo e
aceleração versus tempo para cada caso.
3. Um corpo de massa m = 0.25 kg está acoplado
a uma mola de constante elástica k = 400N/m e a um
amortecedor de constante de amortecimento c. Para cada
valor de c na tabela:
(a) Encontre a freqüência angular 0 natural.
(b) Determine a constante de amortecimento
crítica cc.
(c) Classifique o amortecimento e forneça os
parâmetros importantes para cada caso classificado.
(d) Determine as funções posição x(t), velocidade
instantânea v(t) e aceleração instantânea a(t), para as
condições iniciais: v0 = 0 e x0 = 5 mm.
(e) Construa os gráficos das funções posição x(t),
velocidade instantânea v(t) e aceleração instantânea a(t).
Faça utilizando o programa graphdpr em:
www.claudio.sartori.nom.br
Opte: Aplicações -> Oscilações mecânicas.
Complete a tabela.
a
1. Para cada caso:
(a) Encontre a freqüência angular
Encontre o período T e a freqüência f.
Complete a tabela.
Caso
i
1
2
3
ke
(N/m)
m
(kg)
0,75
0,75
0,75
v0
(m/s)
0
0
0
0
(rad/s)
x0
(m)
0,25
0,25
0,25
T
(s)
0
natural.
f
(Hz)
(b) As equações x(t), v(t) e a(t) para cada caso, onde
x0 = 0.25 m e v0 = 0m/s.
Dados:
k = 50N/m; m = 0,75 kg
2.
Dado o pêndulo simples com
0
= 20.
40
35
30
25
20
19
18
16
14
10
Parâmetros
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Classificação
amoortecimo
c
(N.s/m)
Utilizando o programa Interactive Physics
(www.interactivephysics.com) fazer a leitura do arquivo
osh2.ip e osh3.ip.
Caso i
2 Parte:
x(t)
(m)
v(t)
(m/s)
v(t)
(m/s)
4. Um corpo de massa m = 0.25 kg está acoplado
a uma mola de constante elástica k = 400N/m e a um
amortecedor de constante de amortecimento c. Para cada
valor de c na tabela:
(a) Encontre a freqüência angular 0 natural.
(b) Determine a constante de amortecimento
crítica cc.
(c) Classifique o amortecimento e forneça os
parâmetros importantes para cada caso classificado.
(d) Determine as funções posição x(t), velocidade
instantânea v(t) e aceleração instantânea a(t), para as
condições iniciais: v0 = 0.1m/s e x0 = 2 mm.
(e) Construa os gráficos das funções posição x(t),
velocidade instantânea v(t) e aceleração instantânea a(t).
Faça utilizando o programa graphdpr em:
www.claudio.sartori.nom.br
Opte: Aplicações -> Oscilações mecânicas.
(a) Faça o cálculo do período para:
l = 0,2 m e l = 0,3 m.
(b) Encontre a freqüência angular para os valores do
comprimento do pendulo acima.
(c) Ache a função s(t) sabendo que em t = 0 v0=0.
24
Mecânica Aplicada- N2- Oscilações Amortecidas e amortecidas forçadas – Prof. Dr. Cláudio S. Sartori
40
35
30
25
20
19
18
16
14
10
Parâmetros
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Classificação
amoortecimo
c
(N.s/m)
25
Caso i
Complete a tabela.
x(t)
(m)
v(t)
(m/s)
v(t)
(m/s)
25